基于降阶伴随方程的源项估计

《BUILDING AND ENVIRONMENT》：Source term estimation based on the reduced-order adjoint equation

污染源项估计效率优化研究，提出基于Krylov子空间降阶模型的源项估计方法，通过贝叶斯推断整合测量与模拟数据。实验表明多输入ROM在非理想条件下误差更小，且计算成本较全阶模型降低90%以上，但理想条件下两者误差相当。

　　

张一辰|周轩毅|朱建杰|菊本英树

同济大学土木工程灾害减害国家重点实验室，200092，上海，中国

摘要

为了提高紧急情况下污染物源识别的效率，本文提出了一种基于降阶模型（ROM）的新型源项估计（STE）方法。首先，将原始（全阶）伴随方程投影到Krylov子空间以实现模型阶数的降低，从而能够快速求解降阶伴随方程。通过结合ROM的解和投影矩阵，可以重构全阶模型（FOM）的解。最后，通过将测量浓度和模拟浓度（即数值模拟的解）纳入贝叶斯推断来完成STE过程。本研究调查了基于两种类型ROM（单输入和多输入）的STE性能。结果表明，多输入ROM的估计精度高于单输入ROM。此外，还分析了ROM与FOM之间的差异。在理想化条件下（模拟结果与测量数据非常接近），FOM和ROM在STE的初始阶段都能准确估计源参数，这意味着在这种情况下ROM没有明显优势。然而，在非理想化条件下（模拟结果与测量数据偏离，这种情景更符合现实世界的紧急情况），只有在获得足够长的测量数据后才能获得准确的估计结果。鉴于FOM的计算成本随模拟时间线性增加，而ROM的计算成本随模型阶数增加，ROM表现出明显的效率优势。

引言

在过去的几十年里，环境保护已成为全球优先事项。可持续发展的广泛采用促使各国政府推出针对性政策并投入大量资源来应对环境挑战。在这种背景下，源项估计（STE）[1]成为了一个关键的研究领域，旨在准确高效地确定空气污染物源参数（包括位置、释放率、释放时间等）。准确快速地识别排放源参数不仅有助于制定控制空气污染物扩散的针对性措施，还能有效降低空气污染带来的公共卫生风险及相关经济损失。

目前，优化算法和贝叶斯推断是STE问题中的两种主要方法[[2]]，[3]]。此外，当源位置已知时，Tikhonov正则化在重建释放率方面表现出色[4]。然而，在涉及未知源位置的情景中，需要将其与贝叶斯推断结合使用[5]。在优化算法中，成本函数量化了测量浓度和模拟浓度之间的差异。可以使用受物理[6]、遗传学[[7]]、[8]]和仿生学[9]启发的搜索策略在参数空间中探索最优解。然而，由于当前数值模拟和测量技术的局限性，优化算法得出的确定性解与真实参数之间不可避免地存在误差。相比之下，贝叶斯推断提供了概率分布，可能对估计结果提供更全面的描述[10]。

作为一种数据同化方法，贝叶斯推断将先验知识与观测数据结合起来，即使在考虑模型误差和测量噪声的情况下，也能实现对STE结果不确定性的稳健量化。在贝叶斯推断中，先验概率由先验知识确定，通常基于实证证据或历史数据。似然函数类似于优化算法中的成本函数，用于量化测量浓度和模拟浓度之间的差异。贝叶斯推断利用观测数据更新先验概率，从而得出源参数的后验概率。与优化算法不同，贝叶斯推断提供了结果的概率特征。因此，决策者可以通过概率密度分析评估结果的可靠性，即使估计结果与真实值有所偏差。

在STE研究中，无论是使用优化算法还是贝叶斯推断，量化测量浓度和模拟浓度之间的差异都是必要的，这使得建立源-受体关系变得至关重要。对于不同的情景，研究人员通常采用适当的扩散模型来构建源-受体关系，同时平衡计算效率和准确性。高斯羽流模型适用于模拟开阔区域的污染物扩散[[10]]，[11]]，[12]]，而多区域模型更适合室内扩散情景[[13]]，[14]]，[15]]。然而，这些简化的扩散模型仅适用于某些特定情景，在复杂情景下难以准确模拟浓度分布。因此，为了更广泛的应用，一些研究人员使用基于计算流体动力学（CFD）的平流-扩散方程来模拟污染物扩散。该模型已成功应用于STE研究，例如地下排水网络中的污水泄漏[16]和城市规模的污染物扩散[17]。尽管平流-扩散方程具有广泛的应用性和高精度，但其计算成本显著高于高斯羽流模型和多区域模型。由于STE需要为所有潜在的源参数组合模拟浓度，平流-扩散方程的高计算成本可能阻碍其在紧急情况下的实际应用。为了解决这个问题，Keats等人使用了伴随方程来建立源-受体关系[18]。根据对偶关系，平流-扩散方程和伴随方程得出的结果是相同的。通过分别为每个传感器求解伴随方程，可以获得所有潜在源参数组合的模拟浓度。由于传感器的数量通常远少于潜在源参数组合的数量，因此模拟浓度的计算成本显著降低。伴随方程已在STE研究中得到广泛应用[[19]]，[20]]，[21]]，[22]]，[23]]，[24]]，[25]]。尽管使用伴随方程可以显著减少STE中需要求解的偏微分方程（PDE）的数量，从而降低总体计算成本，但在大规模情况下使用有限体积法（FVM）离散化伴随方程得到的代数方程系统往往具有极高的维度——通常达到数百万阶。直接求解这样的系统仍然计算成本高昂。应用模型降阶技术[26]可以进一步降低成本。当前主流的降阶模型（ROM）包括适当正交分解（POD）和动态模态分解（DMD）[27]。POD是一种相对早期开发且成熟的技术，它将原始数据分解为空间正交模态，并根据特征值（能量）对它们进行排序，从而使用较少的主导模态重构流场[28]。在污染物扩散研究中，Fang等人[29]、Ding和Yang[30]分别利用POD重构流场以进行后续扩散模拟。DMD是另一种新兴且发展迅速的ROM。尽管DMD模态缺乏正交性，但每个模态对应一个单一频率，使其特别适用于物理解释。在根据选择标准[31]]，[32]]对DMD模态进行排序后，可以使用少数主导模态重构或预测场。此外，Zhu等人[25]利用DMD在STE研究中重构和预测时变流场，减少了流场数据存储需求，同时提高了STE效率。

