《Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu》：SELF-DUAL AND EVEN POINCARé-EINSTEIN METRICS IN DIMENSION FOUR
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本文聚焦于四维自对偶与偶Poincaré-Einstein度量，解决了该类度量在存在性与刚性方面的关键问题。研究者通过引入新的三维共形不变量I0，并结合Yamabe不变量，证明了新的刚性定理与间隙定理，揭示了边界共形不变量与流形拓扑之间的深刻联系，为理解该类度量的几何与拓扑约束提供了新的理论工具。
在几何分析领域，Poincaré-Einstein度量是一类定义在带边流形内部且满足爱因斯坦方程的完备度量，其在共形无穷远边界上诱导出一个共形类。这类度量在AdS/CFT对偶和共形几何中扮演着核心角色，其存在性与刚性是长期关注的问题。特别是在四维情形下，自对偶（self-dual）和偶（even）这两类特殊的Poincaré-Einstein度量展现出更丰富的几何结构与更强的约束条件。然而，判断一个给定的三维流形能否作为某四维Poincaré-Einstein流形的共形无穷远边界，即“填充”问题，是一个极具挑战性的课题。传统的Atiyah-Patodi-Singer指标定理给出了一个签名（signature）障碍，但这一条件往往不够精细，无法区分双曲度量（即最对称的模型）与其他可能的填充度量。因此，寻找新的、更强大的 obstructions（障碍）来刻画这类度量的特性，并理解其几何与拓扑的相互作用，成为了一个重要的研究方向。
为了解决上述问题，美国圣母大学的Matthew Gursky、德克萨斯大学达拉斯分校的Stephen McKeown以及德州理工大学的Aaron Tyrrell在《Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu》上发表了他们的研究成果。他们针对四维的自对偶和偶Poincaré-Einstein度量，深入研究了其刚性（rigidity）和间隙（gap）性质。所谓刚性，指的是在何种条件下该度量必须是双曲的；而间隙定理则给出了在非双曲情形下，某些几何或拓扑不变量（如重整化体积、流形的签名）必须满足的定量不等式。他们的研究不仅给出了新的 obstructions，还意外地发现了一个全新的三维黎曼流形的标量共形不变量。
研究者们主要运用了共形几何、几何变分法、偏微分方程以及指标理论等数学工具。关键技术方法包括：利用Fefferman-Graham展开对Poincaré-Einstein度量在边界附近进行渐近分析；构造并分析了一个与Weyl张量相关的共形协变张量Z+，并为其建立了关键的Weitzenb?ck公式和精细的Kato不等式；通过将Chern-Gauss-Bonnet公式与Yamabe不变量的估计相结合，推导出拓扑不变量与曲率积分之间的不等式关系。
1.1 自对偶Poincaré-Einstein度量
本研究首先关注自对偶Poincaré-Einstein（SDPE）度量，即满足Ricci曲率张量Ric(g+) = -ng+且反自对偶Weyl张量W-g+恒为零的度量。一个著名的例子是Pedersen给出的B4上一族SU(2)-不变的SDPE度量，其共形无穷远是Berger球面。Atiyah-Patodi-Singer指标定理给出了SDPE度量存在的一个拓扑障碍：τ(X) ≥ η(M, [g])，其中τ(X)是流形X的符号差，η是边界的eta不变量。
本研究的关键进展在于引入了边界共形流形(M3, [g])的一个新的共形不变量I0(M3, [g])。该不变量由Cotton张量Cijk及其协变导数散度Bij= ?kCijk（即三维的Bach张量）以及通过体积形式μ对偶得到的张量Cij= μik?Cjk?所构造。论文证明了_g和|C|g2是点态共形不变量，进而定义了积分共形不变量I0。
基于此，论文证明了主要的刚性定理：如果一个四维SDPE度量(X4, g+)的共形无穷远(M3, [g])满足I0(M3, [g]) ≥ 0且Yamabe不变量Y(M3, [g]) > 0，那么g+要么是双曲度量，要么其流形的拓扑必须满足一个更强的不等式：τ(X4) ≥ η(M3, [g]) + (1/3)χ(X4)，其中χ(X4)是欧拉示性数。这个结果改进了经典的签名障碍。特别地，当流形是四维球B4时，结论意味着eta不变量η(S3, [g]) ≤ -1/3。这为判断一个共形类能否作为非双曲SDPE度量的边界提供了新的有效判据。
