一种针对带无穷时滞的广义实质 Hilfer 型随机系统的加权历史状态方法：纠正经典范数估计的不一致性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A weighted history-state approach to generalized substantial Hilfer-type stochastic systems with infinite delay: correcting a classical norm estimate inconsistency

　　

**摘要**

本文介绍了一种广义Hilfer分数阶导数，并研究了由该算子驱动的阶数 α ∈ (1, 2) 的无穷时滞随机演化方程（IDSEEs）。严格推导了温和解的显式表示。重要的是，我们揭示了一个在现有文献中在很大程度上被忽视的关键局限：经典范数估计本质上仅适用于连续状态，但在具有无穷时滞的Hilfer型系统分析中却被常规采用，尽管其解表现出初始奇异性。为弥补这一理论空白，我们通过一种创新的加权历史态算子和改进的先验估计构建了一个分析框架，该框架同时抑制初始奇异性并统一时滞-记忆控制。利用非紧测度论、实质分数阶微积分和随机分析，我们获得了温和解的存在性结果和近似可控性结果。为说明目的，在简化的标量设置中提供了数值模拟，展示了定性行为和抗随机扰动的鲁棒性。特别是，所提出的加权历史态框架有效地解决了经典范数估计不一致的问题。

**引言**

分数阶导数在描述各种动态系统的记忆和遗传特性方面起着关键作用。它们被广泛应用于建模粘弹性和反常扩散等复杂物理现象 [1]，[2]。在实际建模任务中，分数阶微积分需要更少的参数来表征现实场景。与整数阶方法相比，分数阶微积分提供了对物理现象更真实和精确的描述 [3]，[4]，[5]，[6]。此外，分数阶微分方程可以描述具有记忆效应、幂律行为和反常演化的广泛自然系统。它们已成为工程、物理、金融、控制理论和数学中标准的建模方法之一。有关全面概述，请参见 [7]，[8] 及其中的参考文献。

动力学系统的可控性是控制理论中的一个基本概念。虽然确定性系统的可控性已被广泛研究 [9]，[10]，[11]，[12]，但实际系统不可避免地受到环境随机扰动的影响，如雷达波干扰、金融汇率波动和消费者行为变化。忽视这些随机影响可能会显著降低控制精度，这促使越来越多的研究关注随机微分模型 [13]，[14]，[15]，[16]。近期的进展还包括在不同控制协议下随机网络化系统的同步和一致性问题，以及非线性多智能体系统的自适应控制策略 [17]，[18]。此外，各种分数阶随机系统的近似可控性也得到了广泛研究。例如，K. Nandhaprasadh 等人 [19] 利用余弦族、随机分析和多值不动点定理，研究了一类具有广义 Hilfer 分数阶导数的随机演化包含的近似可控性。在 [20] 中，作者通过不动点理论和随机理论研究了具有无穷时滞的某些分数阶中立型随机演化包含的近似可控性。G. Gokul 等人 [21] 利用随机分析和半群理论，建立了具有 Rosenblatt 过程和 Poisson 跳跃的 Hilfer 分数阶脉冲随机微分系统近似可控性的某些充分条件。

具有有限时滞项的模型依赖于任意的截断点。这种处理方式可能会遗漏逐渐衰减的记忆效应，并不可避免地丢弃长程记忆贡献。相比之下，基于无穷时滞设置的公式在分数阶微积分框架内更为自然。事实上，分数阶导数是一个非局部算子，它取决于给定过程的完整历史演化。因此，采用无穷时滞描述不仅仅是形式上的数学扩展；对于准确捕获具有记忆依赖动力学行为的系统来说，在物理上是必要的。有关无穷时滞分数阶系统的相关文献，请参见 [22]，[23]，[24]，[25]，[26]。

