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本文提出了一种基于级联时空超表面（Spatiotemporal Metasurfaces）的创新架构，通过将空间调制转化为纵向堆叠的均匀超表面并施加周期性时间调制，克服了传统平面时空调制对大量时变元件的依赖。研究建立了包含时变等离子体频率（ωp）和碰撞频率（γ）的圆柱形超原子（Meta-Atoms）等效电路模型，并开发了传输矩阵（ABCD Matrix）和模式匹配（Mode-Matching Method）理论框架，实现了对超表面堆栈系统电磁响应的精确优化。通过设计两层超表面堆栈，成功演示了在基频（ω0）下的磁自由隔离（Isolation）和时空环行器（Temporal Circulator）功能，其电厚度均低于工作波长。此外，提出了一种基于平行板波导（Parallel-Plate Waveguide, PPW）的紧凑实现方案，仅需少量时变元件即可实现等效功能，为新一代光子与微波系统提供了极具潜力的平台。
摘要
时空超表面为波前调控提供了独特机遇，但其实际应用常受限于面内空间调制对大量时变元件的需求。本研究提出了一种基于级联空间均匀超表面的替代架构，这些超表面均承受周期性时间调制。尽管所有超表面共享相同的调制频率（ωm），但其各自的调制函数可独立设计以实现所需的复杂电磁响应。研究建立了针对此类堆叠超表面系统的通用理论框架，该系统由具有时变等离子体频率和/或碰撞频率的密集圆柱形超原子阵列构成。通过优化超表面设计，实现了在基频下的磁自由隔离以及时空环行器的类比功能，证明了该方法的有效性。此外，研究还表明超表面堆栈可通过嵌入平行板波导（PPW）中的少量时间调制元件实现，为下一代光子和微波系统的极紧凑、多功能和可扩展时空平台开辟了新途径。
1 引言
近年来，对具有定制电磁响应的人工材料的追求推动了超材料和超表面的快速发展。传统上，此类结构仅通过空间工程（如改变构成散射体的几何形状、尺寸或排列）进行设计。然而，这种方法存在固有局限性。对于时不变和线性散射体，散射频率和总能量是守恒的，这限制了许多理想功能的实现。这些局限性促使研究者日益关注利用材料参数的时间维度，这为实现全新的散射行为提供了强大途径。
时变平台已展现出实现非常规波现象的潜力，例如无界场积累和时间类比伍德异常。在此背景下，时空超表面成为一种特别有前景的架构，能够实现频率转换、隔离、环行、功率组合和非互易相位操控。其核心原理是在超表面平面内诱导合成运动，从而有效打破时间反演对称性。然而，实现此类超表面仍然具有技术挑战性。基于连续时空梯度的方法需要精心设计的阻抗分布，而离散时空超光栅则依赖于密集的同步超原子阵列——这两种方法都因面内空间调制需要非局部设计和大量时变元件而面临重大实施障碍。
本研究提出了一种不同的策略，通过将空间调制转移到面外方向来缓解这些挑战。该系统由一堆在平面上均匀但随时间发生周期性调制的超表面组成。这种纵向排列相较于传统的面内时空超表面增强了设计自由度，同时提供了更易于实际实现的方案。理论建模基于超原子的体参数（如等离子体频率和碰撞频率），并明确考虑了频率色散——这一特性对于光学实现尤为有利。所提出的堆叠结构在概念上类似于传输线和光学系统中的行波调制或串联型调制，但其更具通用性且显著更紧凑。此外，这些超表面级联是对最近提出的单层时变球形超原子阵列的推广。通过设计能够在基频实现磁自由隔离和时空环行器类比功能的堆叠超表面，展示了其多功能性。值得注意的是，所设计的超表面堆栈的电厚度均低于工作波长。此外，研究表明此类架构可以简便地在平行板波导中仅用少量时变元件实现。
2 理论框架
考虑如图1a所示的堆叠时变超表面配置，受法向入射的平面波照射。每个超表面包含一个材料特性随时间周期性变化的长圆柱体密集阵列。圆柱体沿z方向的延伸远大于工作波长，因此被建模为无限长。入射波电场沿圆柱体偏振。圆柱半径r0和相邻圆柱间距d均假定为亚波长，以确保每个超表面在xz平面内有效均匀。第i个与第(i+1)个超表面之间的间隔距离记为Di，可为任意值但需大于d，以确保相邻超表面中的圆柱体之间没有近场耦合。使用具有周期性时变等离子体频率ωp,i(t)和时变电子碰撞频率γi(t)的Drude色散模型对每个超表面中的圆柱体材料进行建模。
