扰动正规算子的谱包含及其在非自伴算子理论中的应用

《Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society》：Spectral inclusions of perturbed normal operators and applications

本文研究了希尔伯特空间中正规算子T在相对有界或p-从属扰动A下的谱包含问题。作者证明了当T的谱虚部有界时，T+A的谱位于两条渐近斜率依赖于A的T-界的双曲线之间；当T的谱包含于双扇形区域时，T+A的谱位于特定旋转双曲线区域内。研究还考虑了T的谱存在无穷多个间隙的情形，并证明了T+A的本质谱的稳定性结果。这些结果为非自伴算子的谱分析提供了新的工具。

　　

在数学物理和量子力学中，线性算子的谱理论一直扮演着核心角色。传统上，自伴算子的扰动理论已经得到了深入研究，其中扰动项通常被假定为对称且相对于未扰动算子在某种意义下是"小"的。然而，随着对开放物理系统建模需求的增长，非自伴算子的谱理论近年来引起了越来越多的关注。这类算子能够描述某些量不守恒的物理系统，例如具有非自伴边界条件的量子图上的拉普拉斯算子。

本文研究了一个基础而重要的问题：当一个正规算子受到一个相对有界但不是对称或正规的扰动时，其谱集会如何变化？更具体地说，考虑希尔伯特空间H上的正规算子T和一个T-有界算子A，其T-界小于1。研究人员旨在确定T+A的谱包含在哪些区域中，以及T的谱特性（如有界虚部、位于扇形区域或存在谱间隙）如何影响扰动后算子的谱。

研究表明，当正规算子T的谱的虚部有界时，即使扰动A不是对称或正规的，T+A的谱仍然被限制在复平面中两条双曲线之间的区域。这两条双曲线的渐近斜率由扰动A的T-界决定。如果T的谱包含在一个双扇形区域内，那么T+A的谱则位于特定旋转的双曲线所围成的区域中。特别地，当T的谱虚部有界时，T+A的谱虚部可能变得无界，但仍被限制在两条平移后的双曲线之间。

论文的一个重要贡献在于处理了T的谱存在无穷多个间隙的情况。研究人员证明了，在扰动足够小的情况下，T的谱间隙在扰动后仍然保持开放，尽管可能会变窄。此外，文章还建立了T+A的本质谱的稳定性结果，并给出了扰动算子预解式的范数估计。

为了开展这项研究，作者主要运用了泛函分析中的算子理论方法，特别是基于Neumann级数论证和谱定理的基本准则。关键技术包括对预解算子的精细估计、谱包含区域的几何描述，以及通过扰动理论分析本质谱的稳定性。研究方法还涉及对函数H_z(t) = (a²+ b²|t|²)/|t-z|²的上确界分析，该函数在确定z是否属于扰动算子的预解集中起着关键作用。

谱包含区域

研究发现，当正规算子T的谱满足γ₁≤ Im σ(T) ≤ γ₂时，扰动算子T+A的谱包含在区域(iγ₁- Hyp_γ1) ∪ (iγ₂+ Hyp_γ2)之外，其中Hyp_γ是经过i√(a²+b²γ²)且渐近线为Im z = ±(b/√(1-b²))Re z的双曲线区域。这一结果通过分析函数H_z(t)在σ(T)上的上确界得以证明。

双扇形算子

对于谱位于双扇形区域Ω(α_T, β_T, θ) = S_θ(β_T) ∪ -S_θ(-α_T)的正规算子T，研究发现如果扰动A的T-界b < cosθ，则T+A的谱包含在区域{α_T+A< Re z < β_T+A}之外，其中α_T+A和β_T+A是依赖于a,b,α_T,β_T的常数。这表明T的谱间隙在扰动下仍然保持开放。

本质谱稳定性

论文还证明了本质谱的稳定性：如果存在子空间H? ? D(T)使得dim H? < ∞，且D(T) = H? ⊕ D₂，其中H?和D₂是T-不变的，则σ_ess(T+A) = σ_ess(T₂+A₂₂)。这一结果为分析扰动算子本质谱提供了有效方法。

应用实例

研究结果被应用于两个具体例子：非自伴量子星图上的薛定谔算子和一阶微分方程组。对于量子星图，考虑在中心顶点具有非自伴Robin条件、外顶点具有Dirichlet边界条件的薛定谔算子L_c。研究表明，当势函数V ∈ L^q(Γ)且q > 2时，扰动算子L_c+M_V的谱在L_c的谱间隙处仍然保持开放。

研究结论表明，正规算子在相对有界或p-从属扰动下，其谱包含性质具有明显的稳定性。即使扰动不是对称或正规的，只要满足一定的边界条件，原始算子的谱结构特征（如谱间隙、扇形包含等）在扰动后仍然得以保持。这些结果为非自伴算子的谱分析提供了强有力的工具，特别是在处理量子图、微分算子等实际问题时具有重要应用价值。论文中建立的谱包含区域和预解估计为后续研究，如解析半群生成性质、Riesz基存在性等问题奠定了基础。