实质导数表征移动流体元素的物理量的时间变化，定义为 $S\mathcal{D} = \dfrac{\partial}{\partial t} + (\vec{V} \cdot \nabla)$。在此，局部导数 $\dfrac{\partial}{\partial t}$ 反映固定空间位置的时间变化，而对流导数 $\vec{V} \cdot \nabla$ 考虑了由流场空间非均匀性引起的变化。通过结合时间和空间效应，该导数在表征物理动力学演化方面优于普通偏导数，并有助于准确的预测和控制（详见 [27]，[28]）。另一方面，实质分数阶导数（SFD）将此耦合的时空结构扩展到分数阶算子，并广泛用于建模粒子系统中的反常扩散 [29]，[30]。借助分数阶微积分的记忆和遗传效应，由 SFD 支配的扩散模型可以更好地描述某些实际物理情况。然而，自 2006 年引入 SFD 以来 [30]，相关研究仍然有限；只有少数工作讨论了 SFD 演化方程 [19]，[22]，[31]，[32]。与传统分数阶导数模型相比，SFD 框架在理论和数值模拟方面仍存在许多开放问题。

Hilfer 分数阶导数（HFD）可以描述复杂的自然现象并解决各种复杂的实际问题。因此，它具有重要的物理意义并在实践中得到广泛应用 [1]，[25]，[33]。例如，它可以理论模拟非晶材料的绝缘松弛特性。根据两个参数 α 和 β，HFD 在 Riemann-Liouville 分数阶导数（β = 0）和 Caputo 分数阶导数（β = 1）之间进行插值 [34]，[35]。它还支持涉及分数阶积分和分数阶导数的更一般初始条件。因此，基于 HFD 的动力学模型近年来引起了相当多的研究兴趣 [24]，[36]，[37]。

然而，以下历史范数不等式，

$$l\|x(t)\| \leq \|x_t\|_{\mathfrak{B}} \leq \|x_0\|_{\mathfrak{B}} + l\sup_{s \in [0,t]} \|x(s)\|,$$

最初由 Hale 和 Kato [38] 建立，随后被采用于连续状态系统的研究 [39]，不能直接应用于 Hilfer 型分数阶系统。尽管关于 Hilfer 型分数阶系统的文献广泛存在，但仍存在一个根本性的研究空白：仅对正则解有效的经典历史范数估计 (1.1)，被不加验证地应用于在初始时间附近解具有奇异性的系统。失败的原因是 (1.1) 本质上依赖于解在 $t = 0^+$ 附近的正则性，而这一性质在 Hilfer 型系统的奇异设置中丧失了。在引入相空间公理之后，第 2 节中给出了详细的验证。仔细审查现有文献发现了一个常见但被忽视的不一致：这一经典估计被常规地应用于在初始数据非零时解表现出初始奇异性的系统，而没有验证其与由奇异性所必需的加权空间框架的兼容性。例如，将 (1.1) 应用于常用的非线性增长条件得到

$$\|f(t, x_t)\| \leq m(t)\psi(t^\gamma \|x_t\|_{\mathfrak{B}}) \implies \|f(t, x_t)\| \leq m(t)\psi\!\left(l \cdot t^\gamma \cdot \sup_{s \in [0,t]} \|x(s)\|\right).$$

这一简化是通过抑制项 $\|x_0\|_{\mathfrak{B}}$ 获得的，这在现有文献中是惯例。然而，即使有这种抑制，所得的估计在当前奇异设置中仍然无效。事实上，根本局限在于全局权重因子 $t^\gamma$ 独立于最大值中解的逐点值 $x(s)$，这缺乏权重与轨迹之间的逐点耦合。对于在 $t = 0^+$ 附近具有爆破剖面 $\|x(s)\| \sim s^{-\eta}$（$s > 0$）的奇异解，如果奇异指数满足 $\eta > \gamma$，则项 $t^\gamma \cdot \sup_{s \in (0,t]} \|x(s)\| \sim t^{\gamma-\eta}$ 当 $t \to 0^+$ 时发散，这表明经典估计 (1.1) 未能正则化 Hilfer 型具有无穷时滞的分数阶演化系统中固有的奇异性。此外，仅一个全局时间因子无法抑制可能的爆破现象。这正是我们将在本文中通过引入加权历史态算子来解决的经典范数估计不一致问题。

