用于随机椭圆偏微分方程约束最优控制的张量神经网络

《Mathematics and Computers in Simulation》：Tensor neural networks for stochastic elliptic PDE-constrained optimal control

　　

•开发了一种用于结构化随机椭圆最优控制的 TNN 框架。
•近似状态和缩放伴随变量；控制量通过代数方法获得。
•连续残差给出了显式 L2 界，且无未知稳定常数。
•涉及多达 35 个联合变量的结构化测试达到了低于 5×10?3 的相对 L2 误差。

引言
受椭圆偏微分方程约束的随机最优控制问题出现在许多工程和科学应用中 [1], [2], [3], [4]。当扩散系数为随机场时，状态和控制量取决于空间变量和随机参数，且数值复杂度随随机维度迅速增长。这是经典随机离散化的核心难点之一 [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]。
蒙特卡洛方法和随机伽辽金或配点法是成熟且可靠的，但中到高维输入可能需要大量样本、节点或耦合的随机模式 [12]。稀疏、自适应和低秩变体可以降低这些成本；自适应伽辽金方法也已应用于随机 PDE 约束控制 [13]。因此，我们在第 4.3 节中纳入了一个残差驱动的自适应 SG 基准。比较显示具有互补的行为：自适应 SG 在二维物理空间中具有高度竞争力，而测试的全场实现在五维中变得受限于内存；在观察到的内存受限网格上，TNN 使用的峰值内存减少了八到五十三倍。
Deep Ritz 和 PINNs 等神经 PDE 求解器提供了另一条途径 [14], [15]；物理信息学习也已应用于随机最优控制 [16]。相关的迭代控制方法从不同角度处理不确定性、分布式实现和测量约束 [17], [18]。近期的控制导向研究还考虑了多层网络的预定义时间同步和延迟多智能体系统的事件触发隐私保护同步 [19], [20]。这些发展主要关注协调、通信约束和控制器设计，与本文考虑的随机 PDE 约束最优控制场景是互补的。
张量神经网络 (TNNs) 提供了一种可分离近似：u(z) ≈ ∑_{k=1}^r ∏_{i=1}^n φ_{i,k}(z_i)，这与 CP/PARAFAC 分解紧密相关 [21], [22]。TNNs 对高维 PDE 任务很有吸引力，因为导数和积分保持可分离性并且可以高效计算 [23], [24], [25]。
现有的 TNN 研究主要集中在高维积分、特征值问题和正向 PDE 上 [23], [24], [25]。本工作的不同之处在于应用了两个耦合的 TNN 到随机最优性系统，代数地施加梯度方程，并为计算的状态 - 控制对推导了 L2 残差界。与基于采样的随机最优控制神经方法相比 [16]，这里的主要计算特征是当数据和对试探函数都允许低秩可分离形式时，一维数值积分规则的确定性乘积；这一优势也是该方法的主要结构限制。
主要贡献如下：
•我们用低秩 TNN 近似状态和缩放伴随变量，并代数地恢复无约束控制量，同时在两个 PDE 变量上精确施加齐次狄利克雷条件。
•我们构建了最优性系统的对称缩放最小二乘残差。连续泛函不包含惩罚参数，并为状态和控制量产生完全显式的 L2 后验界，常数分别为 √α 和 1，其中 α 是控制正则化权重，且没有未知稳定常数。
•我们在三个结构化随机系数基准上评估了该方法，使用一个共同的秩和训练配置，误差以闭合形式或独立交叉验证的光谱参考为标准进行测量，并结合了在通过极坐标变换获得的弯曲物理域上的补充实验。
本实验是结构化验证基准：扩散模式依赖于一个空间坐标，期望状态具有低秩仿射振幅，且高阶随机模式衰减。因此，d+M 表示联合输入变量的数量，但不代表任意多维系数复杂度。高效确定性数值积分还假设截断系数和期望状态可用可分离形式，或者可以先通过低秩可分离展开来近似。主要基准套件使用张量积物理域；第 4.6 节额外提供了在一个映射的四分之一圆环上的概念验证实验。一般的非可分离随机场、自适应秩选择和规则几何——特别是没有平滑低复杂度参数化的域——留作未来工作。本工作中的允许控制量可以依赖于随机参数；确定性或非预先控制公式，导致不同的梯度条件，在这里不予考虑。
本文其余部分组织如下。第 2 节表述随机最优控制问题，陈述一致椭圆性假设，推导一阶最优性系统，并引入随机系数的仿射参数化。第 3 节提出了方法：用于状态和缩放伴随变量的两个张量神经网络，最优性系统的最小二乘残差，以及命题 1 的后验误差界；第 3.1 节详细说明了可分离数值积分及其成本，第 3.2 节给出了截断 - 残差误差分解。第 4 节报告了数值实验，涵盖共同的训练设置，秩敏感性研究，d=2,5 和 M 高达 30 的三个随机系数族，与自适应随机伽辽金基准的比较，以及弯曲物理域。第 5 节总结并列出进一步工作的方向。

