守恒Allen-Cahn方程的保持最大值原理的显式方法

《Computer Physics Communications》：Maximum principle-preserving explicit method for the conservative Allen–Cahn equation

　　

## 摘要

我们分析了守恒Allen-Cahn方程的一种全显式有限差分方法，该方程包含时空依赖的拉格朗日乘子。该方法在空间上采用中心有限差分格式，在时间上采用显式欧拉方法。它在齐次诺伊曼边界条件或周期性边界条件下保持总质量守恒。我们推导出了使数值解在一维、二维和三维中保持在$[-1,1]$区间内的时间步长条件。一维中的反例表明，当时间步长超过此界值时，最大值原理可能失效。数值测试确认，在所推导的条件满足时，该方法能保持质量守恒和最大值原理，同时具有时间一阶精度。对于小扰动，数值增长率与线性分析结果吻合良好。进一步的测试再现了由质量守恒的平均曲率流驱动的界面运动。在报告的测试中，离散能量呈递减趋势。该方法无需求解全局线性或非线性方程组，其简单结构适合并行计算。这些结果为守恒Allen-Cahn方程显式模拟中的时间步长选取提供了理论依据和实践指导。

## 引言

相场模型提供了一种描述多组分系统中界面演化和相分离的通用连续介质方法[1]、[2]、[3]。守恒Allen-Cahn（CAC）方程是建模质量守恒至关重要的相分离过程的基本模型[4]。Rubinstein和Sternberg[5]在非局域空间无关拉格朗日乘子的框架下提出了CAC模型，该模型属于为标量守恒量构建的相场模型方法论。后来，Brassel和Bretin[6]提出了一种结合局域-非局域时空依赖拉格朗日乘子的CAC模型版本，通过考虑局域变化和全局约束，改进了质量守恒机制。时空依赖的拉格朗日乘子适应于系统空间和时间上的变化，同时保持总质量守恒。这种表述增加了CAC模型的灵活性和适用性，特别是在具有显著空间异质性的系统中。定义在$\Omega\in\mathbb{R}^d$（$d=1,2,3$）上的具有局域-非局域时空依赖拉格朗日乘子的CAC模型如下：

$$\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}=-\frac{1}{\epsilon^2}F'(\phi(x,t))+\Delta\phi(x,t)+\lambda(\phi(x,t)),\quad t>0$$

其中$\phi(x,t)$是守恒的相场变量，$\epsilon$为正数，$F(\phi)=0.25(\phi^2-1)^2$。项$\lambda(\phi(x,t))$是为保证质量守恒而引入的时空依赖拉格朗日乘子，定义为

$$\lambda(\phi(x,t))=\frac{\int_{\Omega}F'(\phi(x,t))dx}{\int_{\Omega}\frac{dF(\phi(x,t))}{d\phi}dx}$$

虽然经典Allen-Cahn（AC）模型[7]能有效捕捉相分离中的界面动力学和模式形成，以及图像分割、流体动力学、晶体生长、图像修复和平均曲率流[8]等问题，但由于其反应项的非保守性质，它本质上缺乏质量守恒。这一局限性限制了其在需要序参量全局守恒的物理和工程应用中的使用，例如材料科学[9]、[10]、[11]、多相流[12]、[13]、[14]和二元流体系统[15]、[16]、[17]。CAC方程通过引入一个施加相场总质量守恒的拉格朗日乘子解决了这一问题。这一修正使方程能够准确描述由保守动力学支配的现象，如封闭系统中的旋节线分解[18]。因此，CAC方程为模拟保守系统中的长时间行为和平衡模式提供了更物理一致的模型。此外，CAC方程的数学结构对数值分析和模拟提出了独特挑战。

