基于非线性控制的无人机液体载荷防晃控制策略研究

《Technologies》：Voltage Regulation of a DC–DC Boost Converter Using a Vertex-Based Convex PI Controller

本文针对无人机（UAV）在液体运输任务中因液体晃动（sloshing）引发的稳定性难题，提出了一种基于欧拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）建模和非线性控制的新策略。该研究将四旋翼无人机简化为平面垂直起降（PVTOL）模型，并将液体晃动等效为摆模型，设计了能够同时实现精确轨迹跟踪和主动抑制晃动的控制律。通过李雅普诺夫（Lyapunov）直接法证明了闭环系统的稳定性，并在MATLAB/Simulink仿真中验证了其相较于传统比例-微分（PD）控制器的优越性能，为提升农业喷洒等应用的安全性与操作性能提供了鲁棒解决方案。

　　

摘要

无人机的液体运输任务，例如农业喷洒，面临着由液体自由表面运动（即晃动）引起的重大稳定性挑战。晃动会产生不可预测的力，使飞行器失稳并增加碰撞风险。本研究通过开发和验证一种非线性控制策略来解决这一问题，该策略旨在确保精确的轨迹跟踪，同时主动抑制液体晃动。系统耦合动力学采用欧拉-拉格朗日形式主义建模，将无人机表示为平面垂直起降（PVTOL）飞机，并将液体晃动动力学表示为等效的摆模型。整个闭环系统的稳定性通过李雅普诺夫直接法得到证明。分析结果通过在MATLAB/Simulink中的数值模拟得到验证，模拟结果展示了对期望高度和水平轨迹的出色跟踪能力。至关重要的是，模拟结果证实该控制器能有效衰减晃动振荡，为增强无人机在液体运输应用中的安全性和操作性能提供了一个鲁棒的解决方案。

1. 引言

无人机的研究在过去几十年中不断增长，其在民用和军事领域有着广泛的应用。在精准农业和灾害管理等领域，无人机技术也产生了显著影响。在各种无人机平台中，固定翼无人机和多旋翼无人机是两种主要类型。尽管应用取得了进展，但电池寿命、鲁棒的自主导航和安全性等持续存在的挑战阻碍了无人机的高性能操作。特别是在携带液体有效载荷（如农业喷洒）的场景下，部分填充的容器会引入复杂的动力学特性。无人机即使有微小的运动，也会出现与液体自由表面相关的现象，即晃动。在飞行机动过程中，晃动的液体会产生不可预测的力，影响飞行器的控制性能和稳定性。为了分析车辆-液体耦合动力学的复杂性，经常采用等效机械模型，如质量-弹簧-阻尼器模型和摆模型。减轻晃动动力学的方法主要分为被动方法和主动方法。被动方法通过改变容器形状或内部结构来减少晃动；主动方法则通过控制作动器（如无人机的电机）来减少液体晃动。尽管抗晃动解决方案取得了进展，但这仍然是一个活跃的研究领域。各种控制技术已被应用于受晃动影响的系统，包括比例-积分-微分（PID）控制器、线性二次型调节器（LQR）、H_∞控制以及一些非线性反馈方案。然而，许多先进的控制律需要系统的全部知识，包括液体的晃动速率和角度，这些参数难以直接测量，这促使了利用状态估计器的输出反馈控制器的发展。本文在现有研究基础上，提出了一种非线性控制策略。本研究的主要贡献包括：推导了基于四旋翼（表示为PVTOL）运输液体有效载荷的新非线性动力学模型；基于所获动态模型生成了非线性控制律，并利用李雅普诺夫直接法正式证明了整个闭环系统的稳定性；通过MATLAB/Simulink R2024a中的综合数值模拟验证了所提出的非线性模型和控制策略。

