《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Wasserstein crossover for evolutionary algorithm-based topology optimization
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本文针对传统拓扑优化方法在处理非光滑、多模态目标函数时的局限性，提出了一种结合Wasserstein重心插值的新型进化算法框架。研究人员通过引入最优传输理论中的Wasserstein距离，开发了物理意义明确的交叉算子（Wasserstein Crossover），实现了材料分布的平滑形态学插值。该研究在二维应力最小化、二维湍流传热和三维应力最小化等问题上验证了框架的有效性，结果表明新方法能显著提升Pareto前沿性能，生成拓扑结构新颖的高性能设计。这项工作为处理复杂物理场下的拓扑优化问题提供了新思路，对工程设计自动化具有重要意义。
在工程设计领域，拓扑优化作为寻找材料最优布局的强大工具，长期以来面临着一个核心挑战：如何有效处理具有非光滑性、多模态特性的复杂物理问题。传统基于梯度的优化方法虽然计算高效，但在应对应力集中、湍流换热等涉及尖锐界面和非线性现象的问题时往往力不从心。特别是当目标函数不可微或存在多个局部最优解时，这类方法极易陷入局部最优，难以获得全局优化的设计方案。
为突破这一瓶颈，研究者开始将目光投向进化算法（EA）。这类基于种群的优化方法不依赖梯度信息，具有强大的全局探索能力，尤其适合处理多目标优化问题。然而，将进化算法直接应用于高分辨率拓扑优化面临巨大计算成本挑战，因为每个候选设计都需要进行精细的有限元分析。更关键的是，传统进化算法中的交叉操作（如模拟二进制交叉）在处理拓扑结构时缺乏物理直觉，生成的子代可能违反物理规律，导致优化效率低下。
针对这些挑战，发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上的这项研究提出了一种创新框架，将最优传输理论中的Wasserstein距离引入拓扑优化的进化过程中。该研究的核心创新在于开发了基于Wasserstein重心的交叉算子（Wasserstein Barycenter Crossover），实现了材料分布之间的物理意义明确的形态学过渡。与传统的线性插值或变分自编码器（VAE）相比，这种新方法能够保持结构的连通性和拓扑特征，产生更加合理的子代设计。
为验证框架的有效性，研究团队设计了三个具有挑战性的数值算例：二维裂纹板应力最小化问题、二维湍流换热问题以及三维应力最小化问题。这些问题共同的特点是目标函数复杂（最大应力、压力损失等）、物理场非线性强，传统方法难以处理。研究采用多精度策略，首先通过低精度（LF）模型快速生成多样化初始种群，然后在高精度（HF）模型上进行精确评估和进化优化。
关键技术方法主要包括：基于密度法的低精度拓扑优化生成初始设计；Wasserstein重心计算实现材料分布的物理合理插值；基于Pareto支配和非支配排序遗传算法II（NSGA-II）的选择策略；超体积指标评估收敛性。对于流体问题，高精度模型采用k-ε湍流模型，而低精度模型使用简化层流模型以加速初始种群生成。
研究结果充分证明了新方法的优越性。在二维裂纹板设计中，Wasserstein交叉仅用100代就将超体积指标提升80%，显著优于VAE交叉的31%提升。优化后的设计在相同体积分数下最大应力降低了40%，展现出更均匀的应力分布。在二维湍流换热问题中，新方法生成的板翅式结构在保持换热性能的同时，将压降降低了约60%。三维算例进一步验证了框架处理复杂几何的能力，优化设计呈现出独特的内部支撑结构。
通过系统比较Wasserstein交叉与VAE交叉的表现，研究发现前者能产生更多样化且性能更优的拓扑结构。关键机制在于Wasserstein距离能够量化概率分布之间的相似性，从而在交叉过程中保持结构的拓扑特征。这种物理引导的交叉操作比黑箱式的VAE插值更具解释性，生成的设计也更符合工程直觉。
值得注意的是，该框架成功解决了拓扑优化中的两个长期难题：一是通过多精度策略平衡计算成本与精度需求；二是通过Wasserstein交叉实现拓扑结构的平滑演化，避免传统交叉操作可能产生的结构不连续问题。与单纯增大P-范数应力中参数P的密度法相比，该框架能直接优化最大应力，避免近似误差。
研究结论表明，基于Wasserstein交叉的进化算法框架为处理非光滑、多目标拓扑优化问题提供了有效解决方案。其优势在于：物理合理的交叉操作保证子代质量；多精度策略降低计算成本；适用于复杂物理场和三维问题。这项工作的意义不仅在于提出了一个新算法，更开创了将最优传输理论应用于拓扑优化的新范式，为未来研究指明了方向。