为克服这一缺陷，我们构建了具有逐点加权结构的广义历史范数，使得权重 $s^\gamma$ 在每个时间瞬间与 $x(s)$ 耦合，以自适应地抵消奇异分量。基于这一需求，我们引入了加权历史态算子 $\Lambda_t$，并建立了改进的先验估计。与 (1.1) 依赖非加权上确界 $\sup_{s \in (0,t]} \|x(s)\|$ 不同，算子 $\Lambda_t$ 将逐点权重 $s^{2-\gamma}$ 直接引入历史范数中。这确保了即使 $\|x(s)\| \sim s^{\gamma-2}$（当 $s \to 0^+$），加权范数 $\|\Lambda_t(x_t)\|_{\mathfrak{B}}$ 仍然有界，从而提供了与初始奇异性兼容的有意义的先验估计。改进的估计框架使得在同一增长假设下严格控制初始时间奇异性成为可能，并为研究 Hilfer 型分数阶时滞系统解的定性性质提供了更精确的分析工具。

此外，现有关于具有无穷时滞的 Hilfer 型随机演化方程的文献主要关注定性的理论分析，如存在性、唯一性、稳定性和可控性，没有提供温和解的数值模拟或视觉图示。这种数值验证的空白进一步激励了本研究。

受这些考虑的启发，我们现在考虑以下具有无穷时滞的广义 Hilfer 型分数阶随机演化系统：

$$
\begin{cases}
(S_{\mathcal{H}}D_{0^+,\delta}^{\alpha,\beta} x)(t) = \mathcal{A}x(t) + \mathcal{B}u(t) + f(t, x_t) + G(t, x_t)\dfrac{d\mathcal{W}(t)}{dt}, \quad t \in J := (0, b], \\[6pt]
\lim_{t \to 0^+} (S\mathcal{I}_{0^+,\delta}^{(1-\beta)(2-\alpha)} x)(t) = \varphi(0), \\[6pt]
\lim_{t \to 0^+} \dfrac{d}{dt}(S\mathcal{I}_{0^+,\delta}^{(1-\beta)(2-\alpha)} x)(t) = \tilde{x}, \\[6pt]
x_0 = \varphi \in \mathfrak{B}, \quad t \in (-\infty, 0],
\end{cases}
$$

其中 $S_{\mathcal{H}}D_{0^+,\delta}^{\alpha,\beta}$ 表示阶数 $1 < \alpha < 2$、类型 $0 \leq \beta \leq 1$ 的广义 Hilfer 分数阶导数，将在后续内容中详细说明。算子 $S\mathcal{I}_{0^+,\delta}^{(1-\beta)(2-\alpha)}$ 是阶数为 $(1-\beta)(2-\alpha) = 2-\gamma$ 的分数实质积分，其中 $\gamma := \alpha + 2\beta - \alpha\beta$。注意 $1 < \gamma \leq 2$ 且 $\gamma \geq \alpha$。这里 $\mathcal{H}$、$\mathcal{W}$ 和 $U$ 是可分 Hilbert 空间。$\{\mathcal{W}(t)\}_{t \geq 0}$ 是取值于 $\mathcal{W}$ 的 Wiener 过程，具有有限迹的核协方差算子 $Q$，定义在完备概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ 上。算子 $\mathcal{A}$ 是一致有界线性算子的强连续余弦族 $\{\mathcal{C}(t)\}_{t \geq 0}$ 的无穷小生成元，满足 $\|\mathcal{C}(t)\|_{\mathcal{L}} \leq M$（$t \geq 0$），$\{\mathcal{S}(t)\}_{t \in \mathbb{R}}$ 表示相应的正弦族 [40]。定义域 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 是具有图范数 $\|\cdot\|_{\mathcal{D}} = \|\cdot\| + \|\mathcal{A}\cdot\|$ 的 Banach 空间。变量 $x$ 表示取值于 $\mathcal{H}$ 的状态，$u \in L^2([0, b]; U)$ 是控制函数。$\mathcal{B}: U \to \mathcal{H}$ 是有界线性的，$\|\mathcal{B}\| \leq M_{\mathcal{B}}$，其中 $M_{\mathcal{B}}$ 为某常数。初始数据满足 $\varphi(0) \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$ 且 $\tilde{x} \in \mathcal{H}$。历史 $x_t: (-\infty, 0] \to \mathfrak{B}$ 定义为 $x_t(\theta) = x(t+\theta)$（$\theta \in (-\infty, 0]$）。相空间 $\mathfrak{B}$ 将在第 2 节中指定。第一个方程中的随机项按 It? 意义理解；精确的积分形式参见定理 3.1。

