基于区间值广义凸映射的局部分形积分不等式及其应用

《AppliedMath》：Generalized Interval-Valued Convexity in Fractal Geometry

本文系统构建了局部分形空间上区间值广义凸（I.V.）映射的Hermite-Hadamard型、Fejér型及Pachpatte型积分不等式理论框架。作者通过引入区间值局部分形积分概念，严格证明了广义凸性在分形集上的Jensen不等式、Hermite-Hadamard包含关系等重要性质，并给出数值算例验证理论结果的有效性。该研究为分形几何优化理论提供了新工具，在非光滑系统分析领域具有应用潜力。

　　

局部分形空间基础理论

本文在局部分形空间R^s(0<s≤1)的框架下展开研究，该空间由满足lim_y→x[f(y)-f(x)]/(y-x)^s存在的点构成。关键工具包括局部分形伽马函数Γ(1+s)和局部分形积分算子_σI_?^s，其定义依赖于分形维数参数s。特别地，当s=1时，该理论退化为经典微积分。

区间值映射的代数结构

通过定义区间值映射Θ=[Θ_?,Θ^?]的运算规则，建立了完备的代数体系。其中包含区间加法、数乘运算以及基于Hausdorff-Pompeiu距离的序关系。值得注意的是，区间值局部分形积分可分解为端点函数的积分运算，即_σI_?^sΘ(??)=[_σI_?^sΘ_?(??), _σI_?^sΘ^?(??)]，这为后续不等式证明提供了重要技术路径。

广义凸性理论突破

创新性地提出了区间值广义凸映射(SIGX)和凹映射(SIGV)的定义：映射Θ:[σ,?]→R_I^s称为广义凸，当且仅当对任意?∈[0,1]满足Θ(?σ+(1-?)?) ? ?^sΘ(σ)+(1-?)^sΘ(?)。通过定理3证明，区间值映射的凸性等价于其端点函数分别具有经典凸性和凹性，这一发现建立了传统凸分析与分形凸分析的桥梁。

Hermite-Hadamard型不等式构建

定理6建立了核心的Hermite-Hadamard包含关系：

Θ((σ+?)/2) ? Γ(1+s)/(?-σ)^s_σI_?^sΘ(??) ? [Θ(σ)+Θ(?)]/2^s

证明过程巧妙运用了分形积分的线性性质和凸性定义。当s=1时，该结果退化为经典的区间值Hermite-Hadamard不等式，体现了理论体系的兼容性。

Fejér型不等式推广

针对对称权函数g(?σ+(1-?)?)=g((1-?)σ+??)，定理7-8给出了左右侧Fejér不等式：

_σI_?^sΘ(??)g(??) ? [Θ(σ)+Θ(?)]/2^s_σI_?^sg(??)

该结果通过对称函数加权积分，揭示了分形测度下凸函数积分的更深层次特征。证明中采用的变量替换技术充分考虑了分形积分的尺度特性。

乘积不等式新发现

定理9-10首次建立了两个区间值广义凸映射乘积的积分不等式：

_σI_?^sΘ(??)g(??) ? [Γ(1+2s)/Γ(1+3s)]Q₁(σ,?)+[Γ(1+s)/Γ(1+2s)-Γ(1+2s)/Γ(1+3s)]Q₂(σ,?)

其中Q₁=Θ(σ)g(σ)+Θ(?)g(?), Q₂=Θ(σ)g(?)+Θ(?)g(σ)。该结论通过精细的分形Beta函数计算，揭示了凸函数乘积积分的定量关系。

数值验证与几何诠释

通过四个典型算例的数值模拟，验证了主要结论的正确性。特别地，例2以Θ(??)=[??²,10-??²]为测试函数，在s=1情形下得到与传统微积分完全吻合的结果。图像分析显示，分形维数s的变化会影响不等式包含关系的紧致程度，这为实际应用中的参数选择提供了指导。

理论意义与应用前景

本研究建立的局部分形积分不等式理论，不仅推广了经典凸分析的重要结果，更为处理分形集上的优化问题提供了新范式。在生命科学领域，该理论可用于分析具有自相似特征的生物组织结构（如肺支气管树、血管网络）的相关性质，为定量研究复杂生物系统的形态发生和功能优化奠定数学基础。