用于非局部多孔介质方程的结构保持有限差分方法

《Journal of Computational Physics》：Structure-Preserving Finite Difference Methods for the Nonlocal Porous Medium Equation

　　我们开发了保持结构的有限差分格式，用于一维（1D）和二维（2D）问题，具有二阶空间精度。对于一维情况，时间精度达到一阶和二阶；而对于二维情况，则保持了其一阶精度。我们严格证明了所提出格式的正性保持和质量守恒特性，以及一阶时间精度下的第一和第二能量耗散和Lp稳定性。我们还为二维问题开发了一种维度分裂方法，将一个时间步长的计算复杂度从O(M^6)降低到O(M^3logM)，相比直接求解系统有显著改进。

**引言**
在本文中，我们考虑了带有Riesz势的多孔介质方程（也称为具有分数压力的多孔介质流动，记为PMFP）[1]：
?ρ/?t ? ?·(ρ?Kρ) = 0,
x ∈ R^d, t > 0,
ρ(x,0) = ρ0(x)，
其中ρ = ρ(x,t)表示密度且非负。ρ0是Rd上的非负有界函数，具有紧支撑或在无穷远处快速衰减。这里，K表示阶数为α ∈ (0, 2)的Riesz势。它可以被视为Riesz核W = c/d, α|x|?(d?α)与函数ρ的卷积：
Kρ = W*ρ = c/d, α∫_R^d ρ(η,t)|x?η|^(d?α)dη，
c/d, α = Γ((d?α)/2)2απ/2Γ(α/2)，
Kρ也可以表示为（?Δ）^?α/2ρ。
多孔介质模型起源于对多孔介质中气体流动的建模，其历史可以追溯到20世纪初的相关研究。早在1903年，Boussinesq就提出了一个基于现在称为Boussinesq近似的地下水渗透分析模型。Leibenzon [2] 和 Muskat [3] 在20世纪30年代进一步发展了这一理论，并将其应用于多孔介质中的气体流动问题。尽管经典的多孔介质方程[4], [5], [6], [7] 成功描述了许多物理现象，但实际物理系统（如异质介质中的长距离扩散、粒子间的长距离相互作用）往往表现出显著的非局部特征，这些特征难以用传统模型直接描述[8]。近年来，引入分数拉普拉斯算子为非局部扩散建模提供了新的范式[9], [10], [11]。2007年，Caffarelli和Vázquez [8] 提出了一类新的多孔介质方程，通过Riesz势将逆分数拉普拉斯算子融入扩散过程：
p = (?Δ)^?α/2ρ，
从而形成了PMFP模型。当α=0时，PMFP模型退化为标准的多孔介质方程[7]；当α → 2时，该方程可以局部近似为Burgers型方程[14]。这种模型为非局部扩散建模提供了新的方法，在异质介质中的渗透、生物种群的长距离迁移以及粒子系统中的长距离相互作用等领域具有重要的应用价值[8], [15]。

**最近的研究**
一些研究小组非常关注这个方程的理论性质。Caffarelli和Vázquez [8], [16] 证明了该模型存在质量守恒的非负弱解，这些解满足能量估计和有限传播性质。
(i) 正性保持：如果初始条件满足ρ0 ≥ 0，则对于所有时间t，有ρ(x, t) ≥ 0。
(ii) 质量守恒：函数ρ在整个空间上的质量是守恒的：
d/dt ∫_R^d ρ(x,t)dx = ∫_R^d ?·(ρ?Kρ)dx = 0。
(iii) 第一能量估计：
d/dt ∫_R^d ρ(x,t)logρ(x,t)dx = ?∫_R^d (?ρ·?Kρ)dx = ?∫_R^n |?Hρ|2dx ≤ 0，
这里我们使用K = H^2，H是一个与梯度算子交换的正定自伴算子。
(iv) 第二能量估计：
1/2 d/dt ∫_R^d |Hρ(x,t)|2dx = ∫_R^d Hρ(Hρ)tdx = ∫_R^d (Kρ)ρtdx = ∫_R^d (Kρ)?·(ρ?Kρ)dx = ?∫_R^d ρ|?Kρ|2dx ≤ 0。
(v) Lp估计：Lp范数随时间不变：
d/dt ∫_R^d ρ^pdx ≤ 0。
(vi) L∞估计：L∞范数随时间不变：在任何固定时间t，空间中ρ(x, t)的最大值不会随时间增加。
他们还证明了这种弱解的有界性和Cα正则性[1], [17]。此外，Carrillo等人[18] 分析了一维方程解的渐近行为，证明了涉及熵、熵耗散和欧几里得传输距离的功能不等式。Biler等人[19], [20]推广了Barenblatt解，为该模型构造了具有紧支撑的显式自相似解。Lisini等人[21] 提出了一种基于Wasserstein梯度流的方法来研究分数多孔介质方程，证明了解的存在性和唯一性，并建立了能量的耗散不等式和正则化效应。

