一种综合医疗资源指标的模糊度量方法

《Fuzzy Sets and Systems》：A fuzzy metric approach to composite healthcare-resource indicators

　　

• 提出了一种用于综合指标的模糊度量框架。
• 用基于度量的灵敏度标度取代了归一化方法。
• 乘法聚合保留了d, ?-模糊度量结构。
• 数据依赖的灵敏度参数考虑了离散性和冗余性。
• 该方法在抽样变化和灵敏度参数变化下均产生稳健的排名。

**引言**

由[1]提出的卫生系统绩效框架代表了最早也是最具有影响力的尝试之一，旨在构建一个全面的卫生系统绩效综合指标。该框架通过整合多个维度——即健康结果、响应性和财务贡献的公平性——构建了一个单一指标，旨在提供一个统一的、国际可比的卫生系统效能衡量标准。在该方法中，一旦指标经过归一化处理后，综合指数便通过加权算术聚合构建，其形式为：

WHO_i = Σ_{j=1}^{K} w_j z_{ij}

其中，z_{ij}表示第i个单位第j个指标的归一化值，w_j为满足Σ_{j=1}^{K} w_j = 1的外生确定的权重，K为指标数量。然而，尽管该框架在概念上具有雄心并在政策上具有重要相关性，但其在多个方面受到了广泛的学术批评。

首要的关切涉及用于确保异质指标之间可比性的归一化程序。WHO框架依赖于将变量转换为共同区间（通常在零到一之间）的标度技术。然而，正如综合指标文献[2]、[3]所指出的，此类转换本质上是样本依赖的，可能会扭曲底层数据分布。特别是，极小-极大归一化对极端值具有敏感性且缺乏明确的经济解释，从而使得横截面分析和纵向分析都变得更加复杂。

第二个局限涉及外生性和规范性权重方案的使用。分配给不同绩效维度的权重源自专家判断和基于调查的偏好，而非数据中观察到的经验关系。正如[4]和[5]所强调的，此类权重结构嵌入了缺乏普遍合理性的隐含价值判断，并可能显著影响国家排名。这一问题在跨地区背景下尤为突出，因为不同社会对卫生系统目标的偏好可能存在显著差异。

与此问题密切相关的是对加法聚合方法的广泛依赖，通常表现为加权算术平均值。此类方法直接聚合归一化后的指标值，允许一个维度的改进根据固定的替代率抵消另一个维度的恶化。虽然计算上很方便，但当权重由专家外生分配且指标高度相关时，这种聚合规则可能变得存在问题。因为相关变量传达了重叠的信息，为每个变量独立分配权重可能会无意中放大特定维度的贡献，导致综合指标中冗余信息被过度表示。因此，最终指数可能不仅由底层数据驱动，还由主观权重决策与指标相关结构之间的相互作用驱动，可能导致有偏的解释和误导性的政策结论。

总之，大量文献强调了原始WHO方法中缺乏系统的灵敏度和不确定性分析。正如[2]、[3]所示，综合指标通常对建模假设（包括权重选择、归一化程序和聚合函数）高度敏感。这些元素的微小变化可能导致排名的显著变化，从而限制了结果的稳健性和政策相关性。

本文的贡献应当被理解为方法论上的，而非新的聚合理论。最近，[6]解决了刻画保留模糊度量结构的聚合函数的一般问题，建立了在何种条件下一个模糊度量族可以被聚合为另一个模糊度量的充要条件。本文在此基础上建立，而非对其进行扩展。我们的贡献在于展示如何利用这些抽象的聚合结果来构建一类基于指数模糊度量的新型综合指标。具体而言，定理10刻画了该族模糊度量的乘法聚合，并证明了聚合后的邻近度测度当且仅当生成函数满足加法-乘法泛函方程时，才保留其d, ?表示。在这些条件下，所得的综合指标仍然是配备诱导??几何结构的乘积空间上的有效模糊度量。这一保留结果是使所提方法得以成立的关键。因为聚合后的对象本身就是一个模糊度量，综合指标继承了底层度量空间的几何性质，可以解释为相对于参考轮廓的连续性邻近度测度。自Kramosil和Michálek开创性工作[7]以及George和Veeramani随后的改进[8]以来，模糊度量空间通过将精确距离替换为分级邻近度概念，推广了经典度量空间。它不再为每对观测赋予一个非负实数，而是关联一个[0,1]中的值，表示两个元素相对于给定灵敏度阈值的接近程度。这种解释对于多维社会经济现象尤为恰当，因为相似性和绩效本质上是渐进的而非二元的。