2.1 单个时变圆柱形超原子建模
单个圆柱体的极化密度P动力学由方程(1)描述。由于超原子内的电流密度与其体电极化相关为Jm(t) = dP(t)/dt，方程(1)可重写为方程(2)。假设电流密度在圆柱横截面上近似均匀，则超原子中的总电流为电流密度与横截面积S的乘积，即Im(t) = Jm(t)S。将其代入方程(2)并取方程在z轴上的投影，得到方程(3)。该方程可解释为描述时变电阻Rm(t)和时变电感Lm(t)串联连接时的电压和电流关系。因此，单个时变圆柱形超原子可由方程(4)和(5)给出的时变电感和电阻的串联连接来建模，其中Lm和Rm分别为超原子单位长度的电感和电阻。
2.2 时变圆柱形超原子阵列建模
将分析扩展到周期为d的密集超原子阵列。若超原子时不变，则此类阵列的网格阻抗由方程(6)给出。对于时变超原子阵列，这种几何贡献也必须包括在内。因此，超表面的等效网格电阻和电感由方程(7)和(8)给出。因此，堆叠超表面可通过图1b所示的等效传输线模型中的并联电阻和电感级联来建模。相邻超表面之间的间距由特性阻抗等于背景介质波阻抗的有限长度传输线段建模。
2.3 模式匹配法
重点研究材料参数周期性时间调制的特殊情况。给定ωp和γ的时间轮廓，推导出相应的时变网格电阻Rg和电感Lg。采用模式匹配法，确定时变超表面的ABCD（传输）矩阵。该矩阵形式可轻松扩展以计算由多个超表面组成的任意复杂堆栈的反射和透射特性。
所有超表面的材料参数及其时间调制轮廓可独立选择，但它们共享相同的基本调制频率ωm，使得整个超表面堆栈具有时间周期性T = 2π/ωm。因此，将第i个超表面的材料参数展开为傅里叶级数，如方程(9)和(10)所示。由于Rg,i(t)和Lg,i(t)是ωp,i(t)和γi(t)的函数，它们也具有相同的周期T，并可写为方程(11)和(12)的形式。
调制会诱导产生无限多个频率为ωn= ω0+ nωm的谐波，其中ω0为入射到超表面上的平面波频率。时变电感上的电流-电压关系在时域由方程(15)描述。通过将方程(13)和(12)代入方程(15)，可以得到矩阵形式的方程(16)。对于电阻，谐波电流与电压关系具有简单形式，如方程(17)所示，并可导出矩阵方程(18)。超表面的总阻抗矩阵是电感矩阵和电阻矩阵之和，即Zg= ZR+ ZL。
2.4 传输矩阵法
通过获得时变电感和电阻的阻抗矩阵公式，可以使用所提出的等效电路完整描述单个时间调制超表面的阻抗，并考虑不同的Floquet谐波。为计算整个系统的散射参数，对于多个超表面级联的一般情况，定义传输（ABCD）矩阵来关联给定超表面输入和输出的电流与电压，如方程(19)所示。第i个超表面的传输矩阵由方程(20)描述。相邻超表面之间空气间隙的贡献也需在计算中考虑。这些间隙等效于长度为Di、每个Floquet谐波波数为kn= ωn/c的传输线段。第i个空气间隙的传输矩阵由方程(21)给出。最终，整个超表面堆栈对于正向和反向照射的传输矩阵可通过传输矩阵相乘计算，如方程(22)和(23)所示。
传输和反射系数定义为tf= vt/vi和rf= vr/vi，可推导出方程(25)和(26)。类似地，可以获得反向照射场景下的传输和反射系数tb和rb。
3 演示器件
尽管所提出的理论框架具有通用性，适用于任意层数M和任意层间距离Di的超表面堆栈，但本节重点研究每个均由两个超表面组成的演示器设计。作为两种超表面中的时间调制形式，假定等离子体频率和碰撞频率呈正弦变化，如方程(27)至(30)所示。
3.1 基频隔离
设计在时变系统中使用隔离器一直是近期研究的热点领域。高效隔离通常是在电厚度远大于工作波长的体系统中实现的。在紧凑时变系统中实现隔离难以克服，尽管依赖于同时频率转换或使用双各向异性。前者不受欢迎，因为许多应用需要在基频（与入射频率相同）进行隔离。后一种方法虽然已知，但至今尚未有实际实现。此处，在图1a所示的堆叠超表面几何结构中实现了基频隔离。如下所示，堆栈内仅需两个超表面即可实现高效隔离且无频率转换。这种双超表面级联具有有效的时变双各向异性响应。
