具有弱Allee效应的离散植物-食草动物模型动力学分析：稳定性、分岔与混沌行为

《Franklin Open》：Stability and bifurcation analysis of a discrete-time plant-herbivore model with chaotic dynamics under weak Allee effect on plant

本文针对植物种群在低密度下因弱Allee效应导致生长受限的生态问题，研究人员开展了一项关于离散时间植物-食草动物相互作用模型的动力学研究。通过建立并分析一个包含弱Allee效应的离散模型，作者揭示了系统平衡点的稳定性条件，并发现了系统会经历跨临界分岔和倍周期分岔，最终导致混沌动力学行为。该研究结果为理解种群相互作用的复杂动态提供了新的理论见解，对生态系统的管理和保护具有重要意义。

　　

在生态系统中，植物与食草动物之间的相互作用是维持生物多样性和生态系统功能的关键。然而，当植物种群密度较低时，其生长和繁殖可能会受到抑制，这种现象被称为Allee效应。弱Allee效应，作为一种特殊的密度制约现象，描述了种群在低密度下增长率下降但不会导致必然灭绝的情况。理解这种效应对植物-食草动物系统动态的影响，对于预测种群波动、制定保护策略以及管理农业生态系统至关重要。传统的连续时间模型虽然提供了许多见解，但现实世界中的种群动态往往是离散的，例如由季节变化驱动的世代更替。因此，构建和分析离散时间的植物-食草动物模型，能够更真实地反映自然种群的动态过程。

为了深入探究弱Allee效应在离散框架下如何塑造植物与食草动物的长期共存模式，研究人员在《Franklin Open》上发表了一项研究。该研究旨在通过数学建模和动力学分析，揭示系统平衡点的稳定性，并探索参数变化如何引发分岔和混沌等复杂动态行为，从而为生态系统管理提供理论依据。

本研究主要运用了离散动力系统理论、局部稳定性分析（通过计算雅可比矩阵及其特征值）、中心流形定理和分岔理论（包括跨临界分岔和Flip分岔的分析）等数学方法。通过数值模拟（如相图、分岔图）来验证理论结果并展示系统的复杂动力学行为。

局部稳定性分析

研究人员首先确定了系统的三个平衡点：灭绝平衡点E₀= (0,0)，边界平衡点E₁= (θ,0)（仅存在植物）和内部平衡点E₂（植物和食草动物共存）。通过计算各平衡点处雅可比矩阵的特征值，他们系统地分析了这些平衡点的局部稳定性。分析表明，灭绝平衡点E₀总是一个不稳定的鞍点。边界平衡点E₁的稳定性则取决于植物内禀增长率r和弱Allee效应阈值θ等参数。当r e^1-θ< 2 且 θ/(θ+1) < α（食草动物死亡率）时，E₁是稳定的；否则，它可能是不稳定的源点或鞍点，甚至可能发生跨临界分岔或Flip分岔。内部平衡点E₂的存在性和稳定性条件更为复杂，其稳定性同样受到参数取值的深刻影响。

稳定和不稳定流形

对于鞍点平衡点（如E₀和特定参数下的E₁），研究还分析了其稳定和不稳定流形。稳定流形由那些渐近趋近于平衡点的轨迹组成，代表了种群走向灭绝的条件；而不稳定流形则由那些远离平衡点的轨迹组成，代表了种群从低密度状态恢复或向其他状态演变的可能性。理解这些流形有助于预测生态系统在受到扰动后的长期演化路径。

分岔分析

研究的一个核心内容是分岔分析。理论推导和数值模拟均证实，系统在边界平衡点E₁和内部平衡点E₂处可以发生Flip分岔（倍周期分岔）。当控制参数（如植物的内禀增长率r）穿过临界值时，系统的稳定性会发生改变，稳定的平衡点失去稳定性，进而产生周期2、周期4等周期解，并最终通过倍周期分岔级联通向混沌。例如，当参数满足r e^1-θ= 2 且 α = θ/(1+θ) 时，系统在E₁处经历Flip分岔。数值模拟清晰地展示了随着参数r或α的变化，系统动态从稳定平衡点转变为周期振荡，最终进入混沌区域的过程。

数值证据

通过一系列数值算例，研究直观地展示了理论预测的各种动力学行为。例如，当参数取特定值时，系统轨迹收敛到稳定的内部平衡点E₂；当参数改变时，系统出现周期2解；进一步调整参数，则观察到复杂的混沌振荡。这些数值结果不仅验证了理论分析的正确性，还生动地揭示了弱Allee效应如何促使离散植物-食草动物系统产生丰富的动态，包括多重稳定性、周期性波动和确定性混沌。

本研究通过严谨的数学分析和广泛的数值模拟，深入探讨了具有弱Allee效应的离散植物-食草动物模型的动力学行为。研究结果表明，弱Allee效应的引入显著增加了系统的复杂性。系统不仅存在多个平衡点，其稳定性敏感地依赖于模型参数，而且可以通过Flip分岔等途径产生周期和混沌动态。这意味着在现实生态系统中，即使参数发生微小变化，也可能导致种群数量从稳定共存突然转变为剧烈波动甚至混沌，这解释了野外观察到的某些难以预测的种群动态。该研究强调了在生态建模中考虑Allee效应和离散时间结构的重要性。研究结果对生物保护具有启示意义：对于受弱Allee效应影响的濒危植物物种，管理策略需要确保其种群密度始终高于Allee阈值，以避免种群崩溃。在农业害虫管理中，理解食草动物种群如何因植物动态而出现周期性爆发或混沌波动，有助于制定更有效的控制策略。总之，这项研究为理解密度制约效应和离散时间过程共同作用下的种间相互作用提供了新的理论框架，加深了我们对生态系统复杂性的认识。