2. 携带液体有效载荷的PVTOL无人机动力学模型

本节对携带液体有效载荷的四旋翼无人机进行建模，考虑飞行器在其纵向平面内运动（作为PVTOL飞行器）。为了获得其动力学模型，陈述了以下假设：飞行器结构是刚性且对称的；质心与机体坐标系原点O_B重合；螺旋桨是刚性的；滚转力矩产生一个垂直于z轴的力；假设沿y轴的动力学以及俯仰角φ和偏航角ψ的动力学被完全控制。四旋翼飞行器由四个独立驱动的旋翼组成，产生推力和控制力矩。当飞行器在其纵向平面内运动时，其动力学可以近似为PVTOL模型。在该配置中，VTOL系统被建模为携带液体有效载荷的PVTOL飞机，液体装在矩形储箱中。液体晃动动力学使用等效摆模型来近似。容器内液体的自由表面是一个主要问题，因为解的复杂性。表示容器内晃动动力学的一种方法是使用等效机械模型，例如质量-弹簧-阻尼器模型或摆模型。后者是本文采用的方法。使用欧拉-拉格朗日形式主义推导携带液体有效载荷的VTOL系统的运动方程。首先，必须获得整个系统的动能和势能表达式。PVTOL的动能和势能分别由K_P和U_P表示，而带有液体晃动等效摆模型的容器由K_C和U_C定义。然后，可以建立表达式。定义K = K_P+ K_C和U = U_P+ U_C为系统的总动能和总势能，得到拉格朗日函数L = K - U。一旦建立了拉格朗日函数，就应用带能量耗散的欧拉-拉格朗日方程。其中广义坐标、广义力和瑞利耗散函数分别由q_i= [x z θ θ_C]^T, Q_i= [F_xF_zτ_θ0]^T, 和 ? = (1/2)Cθ?_C²给出。然后，应用欧拉-拉格朗日方程，得到系统的非线性模型。得到的方程组可以以更易于理解和管理的矩阵形式表示。其中m_T和I_T分别表示系统的总质量和总转动惯量。

3. 提出的控制器设计

本节提出了用于携带液体有效载荷的VTOL系统的控制器设计。整体控制架构采用分层结构，由两个主要控制回路组成。上层控制回路负责纵向PVTOL动力学，调节沿x轴和z轴的平移运动，以及滚转角θ和容器倾角θ_c。采用所提出的非线性控制器或基于PD的控制器来跟踪期望的参考信号，生成控制输入μ和τ，应用于四旋翼子系统。下层控制回路管理与横向和旋转动力学相关的剩余自由度，即y位置以及俯仰和偏航角(φ, ψ)。由于本工作的重点限于平面运动，相应的参考信号设为零。该控制器产生扭矩τ_?和τ_ψ以稳定系统围绕期望平衡点。为了便于分析和控制设计，可以将系统表示为解耦形式，从而清晰地将PVTOL动力学与液体晃动相关的动力学分离开来。因此，阐述了以下方程。非线性系统可以表示为简化的高度动力学。因此，可以重写系统方程。我们假设高度z最终达到期望设定点，即位置误差z?收敛到零。然后，系统简化为以下形式。为了控制PVTOL系统的完整位移，定义了期望的水平位移动力学。其中k₃是定义收敛速率的常数，x?是实际位置x与期望位置x_d之间的误差。如果期望位置x_d是常数，则x?的二阶导数是x?。然后，将其引入到期望水平位移动力学的一阶导数中，得到以下表达式。其中F_s12= - (F_s2/m_T)tanθ + (F_s1/m_T)表示影响水平位移的组合晃动项。鉴于PVTOL的水平位移取决于倾斜角，虚拟期望角θ_d和相应的误差ε可以如下使用。通过求解tanθ的表达式并将其代入水平位移动力学的一阶导数，得到以下表达式。展开该表达式，得到。求解水平位移误差动力学表达式，得到。方程和导出了平移动力学的以下状态空间表示。PVTOL滚转动力学的控制策略跟踪期望参考θ_d，需要定义期望滚转角θ_d与测量的滚转角θ之间的误差。滚转角误差的最终动力学是通过将PVTOL滚转加速度的表达式代入滚转角误差的二阶导数来确定的，得到以下结果方程。控制输入τ被设计为确保误差动力学收敛到零，同时抑制晃动扰动F_s3。然后，将控制输入代入滚转角误差动力学方程，得到。这可以重写为状态空间形式。给定子系统和，目标是使用李雅普诺夫理论分析它们的渐近稳定性。通过为每个子系统构建适当的李雅普诺夫候选函数，可以证明相应的误差状态收敛到各自的参考值，从而确保平移和滚转角误差动力学的稳定性。该分析保证了在所提出的控制律下闭环系统保持稳定，并且跟踪误差渐近衰减。在此背景下，目标是确定合适的控制器增益值，使得最终的状态矩阵成为赫尔维茨矩阵，通过李雅普诺夫框架确保渐近收敛。

