基于变分多尺度间断伽辽金方法的接触-摩擦-损伤界面建模与计算研究

《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》：Stabilized method for contact mechanics and dissipative interfacial kinematic processes

本文针对传统接触算法在模拟界面摩擦和损伤时存在的局限性，提出了一种基于变分多尺度间断伽辽金（VMDG）框架的新型计算模型。该研究通过引入精细尺度位移场和拉格朗日乘子，成功实现了对接触界面处几何非穿透性、摩擦滑动以及渐进损伤行为的统一描述。数值算例验证了该方法在有限变形、赫兹接触和摩擦滑动等问题中的准确性、收敛性和鲁棒性，为复杂界面力学行为的模拟提供了强有力的计算工具。

　　

在计算固体力学领域，精确模拟相互接触物体之间的相互作用是一个长期存在的挑战。当两个或多个物体发生接触时，界面处不仅会产生复杂的应力分布，还可能伴随摩擦滑动、界面损伤乃至脱粘等非线性行为。传统的接触算法，如罚函数法或拉格朗日乘子法，在处理这类强非线性问题时常常面临稳定性、精度或数值效率方面的困难。特别是在涉及材料非线性、几何大变形以及界面行为耦合的复杂场景下，发展一种能够统一、稳健地描述接触-摩擦-损伤过程的计算框架显得尤为迫切。

为了应对这一挑战，发表在《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》上的这项研究，提出并发展了一种基于变分多尺度间断伽辽金（Variational Multiscale Discontinuous Galerkin, VMDG）方法的计算框架，专门用于求解有限变形下的接触力学问题，并成功嵌入了界面摩擦和损伤模型。

研究人员采用了几项关键的技术方法来实现这一目标。首先，核心是VMDG框架，它将解变量（如位移场）分解为可分辨的粗尺度场和不可分辨的细尺度场，从而在变分形式中自然且稳定地施加界面约束。其次，该方法采用了成分映射（compositional map）技术来描述变形运动，将总变形梯度分解为粗尺度和细尺度部分的乘积。第三，研究引入了基于界面边缘函数（edge functions）的局部化精细尺度求解策略，使得界面处的接触约束（如不可侵入性）和摩擦定律能够在积分点层面得到精确满足。此外，算法还包含了接触状态检测与初始接触处理程序，能够自动识别接触的发生并调整计算步长。最后，通过非线性求解器（如牛顿-拉夫逊迭代）和返回映射算法（return mapping algorithm）来处理材料非线性和界面摩擦/损伤的演化。

研究结果

1. 有限变形收敛性测试

通过一个有限变形的纯弯曲问题，研究验证了VMDG方法的数值收敛性。结果表明，无论是采用三节点三角形（T3）还是四节点四边形（Q4）单元，该方法在位移的L²范数和H¹半范数误差方面均表现出最优或超最优的收敛速率。与连续伽辽金（Continuous Galerkin, CG）方法相比，VMDG方法在较粗网格下显示出更优的精度，这得益于其减少了的单元间连续性约束，验证了该变分公式的一致性。

2. 界面稳定化张量的演化

在有限变形分析中，考察了界面稳定化参数τ_s的空间分布和演化。τ_s由材料模量和几何变形决定，并非用户定义的常数。结果显示，τ_s在变形后的界面上的分布与变形几何构型高度相关，并且能够自适应于材料属性和网格离散。这表明该方法能够自动捕捉界面处的力学状态变化，而无需引入经验参数。

3. 赫兹接触问题

经典的赫兹接触问题被用来检验方法处理无摩擦接触的能力。模拟了一个刚性半圆球体压入柔性矩形块的过程。计算得到的接触压力分布与赫兹理论解高度吻合，最大压力值以及压力随接触区域的变化规律均被准确再现。即使在不同疏密的非匹配网格上，该方法也能稳定地计算出合理的压力场，证明了其对于接触压力计算的准确性以及对网格离散的鲁棒性。

4. 二维摩擦滑动案例

此案例模拟了一个柔性块体在刚性平面上受压并被横向拖动的过程，界面存在库仑摩擦。通过设置极低的临界粘聚力P_c，模型处于“无损伤”状态，仅摩擦效应起作用。计算结果清晰展示了接触界面上的法向压力和剪切应力分布，以及由于摩擦限制导致的块体内部应力集中现象。位移和应力结果与已有文献中的基准解一致，验证了该方法在模拟界面摩擦滑动方面的有效性。

结论与讨论

本研究成功地将变分多尺度间断伽辽金（VMDG）方法发展为一种处理有限变形接触-摩擦-损伤问题的强大计算工具。其主要意义和结论可归纳如下：

1. 1.
   统一的变分框架：该研究构建了一个严谨的数学框架，将接触约束（不可侵入性）、库仑摩擦定律以及界面损伤演化模型统一在一个变分表述中。这种方法避免了传统罚函数法参数选择的任意性，也克服了标准拉格朗日乘子法可能出现的稳定性问题（如Ladyzhenskaya–Babuska–Brezzi条件）。
2. 2.
   与网格无关的稳定性：通过引入由局部问题解析解导出的稳定化张量τ_s，该方法确保了界面离散方程的稳定性。τ_s是问题相关的，随着材料、变形和网格的变化而自动调整，无需用户干预，增强了方法的普适性和可靠性。
3. 3.
   对复杂界面行为的精确捕捉：数值算例表明，该方法能够精确处理包括有限变形、非匹配网格接触、赫兹接触压力分布以及界面摩擦滑动在内的多种复杂力学行为。其解在粗网格下依然保持良好的精度，显示了方法的计算效率。
4. 4.
   应对未来挑战的潜力：该框架为模拟更复杂的界面现象（如热-力-化耦合、动态接触、大规模脱粘等）奠定了基础。文中提到的对初始非接触情况的处理算法，也为模拟接触-分离-再接触的动态过程提供了可能。

总之，这项研究工作在计算力学领域提出了一个创新且强有力的数值方案，它通过坚实的数学基础和灵活的计算实现，为解决工程中广泛存在的复杂界面力学问题提供了新的思路和有效工具，对固体力学、材料科学、生物力学等相关领域的仿真模拟具有重要的推动意义。