本文的主要贡献如下：

**(I)** 我们引入了一种广义 Hilfer 分数阶导数，然后研究了涉及该算子的无穷时滞随机演化方程，并推导了相应的温和解的显式表达式。系统地建立了相关解算子的重要数学性质。

**(II)** 我们识别了 Hilfer 型时滞系统现有文献中系统性被忽视的一个根本不一致：仅适用于连续状态的常规范数估计，被常规地应用于解表现出初始奇异性的系统。为纠正这一不一致，我们提出了一种新的加权历史态算子 $\Lambda_t$，并建立了纠正的先验估计，该估计同时适应了解奇异性与无穷时滞记忆。这确保了定性分析的数学自洽性，并弥补了文献中长期存在的空白。

**(III)** 在建立的理论框架内，我们证明了所考虑分数阶随机系统的存在性结果，并推导了近似可控性的充分条件。

**(IV)** 仅为说明目的，我们在简化的标量设置中提供了数值模拟，展示了广义 Hilfer 型随机系统解的定性行为。这为这一类奇异问题提供了可视化，并有助于未来对更复杂控制系统的数值研究。

本文的其余部分安排如下。第 2 节介绍与主要结果相关的一些预备工作。第 3 节推导了温和解的表示及其相关解算子的性质。第 4 节给出了方程 (1.2) 温和解的存在性结果。第 5 节建立了方程 (1.2) 近似可控性的充分条件。第 6 节和第 7 节提供了数值模拟和理论实例，以展示主要结果。

**预备知识**

为简化符号，我们通常省略对 $\omega \in \Omega$ 的依赖，将 $x(t, \omega)$ 简写为 $x(t)$。随机过程 $\{x(t, \omega): \Omega \to \mathcal{H} \mid t \in \mathcal{I}\}$ 通常简写为 $\{x(t): \mathcal{I} \to \mathcal{H}\}$，其中 $\mathcal{I}$ 是给定的区间。

设 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ 为配备有右连续递增子 $\sigma$-代数完备族 $\{\mathcal{F}_t\}_{t \geq 0} \subseteq \mathcal{F}$ 的完备概率空间。设 $Tr(Q) = \text{trace}(Q) = \sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i < \infty$，其中 $Q\epsilon_i = \lambda_i \epsilon_i$，$\lambda_i \geq 0$，$\{\epsilon_i\}_{i \geq 0}$ 为 $\mathcal{W}$ 的标准正交基。用 $L(\mathcal{W}, \mathcal{H})$ 表示从 $\mathcal{W}$ 到 $\mathcal{H}$ 的所有有界线性算子空间。

**温和解及解算子的性质**

利用第 2 节中引入的广义 Hilfer 导数，我们现在推导方程 (1.2) 解的显式积分表示。该表示对于在后续章节中建立存在性和可控性结果是必不可少的。

为方便起见，我们设 $q=\alpha^2$。

**定理 3.1** 若函数 $x$ 满足以下条件，则 $x$ 是方程 (1.2) 在 $(-\infty, b]$ 上的解：

$$x(t) = \begin{cases} \varphi(t), & t \in (-\infty, 0], \\ \varphi(0)\frac{\Gamma(\gamma-1)}{t^{\gamma-2}}e^{-\delta t} + \tilde{x}\frac{\Gamma(\gamma)}{t^{\gamma-1}}e^{-\delta t} + \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} \frac{1}{\Gamma(\alpha)} e^{-\delta(t-s)} [\mathcal{A}x(s) + \mathcal{B}u(s) + f(s, x_s) + G(s, x_s)dW(s)] \, ds, & t \in J. \end{cases}$$

**证明** 对 $t \in J$，

**存在性结果**

有了第3节中的温和解表示形式，我们现在利用Sadovskii不动点定理建立方程 (1.2) 的温和解的存在性。这为第5节中的可控性结果奠定了基础。

**引理 4.1** [14] 对任意 $x(b) \in L^2(\mathcal{F}_b; H)$，存在 $\phi \in L^2_{\mathcal{F}}(\Omega; L^2(J; L_0^2))$ 使得 $x(b) = Ex(b) + \int_J \phi(t) \, dW(t)$。

