《Journal of Computational Physics》：Data-Driven Modeling of Stochastic Delay Differential Equations with Error Mitigation and Multi-Parameter Adaptation
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•提出了一种贝叶斯优化-互信息方法，用于随机时滞微分方程（SDDEs）中未知时滞的自适应鲁棒辨识。•设计了一种双分支神经网络，以解耦漂移-扩散项的学习并提高近似精度。•实现了对一类SDDEs的单次训练辨识，对未训练参数具有较强的泛化能力。•建立了严格的理论保证，包括解的存在性
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提出了一种贝叶斯优化-互信息方法，用于随机时滞微分方程（SDDEs）中未知时滞的自适应鲁棒辨识。
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设计了一种双分支神经网络，以解耦漂移-扩散项的学习并提高近似精度。
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实现了对一类SDDEs的单次训练辨识，对未训练参数具有较强的泛化能力。
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建立了严格的理论保证，包括解的存在性、唯一性以及均方预测误差界的推导。
引言
动力系统为跨学科理解和预测复杂现象的演化提供了统一的数学框架，涵盖金融系统[1]、生物动力学[2]以及物理过程[3]等领域。微分方程作为核心工具，将抽象原理转化为可解释的定量关系。实际系统通常表现出两个显著特征：对历史状态的依赖（时滞）[4]以及随机扰动的影响（随机性）[5]。此外，高维马尔可夫系统的降维往往引入非马尔可夫记忆效应，需要使用基于时滞的建模框架[6]、[7]。随机时滞微分方程（SDDEs）[8]对于建模此类耦合的时滞-随机动力学不可或缺。然而，由于SDDEs固有的非马尔可夫结构和随机性所带来的双重复杂性，从观测数据中直接辨识其控制规律仍然是一个重大挑战。
近年来，数据驱动建模的进展催生了多种方法，如非线性动力学稀疏辨识（SINDy）[9]、物理信息神经网络（PINNs）[10]以及算子推断技术[11]、[12]。然而，现有方法通常仅限于确定性或马尔可夫系统。对于确定性时滞系统（DDEs），研究人员通过引入延迟变量扩展候选函数库[13]，或采用神经时滞微分方程（NDDE）框架将时滞视为可训练参数[14]。与此同时，在辨识随机微分方程（SDEs）方面也取得了重大进展。传统的参数方法包括对Fokker-Planck方程的近似和高阶It?-Taylor展开。最近，机器学习和数据驱动方法已成为直接从离散观测轨迹中学习完全未知的随机动力学的灵活且主流的方法[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。尽管取得了这些进展，时滞的存在从根本上违反了马尔可夫假设。目前，少数直接针对SDDEs的工作通常假设时滞已知[23]，或采用Taylor展开[24]和Kramers-Moyal展开[25]等近似技术使系统马尔可夫化。面对未知时滞场景时，这些方法可能引入重大的建模偏差，限制了其通用性。
未知时滞SDDEs的辨识面临两个交织的瓶颈。首先是传统目标函数的失效。在随机系统中，扩散项在演化路径中产生固有的不确定性。因此，确定性DDE辨识中基于轨迹匹配的L2范数误差受到随机项的严重影响，产生大量虚假最优解，导致优化景观高度复杂[20]。其次，缺乏梯度机制。为了克服轨迹随机性，统计依赖性的信息论度量提供了一种有效的途径。然而，常用的非参数互信息（MI）估计器（如k-NN估计器[26]）缺乏显式解析梯度，使得传统的基于梯度的方法不适用。尽管理论上存在基于得分函数差分（SFD）的梯度估计框架[27]，但其依赖于高维设置中重复的核密度估计，带来无法承受的计算成本，限制了其实际适用性。
为解决这些挑战，本研究提出了一种结合信息论、贝叶斯优化和深度学习的综合框架。其核心创新是利用互信息（MI）作为鲁棒目标函数来辨识未知时滞。MI直接量化历史状态与未来状态之间的基本统计依赖性，减轻随机波动的影响，从而产生更稳定的优化景观。为应对MI目标函数的无梯度特性，采用贝叶斯优化（BO）作为全局搜索策略[28]、[29]。通过使用概率代理模型，BO高效地探索参数空间并精确定位最优时滞，而无需依赖梯度信息。在动力学预测阶段，设计了一种双分支神经网络架构以解耦漂移项和扩散项的学习。此外，为增强泛化能力并克服传统方法仅能处理单参数情况的局限性，该框架将参数向量嵌入网络输入层，实现对一类系统的单次训练和建模。本研究的核心贡献如下：
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首次将互信息用作辨识目标函数，并结合贝叶斯优化，形成了一种针对未知时滞SDDEs辨识的鲁棒方案。
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通过引入多参数机制，模型在一类参数化SDDE系统上实现了优异的泛化和预测性能。
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提供了严格的理论保证，包括神经近似的存在性和唯一性证明，以及均方预测误差界的推导。
本文的结构安排如下：第2节介绍方法论和理论结果。第3节通过两个具有代表性的SDDE模型的数值实验验证该框架的有效性。最后，第4节总结本文的研究发现并讨论未来的研究方向。
章节摘录
方法论
所提出的方法论通过统一的误差缓解框架解决了随机时滞微分方程数据驱动辨识中的关键挑战。具体而言，该方法通过整合三个组件来共同缓解由随机扰动、模型偏差和数值离散化引起的误差：(i) 通过互信息估计实现鲁棒的时滞辨识（2.2–2.3节），(ii) 采用双分支神经网络架构进行解耦的动力学学习（第2节
数值实例
我们在两个具有代表性的随机动力系统进行数值模拟，系统地验证所提出的SDDEs数据驱动框架在准确性、鲁棒性和泛化能力方面的表现。具体而言，我们全面评估了该框架在未知时滞辨识和动力学函数近似两方面的高精度性能，同时探讨了其在不同参数设置下的泛化潜力。所有数值实验
总结
对同时表现出历史依赖性和随机扰动的复杂系统进行准确的鲁棒数据驱动辨识至关重要。为了克服现有方法在处理非马尔可夫性与随机性耦合方面的局限性，本研究提出并验证了一种结合信息论、贝叶斯优化和深度学习的综合数据驱动框架。在方法学上，
CRediT作者贡献声明
王晓彤：写作——审阅与编辑、写作——初稿、可视化、验证、软件、方法论、形式化分析、数据管理、概念化。李敏：写作——审阅与编辑、验证、方法论。段金桥：写作——审阅与编辑、监督、调查、经费获取、概念化。陈晓丽：写作——审阅与编辑、写作——初稿、项目管理、方法论、经费获取、概念化。
利益冲突声明
作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。
王晓彤|李敏|段金桥|陈晓丽