使用MATLAB中的fmincon优化器进行材料参数优化。优化参数包括方程(27)至(30)中列出的参数，以及层间距离D1? d。优化目标是使正向和反向照射下基频ω0的透射波幅度分别达到1和0。成本函数定义为方程(31)。优化后的材料参数列于表1。优化后超表面堆栈不同透射谐波的幅度如图2a所示。对于正向照射（蓝色 stems），透射谱呈高斯型频率分布，其中ω0谐波的幅度非常接近1。相反，对于反向照射（红色 stems），所有频率的透射均被强烈抑制，ω0处的透射电场为0.021 Vm-1。基频隔离比达到20log10(1/0.021) ≈ 33.6 dB。优化后成本函数值为0.0211。
从表1可以看出，优化后的调制频率近似等于入射频率，即ωm≈ ω0。这是因为我们需要在基频ω0实现隔离功能。在这种情况下，需要生成的谐波之一（例如第n次谐波）的频率在幅度上等于（但符号可能相反）入射频率，即ω0+ nωm= ±ω0。该条件使得在超表面级联后方与原始ω0分量发生相消干涉，从而抑制ω0的传输信号。满足此条件的n值有无穷多个，但实际上只有|n|较小的谐波能被有效生成并具有显著幅度，如图2a清楚所示。这使得在ωm= ω0（对应n = -2）或ωm= 2ω0（对应n = -1）进行调制成为优化的最"自然"选择。向此类邻近边带谐波的频率转换可以实现高效率。
3.2 时空环行
为了进一步证明所提出堆叠超表面的多功能性，设计了一种新颖且奇特的系统。在微波和光学工程中，基本的非互易元件之一是环行器——一种在单一频率下工作，但在三个不同空间端口之间以单向循环方式路由信号的设备。本节提出了一种时空环行器的类比。与传统环行器不同，该器件具有单个空间端口但三个不同的频率端口，使波能够以类似于空间环行器的方式非互易地在这三个频率之间循环。将此器件称为时空（或频率）环行器。潜在应用包括紧凑型非互易光导、合成维度的实现以及集成光子系统的动态频谱复用。
为确保只有一个空间端口，在超表面堆栈后方加入了一个完美导电板（接地平面），如图2b插图所示。这样，截断了板下方的一半空间，并认为法向入射波和反射波共享同一个空间端口。对于三个频率（时间）端口，考虑通过超表面中的时间调制耦合的三个频率：ω0和ω±1= ω0± ωm。导电板与较近超表面之间的距离记为D2。在传输矩阵法中，将导电板建模为并联短路，其ABCD矩阵在方程(20)中通过将Zg替换为对角矩阵Yg（此处α → ∞）得到。
对于时空环行器的操作，根据三个时间谐波所需的反射行为定义成本函数。每个入射波假定具有1 Vm-1的电场幅度。当超表面堆栈被一个谐波（例如ω-1）激发时，反射波应完全出现在其他两个考虑的谐波之一（例如ω0）上，且幅度相同为1 Vm-1，而剩余的谐波（ω+1）被完全抑制。此特性确保每个输入频率的波被唯一地路由到另一个频率端口而无幅度损耗。通过在三个谐波之间循环输入，必须保持相同的非互易映射。成本函数定义为方程(32)至(34)，总误差函数定义为Δcirc= Δ1+ Δ2+ Δ3。
图2b-d显示了优化后的超表面堆栈在三种不同照射场景（在ω0和ω±1下）下不同频率谐波的反射系数。优化后的材料参数列于表2。图中蓝色箭头表示激发频率，浅红色箭头表示优化后的反射频率谐波。从图2b可见，入射ω-1谐波以1 Vm-1的场强反射向ω0时间端口，而反射ω+1谐波被抑制到0.3291 Vm-1。另一方面，入射ω0谐波以0.9991 Vm-1的场强反射向ω+1时间端口（注意图中纵坐标的大尺度），反射ω-1谐波达到0.1895 Vm-1。最后，入射谐波ω+1主要反射向ω-1时间端口（0.9919 Vm-1），与ω0端口的耦合极小（0.001 Vm-1），如图2d所示。优化后最终成本函数值为0.1739。上述三种入射场景的隔离水平分别为-9.90 dB、-14.90 dB和-59.96 dB。需要指出的是，优化后的超表面堆栈并未匹配，并且也表现出非零的"回射"反射，即反射到入射波到达的同一时间端口。这可以通过在成本函数中加入额外条件和增加堆栈中超表面的数量来最小化。超出ω0和ω±1的非零反射边带谐波可以在实际设置中使用带通频率滤波器加以抑制。此外，值得注意的是，尽管堆叠配置中每层都引入了电阻行为，但时间调制可以补偿由此产生的损耗，从而防止整体系统性能下降。系统的额外能量来自时间调制的源。
