基于B样条分段连续函数的多阶非线性Volterra-Hammerstein分数阶积分微分系统高精度数值方法

《Fractal and Fractional》：Piecewise B-Spline Collocation Methods for Multi-Term Nonlinear Caputo-Type Volterra Integro-Differential Systems

　　

摘要

多阶非线性 Volterra–Hammerstein 分数阶积分微分系统（NVHFIDS）的数值近似由于其复杂的数学结构，在科学计算和数值分析中面临着相当大的挑战。本研究的主要创新在于它能够克服现有数值算法的重大局限性，并使用由 B 样条函数构建的分段连续函数，为更广泛的一类具有变系数的多阶 NVHFIDS 提供更为精确的数值结果。首先，为解决这些难题，将一个连续区间离散化为有限个子区间集。然后通过引入未知控制点，在此划分上构建相应的 B 样条曲线。选择合适的配点，在这些点上计算分段连续函数的 Caputo 导数，并采用高斯求积法则来近似所有积分项。因此，NVHFIDS 被转化为非线性代数系统。然后使用牛顿迭代法求解所得系统，该方法确保了高精度计算和快速收敛。制定了四种算法，并使用 MATLAB（9.2 版）实现。最后，为展示该方法的有效性，考察了一系列基准示例，突出了其稳定性、效率和通用性。每个示例均由详细的数据表、图形和分段连续近似函数提供支持。提供了与现有方法的对比分析，以证明所提算法的准确性。数值结果表明，与现有方法相比，所提算法将平均最小二乘误差降低了多达三个数量级。