作为推论，论文指出，对于满足I0≥ 0和Y > 0的共形边界，存在无穷多个拓扑类型不同的四维流形，尽管它们满足经典的签名障碍，但却不允许以该共形类为边界的SDPE度量填充。这表明新的不变量I0提供了比拓扑障碍更精细的区分能力。
1.2 偶Poincaré-Einstein度量
论文的另一部分研究了偶Poincaré-Einstein度量。这类度量的定义是在Fefferman-Graham展开式hr= ? + g(2)r2+ g(3)r3+ ... 中，所有奇数阶项g(2k+1)（特别是g(3)）为零。偶度量是重整化体积泛函的临界点。Anderson给出了重整化体积的公式：V = (4/3)π2χ(X) - (1/6)∫X|Wg+|2dvg+，这表明V ≤ (4/3)π2χ(X)，等号成立当且仅当度量是双曲的。
本研究为偶度量建立了重整化体积的“间隙”定理。主要结果是：如果(X4, g+)是偶Poincaré-Einstein度量，且其共形无穷远的Yamabe不变量Y(M3, [g]) > 0，那么g+要么是双曲的，要么其重整化体积V满足一个上界估计：V ≤ min{ (2/3)π2χ(X4), (4/3)π2χ(X4) - (√6/2) Y(M3, [g])3/2}。这个结果意味着，对于正Yamabe类型的共形无穷远，非双曲的偶度量的重整化体积不仅小于双曲情形的体积，而且被限制在一个更小的“间隙”区间内。例如，对于X4= B4/?，M3= S2× S1的情形，双曲商的重整化体积V=0，而任何非双曲的偶度量必然有V < 0。这为探索偶度量的存在性设置了新的障碍。
3. 一个Weitzenb?ck公式
论文证明了一个关键的解析工具：一个关于加权Weyl张量Z+= ρW+g+的Weitzenb?ck公式，其中ρ是定义函数，g? = ρ2g+是紧化度量。公式表明Z+满足一个半线性方程，并且满足一个精细的Kato不等式|?Z+|2≥ (5/3)|?|Z+||2。这个公式是后续推导积分不等式和间隙定理的核心。
4. 定理1.2及其推论的证明
证明的核心思想是将Weitzenb?ck公式与共形不变的Yamabe泛函的变分理论相结合。通过构造一个特定的试验函数fε= (ε + |Z+|2)1/6，并利用精细的Kato不等式，最终导出了关于Yamabe不变量Y1(X, M, [g?])的关键不等式，再结合Chern-Gauss-Bonnet公式和Anderson的重整化体积公式，即可推出主要定理。
5. 定理1.7的证明
对于偶度量的情形，证明思路类似，但需要同时处理自对偶和反自对偶部分。通过定义Z = Z++ Z-，并利用一个极值论证来估计Weyl张量的范数项，最终得到了对重整化体积V的更强估计。
6. 四维Poincaré-Einstein度量的展开
为了进行精确的计算，论文详细推导了四维Poincaré-Einstein度量在边界附近的Fefferman-Graham展开，特别是Weyl张量及其自对偶/反自对偶分量的渐近展开式。这些计算是验证新共形不变量以及证明边界项在积分恒等式中贡献为零的基础。
7. 偶和自对偶度量的展开
论文进一步计算了在偶度量和自对偶度量这两种特殊情形下，Weyl张量展开式的具体形式。对于偶度量，g(3)=0使得展开式简化。对于自对偶度量，其条件导致了g(3)与Cotton张量之间的直接关系。这些展开式被用来精确计算|W?+|g?2的展开，并最终验证了的共形不变性。
8. 三维的一个共形不变量
最后，论文提供了一个对定理1.1的“全息”证明。思路是利用任意三维共形流形(M, [g])都可以（至少在形式上）被实现为某个（形式）自对偶Poincaré-Einstein度量的共形无穷远这一事实。通过计算该形式度量中|Wg++|2的展开式，并考虑共形变换下定义函数r的变换规律，直接验证了_g和|C|g2的共形权，从而证明其共形不变性。
本研究的主要结论是，对于四维的自对偶和偶Poincaré-Einstein度量，其存在性受到边界共形不变量的强烈制约。新引入的不变量I0与经典的Yamabe不变量结合，能够产生比纯拓扑障碍更强的刚性结果和间隙定理。这些结果揭示了流形内部几何（如重整化体积、Weyl曲率）与边界共形几何（如Cotton张量、Yamabe不变量）之间深刻且精确的联系。论文最后提出了一个自然的问题：在B4上，是否存在共形无穷远具有正Yamabe不变量的非双曲偶Poincaré-Einstein度量？这个问题与四维球面上非标准Einstein度量的存在性问题形成了有趣的类比。本研究为今后进一步探索Poincaré-Einstein度量的分类和刚性奠定了重要的理论基础，并开辟了新的研究方向。