在本奇异情形中，经典估计 (1.1) 失效，因为其全局上确界范数缺乏消除初始奇异性的逐点权重。

**近似可控性**

在本节中，我们建立方程 (1.2) 近似可控性的充分条件。

设 $\Re(b, u, \varphi, \tilde{x}) = \{x(b; u, \varphi, \tilde{x}) : u \in L^2([0, b]; U)\}$ 为方程 (1.2) 在终值 $b$ 处的可达集，其中 $x(t; u, \varphi, \tilde{x})$ 表示与控制 $u$ 和初始数据 $(\varphi, \tilde{x})$ 相关的温和解。

**定义 5.1** 若 $\overline{\Re(b, u, \varphi, \tilde{x})} = L^2(\mathcal{F}_b; H)$，则称方程 (1.2) 在 $\bar{J}$ 上是近似可控的，其中 $\overline{\Re(b, u, \varphi, \tilde{x})}$ 表示 $\Re(b, u, \varphi, \tilde{x})$ 在 $L^2(\mathcal{F}_b; H)$ 中的闭包。

此外，我们施加以下条件

**数值模拟**

在本节中，我们设计了两个数值示例：第一个验证存在性定理，并展示在允许随机扰动下的温和解；第二个检验系统在更强噪声强度下的鲁棒性。

我们强调，本节的数值模拟仅限于标量情形 $H = \mathbb{R}$，$\mathcal{A} = -1$。这一选择仅用于演示目的，以可视化广义分数阶

**理论示例**

考虑具有以下形式的δ-实质性Hilfer分数阶无穷延迟随机演化方程：

$$\begin{cases} (SH\mathcal{D}_{0+,\delta}^{\alpha,\beta} x)(t, \vartheta) = \frac{\partial^2}{\partial \vartheta^2} x(t, \vartheta) + \xi u(t, \vartheta) + \int_{-\infty}^t w_1(t-s)v(s)e^{-(t-s)} \cdot \frac{1}{2} e^{-t} \sin x(s, \vartheta) \, ds \\ \quad + \int_{-\infty}^t w_2(t-s)v(s)e^{-(t-s)} \cdot \frac{1}{2} (1 + |\sin x(s, \vartheta)|) \sin x(s, \vartheta) \, ds \, dW(t) \, dt, \\ \vartheta \in [0, \pi], \, t \in J = (0, b], \\ x(t, 0) = x(t, \pi) = 0, \, t \in J = (0, b], \\ \lim_{t \to 0^+} (S\mathcal{I}_{0+,\delta}^{(1-\beta)(2-\alpha)} x)(t, \vartheta) = \varphi(0, \vartheta), \\ \lim_{t \to 0^+} \frac{d}{dt} (S\mathcal{I}_{0+,\delta}^{(1-\beta)(2-\alpha)} x)(t, \vartheta) = \tilde{x}(\vartheta), \\ \vartheta \in [0, \pi], \\ x(t, \vartheta) = \varphi(t, \vartheta), \, t \in (-\infty, 0], \, \vartheta \in [0, \pi], \end{cases}$$

其中 $SH\mathcal{D}_{0+,\delta}^{\alpha,\beta}$ 表示δ-实质性Hilfer分数阶导数，$1 < \alpha < 2$，类型 $0 \leq \beta$

**结论**

在本文中，我们研究了一类由所提出的广义Hilfer分数阶导数驱动的无穷延迟随机演化方程。主要的方法论贡献是一个加权历史状态算子，该算子修正了经典历史范数框架与Hilfer型解的奇异行为之间的不一致性。利用该算子结合非紧性测度、Sadovskii不动点定理和随机方法，我们建立了存在性

**CRediT作者贡献声明**

赵大林：撰写—审阅与编辑，撰写—原稿撰写，可视化，方法论，概念化。刘彦胜：撰写—审阅与编辑，指导，调查，资金获取。

**利益冲突声明**

作者声明以下财务利益/个人关系，可能被视为潜在的利益冲突：赵大林报告了国家自然科学基金委员会提供的资金支持。如有其他作者，他们声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

赵大林 | 刘彦胜

山东师范大学数学与统计学院，济南，250014，中国