Eig-PIELM：基于物理信息极限学习机的高效无网格特征值问题求解方法

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Eig-PIELM: an efficient mesh-free method for eigenvalue problems using physics-informed extreme learning machines

本文提出Eig-PIELM框架，将物理信息极限学习机（PIELM）推广至线性特征值问题求解。该方法通过代数投影精确满足边界条件，将控制方程转化为可一次性求解的广义特征值系统，实现了无网格、非迭代的完整频谱计算，在结构振动与波传播问题中展现出媲美有限元法的高精度。

　　

主要创新点

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  ?? 提出新颖的Eig-PIELM框架，将微分特征值问题重构为可通过线性代数直接求解的广义特征值系统
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  ?? 实现完整特征谱和模态形状的同步计算，突破传统方法需逐对提取的特征值-特征向量限制
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  ?? 采用代数投影技术在离散边界配点处精确实施边界条件，避免罚函数法的近似约束误差，无需参数调优
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  ?? 建立无网格非迭代求解器，彻底消除反向传播与优化迭代的计算开销
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  ?? 在结构振动、声学传播及弹性动力学等基准问题中完成全面验证，展现低计算成本下的高精度优势

数值实验

为评估Eig-PIELM性能，我们针对一维及二维结构动力学与波传播问题开展系列特征值计算实验。测试案例涵盖以下自由振动场景：

1. 1.
   两端固定及一端固定一端自由均匀棱柱杆的纵向振动（控制方程为二阶常微分方程，固定端位移为零，自由端轴向力为零）
2. 2.
   梁结构横向振动问题（涉及高阶微分算子与复杂边界条件）

结论

我们开发的Eig-PIELM框架通过重构物理信息极限学习机（PIELM）方法，成功解决了线性特征值问题的无网格求解难题。本研究的核心突破在于克服了PIELM处理特征值问题时的固有局限——即特征值与特征函数同时未知导致闭式求解失效的关键问题。

我们的核心创新在于通过代数投影精确实施边界条件，将优化问题降维至可通过标准特征分解程序直接求解的对称广义特征值系统。该方法在保持极限学习机（ELM）单次线性求解计算优势的同时，首次实现了微分特征值问题的非迭代求解，为机械、声学和机电系统等需要快速频谱分析的参数化研究提供了高效计算工具。