面向稀疏数据高保真重建的物理增强残差学习框架

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：Physics-enhanced residual learning framework for high-fidelity reconstruction from sparse data

　　

• •
  提出一种物理增强的残差学习框架，用于POD基准场校正。
• •
  在插值边界条件下，重建误差从2.69%降低至1.02%。
• •
  先验物理正则化减少了局部非物理校正。
• •
  减少了由CFD导出的POD基函数固有的重建偏差。
• •
  使用17个传感器的PERL方法（0.57%误差）优于使用45个传感器的POD方法（1.16%误差）。

引言

高保真全局数据是复杂工程系统健康监测和运行优化的基本前提[1]、[2]。然而，在实际场景中，由于恶劣的运行环境、传感器位置难以触及以及高昂的测试成本，获取高保真、高分辨率的全局测量数据通常极具挑战[3]。因此，工程系统往往依赖有限数量传感器提供的稀疏测量数据[4]。从有限的稀疏观测中重建高保真全局物理信息，已成为计算力学、流体力学和传热等领域中的一个关键反问题[5]、[6]。

为解决这一挑战，数据驱动方法已被广泛采用，例如基于本征正交分解（POD）的稀疏重建方法和基于深度学习的回归方法[7]、[8]。POD方法利用基函数的线性叠加来近似物理场，因其计算效率高而在实时重建中发挥着重要作用[9]、[10]。与此同时，深度学习方法展现了强大的特征提取和非线性拟合能力[11]、[12]。例如，近期一种深度学习模型在主动冷却气流调制条件下预测涡轮叶片温度场时，实现了约0.19%的相对平均误差[13]。然而，两类纯数据驱动方法本质上受限于离线训练数据的质量和覆盖范围[14]。在许多应用中，离线数据库通常基于计算流体力学（CFD）模拟构建。由于湍流模型假设（如RANS）或几何简化，这些数据不可避免地包含固有的模型偏差[15]。POD模态截断和神经网络统计拟合均倾向于将这些系统性模拟误差带入重建结果中[16]。此外，数据驱动模型通常具有较弱的物理外推能力[17]。当实际工况偏离训练参数空间时，预计算模态或训练后的网络往往无法捕捉新出现的非线性特征[18]，导致重建精度显著下降，在未见场景中误差率经常飙升至20%–48%[19]。

为克服纯数据驱动方法对高质量离线数据的过度依赖及其容易继承模拟偏差的问题，物理信息神经网络（PINNs）提出了一种新范式，即将控制偏微分方程（PDEs）等物理定律直接嵌入损失函数中[20]。由于PINNs不依赖标注的历史数据，它们可以从物理层面约束模型的收敛方向。理论上，这可以消除对模拟数据的依赖并增强泛化性能[21]、[22]。然而，在缺乏密集边界条件或足够内部观测的情况下，偏微分方程组可能存在无穷多解[23]、[24]。缺乏适当的初始化引导时，神经网络优化容易陷入虚假局部极小值。在这种情况下，损失函数可能收敛到一个低且稳定的量级，在数学上满足控制方程[25]、[26]。然而，这些输出是与实际运行状态相矛盾的非物理结果[27]。这种收敛问题在涉及多物理耦合和高梯度的复杂计算域中尤为突出[28]、[29]。近期评估表明，将标准PINN架构应用于复杂流场（如圆柱尾迹）时，可能无法捕捉物理涡结构，速度场相对误差飙升至高达23.7%，压力场高达43.1%[30]。

为应对这些收敛困难并提高计算效率，近期研究日益探索将降阶建模与物理信息学习相结合的混合框架。一种常见策略是将PINNs作为主要求解器来重建物理场，而仅将POD作为谱分析和物理评估的工具[31]、[32]。虽然该方法引入了物理约束，但神经网络仍需从零开始学习复杂解，在稀疏数据条件下往往导致收敛问题。另一种研究方向则专注于在降阶子空间中预测模态系数。具体而言，近期研究利用物理信息网络建立从物理参数[33]、[34]或稀疏探针观测[35]到降阶系数的映射关系，并开发了物理-数据耦合的有限体积框架[36]。尽管这些策略大幅减轻了计算负担，但它们本质上将解空间限制在预计算基函数的线性张成范围内。因此，重建精度受限于固有的模态误差，即使在最优系数估计下也存在约1%至5%的基线误差[33]、[36]。由于这一固有约束，它们缺乏捕捉偏离离线快照数据库的非线性特征或局部残差的能力，从而限制了外推性能。

综上所述，在仅有有限测量数据时，稀疏重建高保真物理场仍然充满挑战。纯数据驱动模型往往存在外推能力差的问题，且可能继承模拟数据中的系统性偏差；而PINNs在稀疏观测、不完整边界条件及不适当初始化的情况下则可能遇到收敛困难和虚假解的问题。尽管现有的混合策略已缓解了一些这些局限，但在稀疏测量条件下准确校正基于POD的重建结果仍未得到充分探索。针对这些局限，本研究提出了一种物理增强的残差学习框架用于场重建。该方法不直接预测目标场，而是将重建任务重新表述为基准场校正问题。首先，利用低保真POD重建场作为基准场表示，以建立稳定的初始状态。该初始化在神经网络训练开始时作为参考基线，引导优化轨迹以确保可靠收敛。随后，采用物理信息神经网络来学习基准场与真实场之间的非线性残差。为验证所提框架的有效性，本研究将其应用于从稀疏测量数据重建冷却涡轮叶片固体域内的稳态温度场。

章节摘要

方法论

如图1所示，所提出的物理增强残差学习（以下简称PERL）框架由三个主要阶段组成。

第一阶段为离线知识提取。首先，基于CFD计算构建快照矩阵。利用POD提取物理场的主导模态。随后，针对截断后的模态矩阵，采用QR分解算法优化传感器布置，从而定义一个观测矩阵，

数值建模与验证

为验证所提出的物理信息残差学习框架在复杂工程热问题中的有效性，本研究选取经典的NASA Mark II航空发动机涡轮叶片作为研究对象[42]。该叶片具有复杂的内部冷却结构，包含10个径向冷却孔，是国际上公认的叶片传热和气动性能测试基准。实验条件列于表1中。表头中，${T^{?}}_{\text{in}}$、${P^{?}}_{\text{in}}$

结论

针对稀疏测量数据条件下高保真温度场重建的挑战，本文提出了一种物理增强的残差学习框架。该框架将POD方法的快速降维和重建能力与物理信息神经网络的正则化能力相结合。该方法不是从稀疏测量数据直接预测目标场，而是首先构建POD重建的基准场，然后

CRediT作者贡献声明

倪书智：撰写——原稿撰写、可视化、验证、方法论、调查研究、形式化分析、数据整理、概念构思。童子翔：撰写——审阅与编辑、指导、方法论、概念构思。张逸民：验证、方法论、调查研究。米锦：验证、数据整理。朱建勤：指导、调查研究、资金获取。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。

致谢

本研究得到国家自然科学基金（U2541279）的资助。

倪书智|童子翔|张逸民|米锦|朱建勤