《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：A mortar-based finite deformation formulation for adhesive frictional contact using a primal-dual active set strategy
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本文针对工程中广泛存在的黏附-摩擦耦合接触问题，提出了一种基于广义标准模型（GSM）的热力学一致本构框架。研究团队通过引入黏附强度变量β，建立了可描述界面黏结、滑移与脱黏过程的统一模型，并采用非线性互补方法实现了数值求解。该工作为界面力学行为预测提供了重要理论工具，对微机电系统、生物黏附等领域具有显著意义。
在机械工程、生物力学和材料科学领域，物体间的接触相互作用始终是核心研究课题之一。两个表面在压力作用下接触时，不仅会发生宏观的滑动摩擦，微观尺度的黏附效应也常常起着决定性作用。例如，在微机电系统（MEMS）、仿生黏附材料、轮胎与路面相互作用以及细胞与基底的黏附过程中，界面上的黏附力和摩擦力相互耦合，共同决定了系统的整体力学响应。传统的接触力学模型通常将摩擦和黏附现象分开处理，或者进行简单的叠加，难以准确描述两者在界面损伤、能量耗散过程中的复杂相互作用。特别是在循环载荷或复杂加载路径下，界面的黏结状态会随时间演化，传统的库仑摩擦定律和简单的内聚力模型已显不足。因此，发展一个能够统一描述黏附产生、发展、退化以及伴随摩擦滑移的热力学一致本构模型，成为界面力学研究中的一个重要挑战。
为了回答上述问题，研究人员在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上发表论文，开展了一项关于黏附-摩擦接触问题的本构建模与数值模拟研究。本研究工作的核心目标是建立一个严格的数学框架，将黏附和摩擦现象耦合在一个统一的广义标准模型（Generalized Standard Material, GSM）之中。该模型确保其本构关系满足热力学定律，特别是能量耗散不等式。研究的关键在于引入一个内部状态变量——黏附强度（adhesion intensity）β，其值从1（完全黏结）到0（完全脱黏）变化，用以量化界面的黏结状态。通过定义界面自由能函数和耗散势函数，并运用广义标准模型的 formalism，导出了一组完整的本构方程和互补条件。这些方程不仅描述了接触压力、摩擦牵引力与界面相对位移之间的关系，还控制了黏附强度的演化规律。该模型能够自然地描述从完全黏结的“黏着”（stick）状态到发生微观滑移的“预滑移”（pre-sliding）状态，再到宏观“滑动”（slip）状态的转变，并捕捉黏附能的耗散过程。
研究人员为开展此项研究，主要运用了几个关键的技术方法。首先是连续介质力学和热力学框架的建立，基于广义标准模型理论，通过定义Helmholtz自由能函数和耗散势函数来推导本构关系。其次，采用了mortar接触方法（一种基于曲面投影的数值接触算法）来处理非匹配网格间的接触约束，该方法相比传统的点对点接触算法具有更高的精度和稳定性。此外，模型中引入了非线性互补问题（Nonlinear Complementarity Problem, NCP）的数学形式来描述接触界面的不可穿透条件、库仑摩擦定律以及黏附演化的不可逆性。数值实现上， likely 涉及了时间离散化（如后退欧拉法）和基于牛顿迭代的求解策略，以处理由此产生的强非线性方程组。本研究并未涉及具体的实验样本队列。
2.1. 运动学描述
研究首先对接触界面的运动学进行了精确描述。考虑两个可变形体，分别定义为非mortar体Ω^s和mortar体Ω^m，它们的潜在接触边界记为γ_c^s和γ_c^m。模型引入了两个重要的运动学量：当前构型下的法向间隙函数g，以及相对切向速度v^τ。为了刻画黏附历史，论文进一步引入了“黏附构型”的概念，并定义了与之相关的黏附间隙g_ad和黏附相对切向位移u_ad^τ。这些量是相对于黏附开始时刻的界面状态来测量的，为描述黏附演化提供了必要的运动学基础。
2.2. 接触牵引力