4. 李雅普诺夫稳定性分析

回顾水平位移和旋转动力学的状态空间动力学，注意到获得了与参考文献中类似的结构。因此，遵循类似的程序来完成系统的李雅普诺夫稳定性分析。

4.1. 平移动力学

首先，平移动力学必须满足以下李雅普诺夫方程。其中P₁和Q₁是对称正定矩阵。为了求解李雅普诺夫方程，假设候选矩阵P₁为以下形式的对称矩阵。通过将表达式A₁, P₁和Q₁代入李雅普诺夫方程并求解其元素，得到以下解矩阵。接下来，提出一个正定李雅普诺夫候选函数。通过将P₁的表达式代入李雅普诺夫候选函数，该函数可以紧凑地表示为。计算V₁的一阶时间导数得到。方程的最后一项满足一个不等式。最后，通过将不等式代入V?₁的表达式，得到。如果k₃> 0 且 k₄> 0，则方程中的第一项对所有非零状态严格为负，而剩余项是有界的。因此，V?₁是负定的，这保证了系统的水平动力学是渐近稳定的。

4.2. 旋转动力学

通过应用先前分析中使用的相同程序，并参考参考文献中的一些思想，给出了旋转动力学的稳定性。旋转动力学必须满足以下李雅普诺夫方程。其中对称正定矩阵P₂和Q₂是李雅普诺夫方程的解。然后，提出以下李雅普诺夫函数。其一阶时间导数由下式给出。如果c₁> 0 且 c₂> 0，则矩阵Q₂变为正定，这意味着李雅普诺夫函数对所有非零状态严格为正。因此，其一阶时间导数严格为负，意味着V?₂是负定的。因此，旋转误差动力学是渐近稳定的。

5. 仿真结果

为了验证第2节推导的动态模型和第3节提出的抗晃动控制策略的性能，首先评估了所提出的控制策略；随后，与具有主动晃动抑制功能的标准比例微分控制器进行了比较分析。晃动模型的物理相关性得到了附录A中给出的实验结果的进一步支持。相同的模型在纯平移运动下在实验室平台上实现，显示的晃动行为与本节报告的仿真结果一致。仿真中使用的期望轨迹是根据精准农业应用中典型的飞行模式定义的。数值仿真在MATLAB/Simulink中进行。两种场景中使用的系统通用物理参数详见表格。仿真采用固定步长数值积分方案配置。总仿真时间设置为120秒，采用ode3固定步长求解器，步长为5×10^-4。选择这些设置是为了确保数值稳定性并准确捕捉系统动力学。

5.1. 所提出的非线性控制器的仿真

所提出的非线性控制器的控制器增益经过调整，以最小化超调，同时确保快速收敛和闭环稳定性。选定的增益总结在表格中，并根据系统动力学和控制目标进行了调整。测试场景旨在证明控制器处理垂直和水平位移的能力，其中水平机动是能够激发液体动力学的动作。首先，PVTOL起飞至高度z_d= 1.0 m，在t = 17 s时达到期望高度，无超调。一旦高度几乎稳定，在t = 13 s时，给出斜坡参考信号，使无人机移动到期望的水平位置x_d= 1.0 m，在t = 100 s时达到，超调最小，展示了控制器的跟踪能力。图示也说明了系统的旋转动力学，以及