已有各种关于CAC方程的数值研究，旨在开发保持最大值原理的格式。Li等人[19]研究了具有非局域拉格朗日乘子的改进AC模型的最大值原理，提出了无条件保持该原理并确保能量稳定的一阶和二阶稳定指数时间差分格式。Chen等人[20]引入了用于具有非局域拉格朗日乘子CAC模型的高阶数值格式（最高四阶），这些格式保持最大值原理并守恒质量。理论分析和计算实验表明，这些格式在独立于空间离散化的时间步长约束下能维持质量守恒和最大值原理。Lee[21]研究了保守和非保守AC方程的数值格式，提出了一种重构为梯度下降类格式的有界且能量稳定的新方法。所提出的格式确保质量守恒、解的有界性和数值稳定性，并通过大量模拟进行了验证。Li等人[22]提出了用于CAC模型的一种投影方法，该方法保持最大值原理和质量守恒，作者提供了其在离散$L^2$范数下收缩性的严格分析，以及二阶指数时间差分算法的理论保证。Choi和Kim[23]引入了具有修正拉格朗日乘子的新型CAC模型（以浓度的幂指数形式），以保持最大值原理，并开发了保证质量守恒和解有界性的无条件稳定数值算法。Doan等人[24]利用Duhamel公式为CAC方程构造了一阶和二阶低正则性积分器，并在低时间正则性假设下证明了质量守恒和能量稳定性。此外，还进行了考虑计算域复杂性、几何特征和能量稳定性的研究。Sun和Zhang[25]基于径向基函数逼近结合算子分裂格式，提出了CAC模型在光滑紧致曲面上的无网格计算方案。他们通过引入基于核的四分法来计算拉格朗日乘子，实现了质量守恒，并通过在各种曲面上的计算测试展示了方法的准确性和效率。Liu等人[26]提出了具有非局域约束的CAC方程的全离散数值模型，开发了一种高效的线性迭代算法，理论分析和计算测试均表明该方法在非均匀时间网格上具有准确性、效率和保结构性质。Song等人[27]为具有粘附势的多组分囊泡模型开发了无条件能量稳定的松弛拉格朗日乘子方法，其中CAC动力学保持总体积，精确的拉格朗日乘子施加各组分表面积约束。Song等人[28]提出了一个相场囊泡膜模型，该模型结合CAC动力学与拉格朗日乘子分别保持包体积和施加全局表面积约束，并基于标量辅助变量（SAV）和拉格朗日乘子方法开发了高效的能量稳定数值格式。He等人[29]开发了一个相场囊泡膜模型，其中CAC动力学保持体积，拉格朗日乘子施加全局表面积约束，并提出了两种线性、完全解耦且无条件能量稳定的方法用于流-不可压缩耦合系统。Bu等人[30]为两类具有非局域算子的分数阶CAC方程提出了二阶和三阶时间离散方法，保证质量守恒和能量稳定性。Weng等人[31]利用不同的拉格朗日乘子和稳定SAV方法，为具有非局域算子的非局域三元CAC方程开发了两种计算算法。Yuan等人[32]通过将辅助变量方法与Runge-Kutta和预测-校正方法相结合，为具有非局域拉格朗日乘子的CAC相场表面活性剂系统开发了高阶数值格式，这些格式保持原始能量耗散律和质量守恒。Guo和Dai[33]提出了用于具有时空依赖拉格朗日乘子CAC模型的三种高阶无条件能量稳定数值方法，包括能量线性化Runge-Kutta方法和两种Hamilton边界值方法。所提出的格式结合Fourier伪谱空间离散化，通过二维和三维（3D）模拟进行了验证，表明其能保持质量守恒，并与现有保结构方法相比具有更高的精度。Lan等人[34]利用算子分裂方法为对流CAC模型开发了保结构计算方法，并提供了最优误差估计以及离散最大值原理和质量守恒的证明。Li等人[35]基于SAV、逐步求解SAV和新型拉格朗日乘子方法，为CAC型嵌段共聚物模型开发了三种解耦、二阶精度且无条件能量稳定的方法。Li等人[36]基于守恒$L^2$梯度流推导了用于面心立方有序化的新型AC型双模型相场晶体模型，并引入了非局域拉格朗日乘子同时保持质量守恒和能量耗散。作者利用稳定SAV方法开发了高效且无条件能量稳定的格式，并讨论了较低阶AC动力学导致更弱Courant-Friedrichs-Lewy条件的优势。Schwarzmeier等人[37]对自由表面格子玻尔兹曼方法（LBM）和用于模拟重相主导两相流的CAC相场LBM进行了对比研究，通过一系列数值基准测试分析了它们各自的优缺点和准确性。Xu等人[38]为CAC方程开发了三种改进的LBM，并比较了它们的准确性、收敛性、有界性和效率。结果表明所提出的格式能减少数值误差，并在宽泛的松弛时间范围内更好地保持有界性。

