《OMEGA-INTERNATIONAL JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCE》：A bi-objective sustainable EOQ model with all-units discounts
编辑推荐：
本文针对服务系统中员工自主安排休息导致服务水平下降的管理难题，推荐一项关于鲁棒性轮班调度的创新研究。研究人员构建了双目标可持续EOQ模型，引入双层次规划（bilevel programming）和决策依赖不确定性（decision-dependent uncertainty）框架，开发了多解搜索启发式算法（MSS）。研究结果表明，该方法能有效平衡劳动力成本与服务水平（LoS），在员工享有休息自主权的前提下，将突发性人手不足（understaffing）的成本降低10-15%。这项发表于《OMEGA》的研究为柔性人力资源管理提供了重要决策工具。
在现代服务行业的运营管理中，如何科学合理地安排员工轮班和休息时间，始终是管理者面临的重大挑战。想象一下大型呼叫中心或医院急诊科的日常场景：管理者需要确保每个时间段都有足够的人手在岗，以满足客户需求或患者需要，这被称为服务水平（Level of Service, LoS）。然而，员工在工作期间需要休息——这不仅是为了遵守劳动法规，更是保障员工健康和工作效率的必要措施。
传统的做法是管理者集中安排休息时间，就像火车时刻表一样精确。但这种“一刀切”的方式存在明显缺陷：一方面，员工可能因为临时紧急任务而无法按时休息，或者更希望根据自己的疲劳程度灵活安排休息；另一方面，严格的休息计划在面临突发情况时缺乏弹性，可能导致某些时段人手严重不足。更令人头疼的是，研究表明，当员工被允许自主决定休息时间时，他们通常会更满意，工作效率也更高，但这种自主性往往以牺牲服务水平为代价——如果多名员工不约而同地在业务高峰时段休息，就会导致服务中断。
面对这一两难困境，由Sara Mattia、Fabrizio Rossi和Stefano Smriglio组成的研究团队开展了一项创新性研究，他们来自意大利国家研究委员会（CNR）系统分析与信息学研究所。该研究最近发表在管理科学领域知名期刊《OMEGA-INTERNATIONAL JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCE》上，提出了一种全新的数学优化方法，旨在平衡员工休息自主权与服务水平的矛盾。
研究团队的核心思路是将这一问题建模为一个“领导者-追随者”博弈：管理者作为“领导者”首先制定轮班计划；员工作为“追随者”随后根据个人偏好自主安排休息时间。这种互动关系通过双层次规划（bilevel programming）框架进行数学描述，其中上层问题优化轮班成本，下层问题模拟员工在给定轮班下的最优休息安排策略。
为求解这一复杂问题，研究人员开发了多解搜索启发式算法（Multiple Solutions Search heuristic, MSS）。该算法的创新之处在于：首先识别出所有劳动力成本相同但休息安排弹性不同的轮班方案，然后从中选择那些最能抵抗员工自主休息带来的服务水平波动的方案。这种方法本质上是通过数学手段“预见”各种可能的休息安排情景，并提前做好准备。
关键技术方法包括：1）建立整数规划模型（WPS-IP）描述标准轮班与休息安排问题；2）构建双层次鲁棒优化模型（DBSP-BLP）处理员工自主休息带来的不确定性；3）设计多解搜索启发式算法（MSS）高效求解大规模实际问题；4）采用Gurobi优化器求解混合整数规划问题。研究基于192个5分钟时段的时间粒度，考虑4小时和6小时两种班制，休息时长15分钟，生成64个测试实例系统评估算法性能。
2. IP models for shift and break scheduling
研究人员首先构建了传统的整数规划模型（WPS-IP）来描述轮班和休息安排问题。该模型包含决策变量yj表示分配给班次j的员工数量，目标是最小化总成本，包括劳动力成本和对服务水平偏离（人手不足或过剩）的惩罚成本。约束条件确保每个时间段的人员覆盖满足需求，同时遵守劳动法关于休息时间的规定。例如，6小时班次可能需要安排两次休息，且连续工作时间不能超过2小时。
2.1. Shift-scheduling
经典的Dantzig轮班调度模型（SP）虽然结构简单，可通过最小费用流问题高效求解，但在实际应用中可能导致严重的人手过剩。研究团队对其进行了改进，引入了柔性需求约束，允许一定程度的人手不足或过剩，但通过惩罚项控制其范围。这种柔性模型更符合实际管理需求，特别是对于医院急诊科等对服务水平波动敏感的场景。
2.2. Break assignment
给定一个轮班计划后，休息安排问题（BA）转化为如何分配休息时间以最小化对服务水平的影响。这一问题可建模为集合划分问题，即使得每位员工的休息模式符合规定且总体服务水平最优。研究表明，当员工数量较多时，这一问题计算复杂度很高（NP难），但通过巧妙建模，可将部分变量松弛为连续变量，提高求解效率。
2.3. Work pattern scheduling
将轮班和休息安排整合考虑的工作模式调度问题（WPS）是研究的核心。研究人员比较了显式模型（为每种可行工作模式定义变量）和隐式模型（分别定义轮班和休息变量并通过连接约束关联）两种建模方式。显式模型更直观但变量数可能爆炸式增长；隐式模型更紧凑但需要后处理算法构建完整排班。研究采用显式模型，为后续鲁棒优化奠定基础。
3. Shift scheduling with discretionary breaks
本章是研究的创新核心，提出了考虑员工自主休息的鲁棒调度框架。关键洞察是：不同的轮班计划对员工自主休息的“抵抗力”不同。某些轮班计划看似成本最优，但一旦员工自主安排休息，服务水平可能急剧恶化；而稍贵的轮班计划可能更能耐受休息时间的不确定性。
研究人员将此建模为双层次鲁棒优化问题（DBSP-BLP），其中上层决策轮班计划，下层模拟“最坏情况”下的休息安排——即员工选择的休息时间对服务水平损害最大。这种决策依赖不确定性（decision-dependent uncertainty）建模使得问题极具挑战性，因为不确定性集合取决于上层决策。
4. Multiple solutions search heuristic for DBSP
面对双层次问题的计算挑战，研究团队没有采用传统的双层次求解器（如[47]中所述，这些方法即使在小规模实例上也常遇到数值困难且收敛慢），而是开发了创新的多解搜索启发式（MSS）。
MSS算法的核心思想令人耳目一新：首先求解传统的轮班调度问题（WPS-IP）获得基准劳动力成本W1；然后迭代生成劳动力成本略高于基准但结构各异的多个轮班方案（通过设置成本下限Wh实现）；对每个候选轮班方案，评估其在最坏情况下的休息安排成本λ(y)；最终选择综合成本（劳动力成本+最坏情况偏离成本）最小的方案。
算法参数经过精心设置，每次迭代生成K=5000个候选解，最大迭代次数20次，劳动力成本上限设为基准的1.2倍。计算实验在AMD EPYC 7282处理器上完成，使用Gurobi 11.0.3作为整数规划求解器。
4.1. The basic idea
通过一个具体实例，研究生动展示了算法原理：一个6小时轮班（分为24个15分钟时段）的简单场景中，传统最优解有485个等效方案，但它们对应