章节片段
问题表述
设 D??^d 为有界 Lipschitz 域，(Ω,?,P) 为概率空间。定义 V := L2_P(Ω;H1?(D)), U := L2_P(Ω;L2(D))。
我们考虑无约束分布控制 f∈U 和问题 min_{u,f} J(u,f) := E(‖u??‖2_{L2(D)} + α‖f‖2_{L2(D)})，受限于：
{-??(k(ω,x)?u(ω,x))=f(ω,x), x∈D,
u(ω,x)=0, x∈?D。
假设 0
张量神经网络方法
对于 x∈d 和 y∈γ，两个独立的 tnn 为：
ψ_u(y,x)=∑_{k=1}^{r_u} γ_k^{(u)} ∏_{j=1}^m φ_{j,k}^{(u)}(y_j) ∏_{s=1}^d ψ_{s,k}^{(u)}(x_s),
ψ_q(y,x)=∑_{k=1}^{r_q} γ_k^{(q)} ∏_{j=1}^m φ_{j,k}^{(q)}(y_j) ∏_{s=1}^d ψ_{s,k}^{(q)}(x_s)。
第一个网络表示状态，第二个网络表示缩放伴随变量 q := p/√α，而不是控制量。控制量恢复为 f=-q/√α。在矩形域 d=∏_{s=1}^d(a_s,b_s) 上，两个网络的每个空间因子都乘以 (x_s?a_s)(b_s?x_s)。因此状态和伴随变量的齐次狄利克雷条件被精确施加。

实验设置
我们设定 d=(0,1)^d, γ=[?1,1]^m, d∈{2,5}, m∈{3,5,10,20,30}。参数 y_m 独立且均匀分布在 [-1,1] 上，因此 ρ(y)=2??。在所有三个系数族中，期望状态为 ?(x,y)=b_m(y)φ(x)，其中：
b_m(y) := 1 + ∑_{m=1}^m b_m y_m,
b_m := (1+m)?2,
φ(x) := ∏_{n=1}^d sin(πx_n)。
由于期望状态振幅 b_m 随 m 变化，具有不同 m 的配置是不同的有限维基准问题，用于评估计算鲁棒性。它们并未作为经验收敛序列呈现。

结论与未来工作
我们开发了一种用于具有无约束参数依赖分布控制的随机椭圆 pde 约束最优控制的 tnn 方法。状态和缩放伴随变量由两个可分离网络表示，而控制量通过梯度方程代数恢复。所得的连续最小二乘公式无惩罚，并为状态和控制量产生显式 l2 后验界，常数分别为 √α 和 1。当系数和目标数据允许...

credit 作者贡献声明
王通：软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。
范文杰：写作 – 原稿、可视化、调查。
陈宏涛：写作 – 审阅与编辑、监督、资金获取。

利益冲突声明
作者声明不存在利益冲突。

致谢
本文受国家自然科学基金（编号 12371372）、国家重点研发计划（编号 2022yfa1004500 和 2024yfa1012503）以及福建省自然科学基金（编号 2025j01026）支持。