最近，包括AC和CAC方程在内的各种偏微分方程已利用机器学习技术进行了研究[39]、[40]。Kütük和Yücel[41]开发了一种物理信息神经网络（PINN）方法用于求解各种配置的AC模型，包括恒定和退化迁移率、不同能量势以及在1D、2D和3D空间中确定性及随机初始条件，其中能量耗散特性被纳入损失函数以改善学习性能。Chen等人[42]开发了新的PINN方法来求解耦合的AC和Cahn-Hilliard方程，结合了归一化技术、自适应界面感知采样和基于神经切线核的损失平衡策略，并通过各种电化学腐蚀模拟验证了其准确性。Geng等人[43]开发了一种新的深度学习方法用于预测AC和CAC模型的动态，通过设计专门的卷积神经网络来学习全离散时间演化算子，无需真实数据。在使用机器学习技术时，有必要提出适当的基准问题来评估数值解的准确性。其中最简单高效的方法之一是利用数值方法计算参考解进行比较。在这些方法中，显式有限差分格式易于实现且适合并行计算，是一个可选择的方案[44]。

当使用显式时间离散化格式时，同时满足数值稳定性（如最大值原理保持）和质量守恒尤为困难。全显式欧拉有限差分格式通常结构简单、易于实现且适合并行计算[45]、[46]。然而，同时满足数值稳定性和质量守恒仍是需要进一步分析的课题。据作者所知，文献中尚未证明关于CAC方程保证上述两种性质的时间步长大小的严格理论条件，也未清晰呈现严格的反例。本研究对CAC方程的全显式有限差分方法进行了稳定性分析，并提出了反例以证明所推导条件的严格性。

本文其余部分组织如下：第2节介绍CAC方程的全显式欧拉格式，并进行严格的稳定性分析以推导保持最大值原理的时间步长约束。第3节通过一系列一维、二维和三维计算实验验证理论结果的有效性和严格性。最后，第4节给出结论。

## 数值格式与稳定性分析

我们引入用于CAC模型（1）的显式欧拉时间积分格式，并进行稳定性分析以研究计算解满足最大值原理并保持稳定的条件。为了离散化方程，我们将有限域$\Omega=(L_x, R_x)$划分为网格$\Omega_d=\{x_i=L_x-0.5h+ih\mid i=1,2,\ldots,N_x\}$，其中$N_x$表示网格点数，$h=(R_x-L_x)/N_x$为空间步长。CAC方程的全显式欧拉格式为：

$$\phi_i^{n+1}=\phi_i^n+\Delta t\left[-\frac{1}{\epsilon^2}F'(\phi_i^n)+\frac{\phi_{i+1}^n-2\phi_i^n+\phi_{i-1}^n}{h^2}+\lambda_n\right]$$

其中$\lambda_n$为离散的拉格朗日乘子。在齐次诺伊曼边界条件$\phi'(L_x,t)=\phi'(R_x,t)=0$或周期性边界条件下，通过计算$\lambda_n$的值来保证质量守恒。通过严格的稳定性分析，我们推导了保持最大值原理$-1\leq\phi_i^n\leq 1$的时间步长条件。

## 数值测试

进行数值测试以验证针对CAC模型全显式欧拉格式的分析。我们定义一维空间中时间$t=n\Delta t$时刻数值解的最大值和最小值为

$$\text{Max}(\phi^n)=\max_{x_i\in\Omega}\phi_i^n\quad\text{和}\quad\text{Min}(\phi^n)=\min_{x_i\in\Omega}\phi_i^n$$

类似地，二维和三维空间中的最大值和最小值也如此定义。数值实验中使用诺伊曼边界条件。

## 结论

本研究分析了具有时空依赖拉格朗日乘子的CAC模型的全显式有限差分方法。

该方法在空间上采用中心有限差分法，在时间上采用显式欧拉法。我们证明了该方法在齐次诺伊曼边界条件或周期性边界条件下能保持总质量守恒。我们推导了一个时间步长条件，该条件确保了在一维、二维和三维情形下数值解始终保持在[?1,1]区间内。一维反例表明，极值原理并非总能成立。CRediT作者贡献声明：Youngjin Hwang：撰写——审阅与编辑，撰写——原稿，可视化，验证，软件，方法学，调查研究，形式化分析，数据整理，概念构思。Junseok Kim：撰写——审阅与编辑，撰写——原稿，验证，监督，资源提供，项目管理，资金获取，形式化分析，概念构思。利益冲突声明：作者声明不存在任何已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。Youngjin Hwang｜Junseok Kim