具有非线性传播与时滞控制的SIQR传染病模型稳定性分析及其在COVID-19防控中的应用

《Mathematical Biosciences》：Stability Analysis of a Time-Delayed SIQR Epidemic Model with Nonlinear Transmission and Control Parameters

本文构建了一个包含双时滞（潜伏期τ1与治疗期τ2）和非线性传播的SIQR传染病模型，通过Lyapunov-Krasovskii泛函和线性矩阵不等式（LMI）分析了无病平衡点与地方病平衡点的局部渐近稳定性，揭示了时滞引发Hopf分岔的临界阈值。创新性地提出自适应反馈控制策略，动态调节传播率（β）与隔离率（σ），为COVID-19等疫情的振荡抑制与政策优化提供量化依据。

　　

亮点

1. 1.
   我们运用时滞控制理论分析SIQR模型，通过构建线性化时滞系统的特征方程及Hermite矩阵，确立了正平衡点局部渐近稳定的精确条件。采用含时滞的Lyapunov-Krasovskii泛函，结合线性矩阵不等式（LMI）给出更精确、保守性更低的稳定性阈值。研究明确了时滞临界值：低于该值可确保疫情自然消退，超越则引发持续振荡。
2. 2.
   我们提出一种创新的反馈控制系统，能够实时监测时滞并动态调整传播率（β）与隔离率（σ），有效抑制时滞引发的振荡动态与二次感染波。该机制模拟了实际突发公共卫生事件中的自适应响应策略。
3. 3.
   扩展SIQR模型至多群体分层，针对不同人群（如高龄或易感群体）设置差异化时滞参数，提升治疗模拟精度。研究表明，不同感染亚群的分岔阈值与传播速率可能存在显著差异。

数值模拟

案例1： 讨论τ₁=τ>0且τ₂=0的情形。参数取值为p=0.6, b=100, β=3.2, d=0.1, α₁=19, α₂=9, α₃=7, γ=0.5, δ=1, ε=0.1, σ=3.5，得到系统方程：

{

dS/dt = 40 ? 3.2S(t?τ)I(t?τ) ? 3.5S(t?τ) ? 0.1S(t),

dI/dt = 3.2S(t?τ)I(t?τ) ? 0.5I(t) ? 20.1I(t),

dQ/dt = 3.5S(t?τ) + I(t) ? 9.1Q(t) ? 0.1Q(t),

dR/dt = 0.5I(t) + 60 + 0.1Q(t) ? 7.1R(t)

}

计算得到唯一正平衡点E*=(6.44, 0.82, 2.54, 8.54)，且满足稳定性条件式（101）–（102）。当τ=0.24时，系统出现Hopf分岔，引发周期性振荡。

结论

本研究通过整合非线性传播动力学与双时滞效应（潜伏与治疗延迟），深入解析了SIQR传染病模型的稳定性机制。基于时滞控制理论构建Hermite矩阵与Lyapunov-Krasovskii泛函，为地方病平衡点的局部渐近稳定性提供了严格的时滞依赖判据。