量子蒙特卡罗中一般性测量的突破：解决非对角测量难题的双分区重退火方案

《Nature Communications》：Addressing general measurements in quantum Monte Carlo

本研究针对量子蒙特卡罗（QMC）模拟中长期存在的非对角测量难题，提出了一种通用的“双分区重退火”（BRA）方案。该方案通过将目标观测量表达为两个配分函数的比值，并利用可解的参考点分别估计分子和分母，成功实现了从XXZ模型到横场伊辛模型、从等时到虚时关联、乃至非局域无序算子的精确测量。这一方法不仅扩展了QMC的应用范围，更在数学统计上解决了不同分布函数间重叠计算的本质问题，对量子多体计算、大数据与机器学习等领域具有广泛意义。

　　

在量子多体系统的研究中，量子蒙特卡罗（QMC）方法因其能够处理指数级自由度的大规模系统而备受青睐。然而，尽管经过数十年发展，QMC仍面临两大核心挑战：著名的符号问题（sign problem）和一般性（尤其是非对角）测量的难题。其中，非对角测量的困难在于，当算符作用在系统上时会改变原有的配分函数构型，导致无法直接通过常规采样获得期望值。这一局限严重制约了QMC在提取多体关联、动力学谱函数等关键物理信息方面的应用，使得许多重要物理量长期处于“可模拟不可测量”的尴尬境地。

针对这一瓶颈，来自西湖大学、复旦大学等机构的研究团队在《Nature Communications》上发表了题为“Addressing general measurements in quantum Monte Carlo”的论文，提出了一种名为“双分区重退火”（Bipartite Reweight-Annealing, BRA）的通用框架。该方案的核心思想是将目标观测量〈O〉表示为两个配分函数（Z? = tr(Oe^–βH) 和 Z = tr(e^–βH)）的比值，通过分别对分子和分母进行独立的退火路径计算，并借助易于求解的参考点（如具有SU(2)对称性的海森堡点）将两者连接，从而规避了直接计算不同构型分布间重叠的难题。

研究团队主要依托随机级数展开（SSE）量子蒙特卡罗方法，结合定向循环算法（directed loop algorithm）对自旋系统进行采样。关键技术突破包括：1. 构建双分区重退火流程，通过参数、空间尺寸或虚时间的渐进演化保持相邻分布间权重比在O(1)范围内，确保重要性采样的有效性；2. 利用系统的可分离性，将大系统分解为无耦合子系统，通过精确对角化（ED）获取小系统参考值后，再退火耦合至目标体系；3. 针对虚时关联测量，引入扩展系综技术，通过统计算子在不同虚时位置的采样比例计算权重比。所有模拟均通过自定义C++代码实现，大规模计算依托西湖大学高性能计算中心完成。

双分区重退火框架

研究团队指出，非对角算符的测量本质是计算Z?与Z的比值。当算符为对角时，两者共享相同的构型空间，可直接采样；但对于非对角算符，Z?的构型{W′_i}与Z的构型{W_i}完全不同，导致无法直接通过常规QMC采样其比值。BRA方案通过引入参考点J′，将目标值拆解为：

〈O(J)〉 = [Z?(J)/Z(J′)] × [Z(J′)/Z(J)] × 〈O(J′)〉

其中Z?(J)/Z?(J′)和Z(J′)/Z(J)可通过重退火逐级计算，而〈O(J′)〉则选取易于求解的参数点（如△=1的SU(2)对称点）通过ED或对角测量获得。该方法通过控制每一步的权重比在O(1)范围内，确保多项式计算复杂度与误差可控性。

等时非对角关联

以XXZ模型为例，研究人员通过BRA框架成功测量了二维点关联〈S_i^xS_j^x〉和四点关联〈S_i^xS_j^xS_k^xS_l^x〉。通过选择△=1作为参考点（此时〈S^xS^x〉=〈S^zS^z〉），利用参数退火获得了从一维链到二维方格的一系列关联函数数据，结果与精确对角化高度吻合。

系统尺寸与距离的退火

研究还展示了通过退火系统尺寸L和算符间距r来测量大尺度关联函数的方法。以L=48的XXZ链为例，通过从小系统（如L=4）的ED结果出发，逐步增加格点并调节耦合强度，成功获得了长程幂律衰减的C^xx(r)函数，清晰反映了Luttinger液体的物理特征。

测量的可分离性

基于系统可分离性原理，研究人员将大系统分解为无耦合子系统，先通过ED测量各子系统的观测量，再通过退火引入子系统间耦合，从而构建整体测量值。该方法在多点关联函数测量中表现出色，为大规模系统模拟提供了新思路。

二维TFIM中的无序算子

在横场伊辛模型（TFIM）中，团队成功测量了非局域无序算子〈X〉=〈∏_i∈Mσ_i^x〉（M为R×R方形区域）。通过以J→0⁺为参考点（此时〈σ^xσ^x〉≈1），利用BRA方法获得了顺磁相中的周长律（〈X〉～e^–al）和铁磁相中的面积律（〈X〉～e^–bl2）行为，揭示了系统的高形式对称性破缺信息。

虚时非对角关联

研究进一步将BRA扩展至虚时关联函数测量。通过构建包含不同虚时点算符的扩展系综，利用采样数目比例计算权重比，成功获得了〈S^x(τ)S^x(0)〉随虚时变化的函数。结合随机解析延拓（SAC）技术，首次在QMC中提取了非对角算子的激发谱S^xx(q,ω)，发现其与对角谱S^zz(q,ω)存在显著差异：前者呈现尖锐的单粒子激发特征，后者则显示强烈的双粒子连续谱。

本研究提出的双分区重退火框架，从根本上解决了量子蒙特卡罗中非对角测量的长期难题。通过将物理参数、空间尺寸和虚时间均纳入退火路径，该方法实现了对多体关联函数、非局域算子和动力学谱函数的全面测量。值得注意的是，该方案的本质是解决了数学统计中不同分布函数间重叠计算的通用问题，其思想可进一步推广至纠缠熵测量、机器学习等更广泛的统计物理与数据科学领域。随着量子多体系统研究的不断深入，BRA框架有望成为连接微观模拟与宏观观测的重要桥梁，为探索新型量子物态提供强有力的数值工具。