王通 | 范文杰 | 陈宏涛 a.s.。则对于每个 f∈u，状态方程在 v 中适定，控制到状态映射 f?u(f) 定义良好 [1], [2], [4], [8], [9]。允许空间 u=L2_P(Ω;L2(D)) 允许分布控制。 张量神经网络方法 对于 x∈d 和 y∈γ，两个独立的 tnn 为： ψ_u(y,x)=∑_{k=1}^{r_u} γ_k^{(u)} ∏_{j=1}^M φ_{j,k}^{(u)}(y_j) ∏_{s=1}^d ψ_{s,k}^{(u)}(x_s), ψ_q(y,x)=∑_{k=1}^{r_q} γ_k^{(q)} ∏_{j=1}^M φ_{j,k}^{(q)}(y_j) ∏_{s=1}^d ψ_{s,k}^{(q)}(x_s)。 第一个网络表示状态，第二个网络表示缩放伴随变量 q :=p/√α，而不是控制量。控制量恢复为 f=-q/√α。在矩形域 d=∏_{s=1}^d(a_s,b_s) 上，两个网络的每个空间因子都乘以 (x_s?a_s)(b_s?x_s)。因此状态和伴随变量的齐次狄利克雷条件被精确施加。 实验设置 我们设定 d=(0,1)^d, γ=[?1,1]^M, d∈{2,5}, m∈{3,5,10,20,30}。参数 y_m 独立且均匀分布在 [-1,1] 上，因此 ρ(y)=2??。在所有三个系数族中，期望状态为 ?(x,y)=b_M(y)φ(x)，其中： b_m(y) :=1 + ∑_{m=1}^M b_m y_m, b_m :=(1+m)?2, φ(x) :=∏_{n=1}^d sin(πx_n)。 由于期望状态振幅 b_m 随 m 变化，具有不同 m 的配置是不同的有限维基准问题，用于评估计算鲁棒性。它们并未作为经验收敛序列呈现。 结论与未来工作 我们开发了一种用于具有无约束参数依赖分布控制的随机椭圆 pde 约束最优控制的 tnn 方法。状态和缩放伴随变量由两个可分离网络表示，而控制量通过梯度方程代数恢复。所得的连续最小二乘公式无惩罚，并为状态和控制量产生显式 l2 后验界，常数分别为 √α 和 1。当系数和目标数据允许... credit 作者贡献声明 王通：软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。 范文杰：写作 – 原稿、可视化、调查。 陈宏涛：写作 – 审阅与编辑、监督、资金获取。 利益冲突声明 作者声明不存在利益冲突。 致谢 本文受国家自然科学基金（编号 12371372）、国家重点研发计划（编号 2022yfa1004500 和 2024yfa1012503）以及福建省自然科学基金（编号 2025j01026）支持。 王通 | 范文杰 |>
张量神经网络方法
对于 x∈d 和 y∈γ，两个独立的 tnn 为：
ψ_u(y,x)=∑_{k=1}^{r_u} γ_k^{(u)} ∏_{j=1}^m φ_{j,k}^{(u)}(y_j) ∏_{s=1}^d ψ_{s,k}^{(u)}(x_s),
ψ_q(y,x)=∑_{k=1}^{r_q} γ_k^{(q)} ∏_{j=1}^m φ_{j,k}^{(q)}(y_j) ∏_{s=1}^d ψ_{s,k}^{(q)}(x_s)。
第一个网络表示状态，第二个网络表示缩放伴随变量 q := p/√α，而不是控制量。控制量恢复为 f=-q/√α。在矩形域 d=∏_{s=1}^d(a_s,b_s) 上，两个网络的每个空间因子都乘以 (x_s?a_s)(b_s?x_s)。因此状态和伴随变量的齐次狄利克雷条件被精确施加。

实验设置
我们设定 d=(0,1)^d, γ=[?1,1]^m, d∈{2,5}, m∈{3,5,10,20,30}。参数 y_m 独立且均匀分布在 [-1,1] 上，因此 ρ(y)=2??。在所有三个系数族中，期望状态为 ?(x,y)=b_m(y)φ(x)，其中：
b_m(y) := 1 + ∑_{m=1}^m b_m y_m,
b_m := (1+m)?2,
φ(x) := ∏_{n=1}^d sin(πx_n)。
由于期望状态振幅 b_m 随 m 变化，具有不同 m 的配置是不同的有限维基准问题，用于评估计算鲁棒性。它们并未作为经验收敛序列呈现。

结论与未来工作
我们开发了一种用于具有无约束参数依赖分布控制的随机椭圆 pde 约束最优控制的 tnn 方法。状态和缩放伴随变量由两个可分离网络表示，而控制量通过梯度方程代数恢复。所得的连续最小二乘公式无惩罚，并为状态和控制量产生显式 l2 后验界，常数分别为 √α 和 1。当系数和目标数据允许...

credit 作者贡献声明
王通：软件、方法论、形式分析、数据整理、概念化。
范文杰：写作 – 原稿、可视化、调查。
陈宏涛：写作 – 审阅与编辑、监督、资金获取。

利益冲突声明
作者声明不存在利益冲突。

致谢
本文受国家自然科学基金（编号 12371372）、国家重点研发计划（编号 2022yfa1004500 和 2024yfa1012503）以及福建省自然科学基金（编号 2025j01026）支持。

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