基于增广拉格朗日XFEM的流体驱动裂缝近尖端奇异性稳定化建模

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：An augmented lagrangian XFEM formulation for stabilizing near-tip singularities in fluid-driven fractures modeling

本文提出了一种创新的增广拉格朗日扩展有限元（XFEM）格式，通过投影场到合适函数空间并采用集中质量技术，有效消除了流体驱动裂缝模拟中近尖端区域的压力振荡。该模型特别针对不渗透多孔介质中雷诺润滑方程近尖端的奇异性问题，引入虚拟开度正则化方法，为水力压裂数值模拟提供了更稳定的计算框架。

　　

区域分解与基本假设

考虑一个被不连续面Γ完全切割的有界区域Ω?R2及其时间区间[0,T]。域Ω被划分为两个子区域Ω1和Ω2，且满足Ω1∩Ω2=?。外部边界被分解为?Ω\Γ=Γ_u∪Γ_t=Γ_p∪Γ_F，其中机械边界条件分别作用于Γ_u（位移）和Γ_t（外力），流体边界条件作用于Γ_p（压力）和Γ_F（外部流量）。

近似空间构建

令Ω_h为Ω的三角剖分，各物理场的近似空间定义如下：位移场空间U_h?U，拉格朗日乘子空间W_h?W（对应λ, μ, w），固体压力场空间R_h?R，孔隙压力场空间P_h?P，以及标量拉格朗日乘子空间V_h?V和Q_h?Q（对应q1, q2, Q1, Q2, p1等变量）。

流体相拉格朗日格式的稳定化教学案例

本案例通过停用机械耦合模块，专注验证新型拉格朗日格式对流体相的稳定效果。计算问题简化为控制方程(129)-(136)描述的封闭界面扩散问题，演示了质量集中技术如何有效消除流体压力场的异常振荡。

研究结论

本研究在Paul等人原有XFEM-L[M]模型基础上，通过引入针对流体相的增广拉格朗日稳定化格式，显著提升了水力压裂模拟的数值稳定性。新模型采用专门设计的质量集中技术处理雷诺润滑方程的时间导数项，并结合近端虚拟开度正则化策略，成功消除了裂缝尖端区域的非物理压力振荡现象。