最后，需要指出所提出的堆叠超表面不需要其材料调制与入射波的相位同步。换言之，改变入射波的相位不会影响系统的整体响应。而且，不同调制管的同步在实验上很简单，只需要单个源、一个功分器和延迟线。
4 波导实现方案
本节介绍一种用于实现所提出堆叠超表面的高效且简单的微波解决方案。不失一般性，在示例中考虑由图3a所示的由两个超表面组成的堆栈。然而，该方法是通用的，适用于任意数量的超表面。法向入射到超表面平面（波矢沿y轴）的线偏振入射波，其电场分量平行于z轴，而磁场垂直于圆柱体（x轴）。显然，实现图3a所示的超表面非常繁琐，因为它需要许多长度远大于工作波长的时变圆柱形超原子。
为了实际实现此类结构，可以考虑平行板波导（PPW）内的等效系统并利用镜像原理。考虑图3b所示的PPW配置。这里，为了表示每个超表面，只需要一个具有相同半径r0和有限（亚波长）高度h的圆柱形超原子，放置在两块导电板之间。这些板在x方向的宽度必须与阵列的周期d匹配。结构的中心区域作为支持TEM模的PPW。重要的是，在没有侧壁的情况下，如果h ? d ? λ0，则PPW开口处的磁场沿x方向取向（y分量为零）。因此，这种PPW配置有效地模拟了图3a中的无限几何结构。两个超表面的级联由间隔距离为D的两个超原子级联建模。PPW的高度可以选择使其特性阻抗与标准同轴连接器（50 Ω）匹配。为确保PPW和同轴连接器（支持主圆柱TEM模）之间的完美模式转换，可以设计一个渐变段，如图3b所示。渐变开口段的高度和宽度应配置为在整个过渡区域保持恒定阻抗。自由空间系统（图3a）和PPW系统（图3b）散射参数之间的等效性在支持信息中进行了演示。
值得强调的是适用于实现所提出超表面的潜在材料候选者。对于微波波段的操作，可以使用电子等离子体管或与变容二极管集成的金属线。对于等离子体管，材料特性的时间调制可以通过改变施加电压来实现。对于变容二极管加载的导线，调制是通过改变变容二极管的偏置电压实现的。需要注意的是，这种方法需要对当前理论框架进行微小调整，以考虑时变电容而非时变电感。在光学波段，诸如氧化铟锡（ITO）之类的材料是有前途的候选者，因为它们具有Drude-like色散并且其材料特性具有快速调制的潜力。
5 结论
本文提出了一个用于设计堆叠时变超表面的通用理论框架，并展示了几种非互易器件的演示器。选择等离子体频率和碰撞频率作为调制材料参数，并考虑了材料色散。提出了精确的电路模型来解释单个圆柱形超原子及其阵列的行为。建立等效电路模型能够直接计算级联中时变超表面的传输矩阵。最后，介绍了一种使用平行板波导配置的实用实现方法。所提出的堆叠超表面为下一代光子和微波系统的时空平台提供了一条紧凑、多功能和可扩展的途径。所开发的方法不仅限于圆柱阵列，可用于任何由周期性时间调制的片阻抗建模的超表面级联。
通过结合超表面面内方向的空间非均匀性，可以进一步推广该方法。在这方面，需要强调所提出的时间调制非互易超表面结构与早期基于全反射超表面（例如参考文献[9]）的解决方案相比的根本优势。众所周知，为了完全控制异常反射到所需方向，必须精心设计高阶凋落Floquet谐波的分布。这一要求也适用于非互易波变换，需要使用密集的亚波长不同时间调制超原子阵列，这些阵列难以优化和实现。这些困难的根本原因在于最优异常反射器必须表现出非局部响应。相比之下，使用局部响应阵列可以实现对透射到任意角度的完全控制。这意味着所开发的设计方法也直接适用于传输控制的空间非均匀时间调制阵列。由于仅优化局部响应就足够了，每个超原子可以在相同超原子的无限阵列中单独优化，正如本文中对均匀阵列所做的那样。因此，我们期望该方法将开辟一条实现非互易超表面的途径，这些超表面也将能够控制透射波的传播方向。