模糊度量可以被理解为经典度量的分级推广。经典度量d: X × X → [0, ∞)为每对点分配一个精确的非负实数表示其确切距离，而模糊度量用邻近度程度取代了这种尖锐的量化。形式上，模糊度量是一个映射：

M: X × X × (0, ∞) → (0, 1]

其中M(x, x', t)表达了x与x'之间的距离小于灵敏度阈值t的程度。参数t起到标度变量的作用，调节邻近度评估的严格程度。在许多相关情况下，模糊度量是可因子化的，即存在经典度量d和函数?使得：

M(x, x', t) = ?(d(x, x'), t)

因此，模糊结构并非丢弃经典几何，而是将其纳入一个依赖于标度的邻近度概念中[9]。这样，模糊度量在保留距离核心几何直觉的同时，融入了渐进性和依赖于标度的相似性，这些特征尤其适合于建模多维社会经济现象。

在我们看来，这一性质对于综合指标尤为相关，因为它允许将归一化步骤重新解释为向基准的邻近度操作，而非纯粹的线性重标度。这些考量表明，模糊度量结构直接解决了传统综合指标方法中确定的基本局限。特别是，通过将外生的归一化程序替换为内生的邻近度概念，模糊度量能够在原始数据空间内进行比较，从而保留观测之间的几何关系。

此外，标度参数t的显式纳入提供了一种连续的机制来调节灵敏度，作为一个膨胀或收缩算子，在保持空间底层结构不变的情况下调节邻近度。这一特征使得在保持多维绩效表示一致性的同时，能够容纳维度间的异质性。同时，度量公式保证了比较具有明确的几何解释，恢复了基数分析的可能性，并使得跨时间差异的一致评估成为可能。

从这一视角来看，模糊度量为综合指标底层三个结构要素提供了统一的解决方案。首先，它提供了一个数学上扎根的邻近度概念，取代了隐含且往往武断的相似性定义。与模糊隶属函数不同，后者量化元素属于模糊集的程度，模糊度量赋予底层集合以几何和拓扑结构。特别是，每个模糊度量都诱导一个自然拓扑，使得经典分析中的许多基本概念——包括收敛、连续性、柯西序列、完备性和紧致性——可以扩展到模糊环境中。这一几何框架在本研究中尤其相关，因为所提综合指标是从聚合的模糊度量构建的。因此，该指标应被解释为相对于参考轮廓的连续性邻近度测度，而非属于模糊集的程度。其次，它们对聚合施加了相容性条件，确保所得映射保留度量结构的基本性质，正如近期关于模糊度量空间中聚合的贡献[6]、[10]所指出的。特别是，如相关文献所示，分量模糊度量的聚合可以进行，使得所得综合映射本身保留模糊度量结构。这一性质对综合指标构建尤其相关，因为它保证了聚合不会破坏框架的几何可解释性。此外，此类构造诱导了一种与空间底层几何一致的排序，而非归一化和权重选择的副产品。