接触界面间的相互作用通过Cauchy接触牵引力t_c^s和t_c^m来描述。根据动量平衡，两者大小相等，方向相反。接触牵引力被分解为法向压力p^η和切向摩擦牵引力t^τ。本研究的一个关键步骤是将牵引力进一步分解为可逆部分（p_re^η, t_re^τ）和不可逆部分（p_ir^η, t_ir^τ）。可逆部分与界面的弹性变形能相关，而不可逆部分则对应于摩擦滑移和黏附损伤等耗散过程。
2.3. Frémond的黏附建模方法
本研究继承并发展了Frémond提出的黏附建模方法。该方法的核心是引入一个宏观的内变量——黏附强度β，作为描述界面黏结状态的度量，避免了直接模拟复杂的微观物理机制（如范德华力、化学键）。β=1表示完全黏结，β=0表示完全脱黏，中间值则表示部分黏结状态。这种方法既可以解释为界面损伤模型，也可以从断裂力学的角度理解。
2.4. 接触界面的本构模型
这是论文的核心部分，详细阐述了基于GSM框架的黏附-摩擦耦合本构模型。
2.4.1. 热力学原理与本构理论
模型严格遵循热力学定律。从接触界面的能量守恒（第一定律）和熵增原理（第二定律）出发，推导出了Clausius-Duhem不等式，定义了接触内耗散D_c^int。该不等式要求所有耗散过程（摩擦和黏附退化）产生的熵必须非负，从而保证了模型的热力学一致性。
2.4.2. 黏附运动学的简化
为了使模型在数值上更易处理，论文对黏附运动学量（g_ad, u_ad^τ）和标准运动学量（g, u^τ）之间的关系进行了合理的简化，假设它们之间相差一个常数平移。这种简化使得在GSM形式体系中，对黏附变量的求导可以近似为对标准变量的求导，大大简化了后续的推导和计算，同时保持了物理上的合理性。
2.4.3. Helmholtz自由能
界面的Helmholtz自由能ψ_c被定义为状态变量（g, u^τ, β）的函数。其表达式包含三个主要部分：1）与法向和切向变形相关的弹性储能项，其刚度由β^2调制，表明黏结越强，界面刚度越大；2）与破坏黏结所需能量相关的脱黏能项，形式为-w_ad h(β)，其中w_ad是Dupré黏附能；3）强制执行物理约束的指示函数，包括保证无穿透的I_R+(g)和将β限制在[0,1]区间的I_
0,1 。通过对自由能函数进行次微分（subdifferentiation），得到了与可逆变形相关的热力学共轭力。
2.4.4. 耗散势
耗散势Φ_c被定义为耗散变量速率（v^τ, β?）的函数，用于描述不可逆过程。它包含三个部分：1）基于库仑摩擦定律的摩擦耗散项，其摩擦阻力与有效法向压力（p^η - k^η g_ad β^2）和摩擦系数μ成正比；2）控制黏附退化速率的黏性耗散项，形式为(b/(p+1))|β?|^(p+1)，其中b是黏附黏度系数，p是控制率相关性的指数；3）确保黏附过程不可逆（即β只能减小不能增大）的指示函数I_R-(β?)。通过对耗散势进行次微分，得到了不可逆的摩擦牵引力t_ir^τ和与黏附退化相关的热力学力G_β。
最终，模型导出了一组完整的本构方程和互补条件。对于法向接触，是经典的Signorini条件，但接触刚度受β调制。对于切向接触，是库仑摩擦定律，其摩擦阈值同样受β调制。对于黏附演化，其规律由方程β? = -[(1/b)(G_β)^-]^(1/p)给出，其中(·)^-表示负部算子。这个方程表明，只有当驱动黏附退化的热力学力G_β为负时，β才会减小（即脱黏发生），且退化速率受参数b和p控制。
研究结论与意义
本研究成功发展了一个热力学一致的数学框架，用于模拟耦合的黏附-摩擦接触问题。所提出的广义标准模型（GSM）具有坚实的理论基础，能够统一描述界面的弹性响应、摩擦滑移和黏附损伤演化。模型引入的黏附强度变量β有效捕捉了界面黏结状态的历史依赖性。通过合理的简化，模型保持了数学上的可处理性，为后续的有限元数值实现（例如基于mortar方法的实现）铺平了道路。
这项研究的重要意义在于：首先，它为理解和预测复杂界面行为（如M器件中的黏附-滑移、生物黏附的破坏机制）提供了一个强大的计算工具。其次，模型的热力学一致性保证了数值模拟的稳定性和物理合理性。最后，该建模框架具有很好的通用性和可扩展性，可以通过修改自由能函数和耗散势，来纳入更复杂的物理现象，例如温度效应、化学环境影响或各向异性摩擦行为。这项工作显著推进了计算接触力学领域的发展，对涉及界面相互作用的众多工程和科学应用具有重要的价值。