**尽管关于带有Riesz势的多孔介质方程的理论研究已经取得了丰富的成果，但由于难以获得解析解，通常采用数值方法来解决它。**
Carrillo等人[22], [23] 提出了一种用于一类聚集-扩散方程的有限体积格式，该格式保持了非负性和能量耗散，但没有提供关于其离散熵耗散以及Lp和L∞范数不增加的证明。此外，他们[24] 设计了一种基于连续分段线性空间离散化和隐式Euler时间离散化的有限元公式，用于求解具有抛物线正则化的分数多孔介质方程。Patacchini [25] 通过探索聚集-扩散方程的梯度流结构，开发了一种基于粒子的计算方法，为经典多孔介质方程的数值格式构建提供了新思路。Doumic等人[26] 基于相互作用范围趋于零时从非局部系统到局部系统的收敛性进行了研究，这依赖于相互作用的满秩假设。Forkert [27] 使用有限体积方法在一个单位区间上近似了带有漂移项的多孔介质方程的Wasserstein梯度流。据我们所知，目前还没有研究探讨求解PMFP模型的数值方法。本研究试图开发有限差分格式来填补这一空白。

**本文的主要贡献包括：**
- 我们开发了保持结构的有限差分格式，用于一维和二维问题，具有二阶空间精度。对于一维情况，时间精度达到一阶和二阶；而对于二维情况，则保持了其一阶精度。
- 我们严格证明了所提出格式的正性保持和质量守恒特性，以及一阶时间精度下的第一和第二能量耗散和Lp稳定性。
- 我们为二维问题开发了一种维度分裂方法，将一个时间步长的计算复杂度从O(M^6)降低到O(M^3logM)，相比直接求解系统有显著改进。

**本文的结构如下：**
第2节提供了必要的预备知识：符号和引理。第3节为一维PMFP模型建立了有限差分格式，并证明了它们的性质。第4节提出了二维PMFP格式并证明了其性质。第5节通过数值示例验证了所建立有限差分格式的时间和空间收敛精度，并通过数值方法确认了这些格式的解保持了六个基本性质。最后，第6节总结了主要的研究结果和结论。

**章节摘要**
**预备知识**
假设解在有限时间T内具有紧支撑，且紧支撑为Ω = [?l, l]^d，其中d=1,2。那么问题（1）被转化为具有初始条件和齐次Dirichlet边界条件的有界域问题。我们将为其构建有限差分格式。

**一维中的有限差分格式**
我们在一维中提出了两种完全离散的格式。在3.1小节中，我们构建了一个基于隐式Euler方法的一阶时间精度和二阶空间精度的有限差分格式（称为格式1），并证明了其保持结构的性质。随后，在3.2小节中，为了获得时间和空间的二阶精度，我们基于二阶后向差分公式（BDF2）开发了一个格式（称为格式2）并证明了其性质。

**二维中的有限差分格式**
格式1可以直接扩展到二维问题，但计算成本会变得非常高。在本节中，我们采用了一种扫描维度分裂框架[22]来构建二维多孔介质方程的有限差分格式。这种方法将二维问题分解为一系列一维子问题，从而显著减少了与维度增加相关的计算负担。

**数值模拟**
在本节中，我们提出了几个数值示例来证明所提出格式的准确性，并验证数值解保持了连续模型固有的六个基本性质。我们将计算最终时间T时数值解的L∞范数。误差定义如下：
(i) 预先误差：E(h) = ∥ρ_N?ρ(·,T)∥L∞；
(ii) 后验误差：F(h) = ∥ρ_N(h)?ρ_N(h^2)∥L∞。
此外，由于CFL条件（15）和（22），时间步长τ的上限得到了控制。

**结论**
在本文中，我们为带有Riesz势的多孔介质方程开发了保持结构的完全离散有限差分格式。对于空间离散化，我们使用了中心差分、迎风格式和minmod函数，这些方法共同确保了二阶空间精度，同时保持了数值稳定性。对于时间离散化，我们采用了隐式Euler方法和二阶后向差分公式（BDF2），实现了一阶和...

**作者贡献声明**
Yu Xinyi：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、概念化。
Lei Su：验证、软件、形式分析。
Hao Zhaopeng：撰写——审阅与编辑、监督、方法论。
Du Rui：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取、概念化。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的可能影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。