在模糊度量方法之外，一条活跃的研究路线发展了基于模糊隶属函数的模糊综合指标，以衡量多维社会经济现象。这些方法已被成功应用于多维贫困、脆弱性和水资源短缺等问题，在综合指数构建中纳入了概率不确定性、基于核的估计和稳健性分析[11]、[12]。另有研究也采用了模糊集理论构建综合指标，特别是在多维环境中，部分隶属的概念为复杂现象提供了灵活的表示。代表性应用包括通过模糊综合指标衡量多维贫困和剥夺[13]、[14]。近期贡献通过更加强调进入综合指标各维度之间的结构关系来扩展了这一文献。特别是，[15]开发了一个考虑正式法律规定与其实际执行之间差异的模糊生命周期性别平等指数，而[16]提出了一个结构感知的模糊综合框架，用于评估MENA地区的通胀脆弱性。这些近期贡献凸显了在构建模糊综合指标时，显式考虑维度间交互作用和结构依赖性，以及信息冗余性和稳健性的重要性日益增长。

本文其余部分组织如下。第2节回顾了所提框架所需的模糊度量空间理论基础。第3节开发了基于模糊度量的综合指标并建立了其主要理论性质。第4节呈现了对西班牙自治区医疗资源指标的实证应用，并评估了所提指标的稳健性和灵敏度，包括与受Murray框架启发的归一化算术基准[1]和Pena Trapero距离[17]的比较。第5节讨论了所提框架的主要发现、含义和局限。最后，第6节给出了主要结论。

**章节摘要**

**模糊度量空间**

随着1965年模糊数学的出现，大量努力被投入将经典数学概念适应到模糊框架中。在这些发展中，定义模糊环境中适当距离概念的问题引起了特别关注。与经典方法不同——在经典方法中两点之间的距离由精确的非负实数表示——模糊视角将距离解释为一个不精确的概念。具体而言，它

**乘积聚合与可因子化模糊度量**

健康综合指标的构建可以在模糊度量框架中重新表述，用保留结构的变换取代经典的线性聚合。给定一个捕捉单位间差异的度量d，形如M(x, x', t) = ?(d(x, x'), t)的d, ?-模糊度量在不确定性下编码相似性。

设?为一个连续t-范数，I为一个非空指标集。函数F: [0,1]^I → [0,1]被称为乘积上的模糊度量聚合函数[6]，如果对于每个

**稳健性与灵敏度分析**

为评估本文所提方法论的稳健性和灵敏度，我们考察了用于构建医疗资源禀赋综合指标的聚合规则对西班牙自治区排名的影响程度。实证分析包括17个西班牙自治区，以下简称为"地区"。休达和梅利利亚自治市被排除在外，因为与自治区不同，

**讨论**

综合指标构建中的一个核心方法论问题涉及归一化的作用及其与权重和聚合的相互作用。正如[24]所强调的，归一化不是一个中性的操作，而是一个改变数据分布并重塑观测之间相对距离的变换。这一效应在极小-极大标度中尤为棘手，因为它高度样本依赖且对异常值敏感，因为它依赖于观测到的极值。

结论
本文为 [21] 中介绍的方法提供了一种几何重构，结合经验稳健性与更强的理论基础，并为卫生系统评估及相关领域的综合指标构建提供了一种灵活且几何一致的替代方案。这种新方法开发了一种基于模糊测度的综合指标构建方法，作为传统方法（如 Murray 框架）的替代方案。

CRediT 作者贡献声明
玛丽亚·D·费尔南德斯·莫蒂瓦：撰写–初稿，验证，监督，项目管理，研究，数据管理。
赫苏斯·罗德里格斯·洛佩斯：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，监督，方法论，研究，形式分析，概念化。
恩里克·A·桑切斯·佩雷斯：撰写–审阅与编辑，撰写–初稿，验证，监督，资源，项目管理，方法论，研究，形式分析，

利益冲突声明
作者声明，他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能被认为会影响本文报告的工作。

玛丽亚·D·费尔南德斯·莫蒂瓦|赫苏斯·罗德里格斯·洛佩斯|恩里克·A·桑切斯·佩雷斯|爱德华多·希梅内斯·费尔南德斯