然而，POD和DMD都是基于奇异值分解（SVD）的ROM，它们难以用于伴随方程的模型阶数降低。Vervecken等人[33]提出了一种将空间离散化的PDE投影到低维子空间以模拟污染物扩散的ROM。为了确保原始模型和降阶模型之间的矩匹配（矩是系统传递函数泰勒展开的系数）[34]，采用了Krylov子空间。Arnoldi算法和Lanczos算法是构建Krylov子空间的两种主要方法。然而，推导ROM需要访问全阶模型（FOM）的系统矩阵，而这在大多数CFD软件包中通常是不可用的[33,35]。为了解决这个问题，Vervecken等人[33]开发了一种间接Arnoldi算法。该算法消除了对FOM显式系统矩阵的需求，使得使用常规CFD软件包为复杂系统构建ROM相对简单。基于Krylov子空间的ROM已在许多模拟研究领域得到成功应用，包括芯片热传导（Wang等人，2014年）、近距大气扩散[33]、电动汽车电池组热管理[36]和室内传染性气溶胶传输[35]。目前尚未有研究将这种方法应用于STE研究，而将ROM技术应用于伴随方程可以降低模拟浓度的计算成本，从而提高STE效率。

总之，本文基于贝叶斯推断开发了一种方法，使用降阶伴随方程计算模拟浓度，从而实现更高效率的STE。第2节介绍了理论框架，包括贝叶斯推断、伴随方程及其降阶形式。第3节描述了污染物扩散的风洞实验和CFD模拟的设置。第4节验证了实验测量结果与数值结果之间的一致性，然后对FOM和ROM的性能进行了比较分析。第5节提出了结论。

部分摘录

方法

图1是使用ROM进行STE的流程图。首先，通过传统的CFD方法生成平均流场和扩散系数场（尽管本文采用了大涡模拟模型，但该框架也适用于雷诺平均纳维-斯托克斯模型）。然后，根据新的ROM策略获得模拟浓度。具体来说，首先根据这些平均场构建伴随方程，然后进行空间离散化（不进行时间离散化）

风洞实验

本文通过在同济大学TJ-5风洞进行的污染物扩散风洞实验验证了基于ROM的STE性能。图2展示了风洞实验的概览。九个不同高度的建筑模型以3×3的模式排列。根据建筑高度，实验的参考高度H定义为0.15米。每个建筑模型的长度和宽度尺寸为0.5H。六氟化硫（SF?）被

结果与讨论

在使用ROM估计源参数之前，应验证数值模拟参数设置的合理性以及前向模拟结果的准确性。随后，基于平均流场求解全阶伴随方程和降阶伴随方程。最终，在贝叶斯推断框架内，使用ROM得到的模拟浓度来估计污染源参数。

结论

为了提高STE的效率，本文提出了一种基于ROM的方法，显著降低了计算成本。在理想化条件（测量浓度和模拟浓度之间的差异较小）和非理想化条件（测量浓度和模拟浓度之间存在一定差异）下进行了STE，以评估ROM的估计性能。最后，比较了FOM和ROM的计算效率。

环境影响

本研究开发了一种用于危险空气污染物的快速源估计方法。使用SF6作为危险物质扩散的示踪剂，我们的方法在现实的城市风洞中得到了验证，适用于环境相关条件。它为应急响应提供了关键工具，能够快速评估风险并控制危险化学物质的释放，从而保护公众健康和环境。

CRediT作者贡献声明

张一辰：撰写——原始草案、可视化、软件、资源、方法论、调查、形式分析、数据整理。周轩毅：项目管理、资金获取、概念化。朱建杰：可视化、验证、形式分析、概念化。菊本英树：监督、调查。