面向次扩散问题的无网格算子学习与非均匀时间步进方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Meshless Operator Learning and Nonuniform Time Stepping scheme for subdiffusion problems

　　

摘要
考虑到解固有的初始奇异性，我们在非均匀时间网格上发展了一种带有调和参数 λ 的加速调和 Alikhanov 公式。我们提出了基于非均匀调和 Alikhanov 公式的数值格式，利用基于指数和（SOE）的算法，高效地近似所考虑调和次扩散问题的 Caputo 调和导数。在有限差分设置中，空间导数由四阶精度紧致格式近似。采用基于卷积的一致性误差框架，我们推导了精确的最大范数误差界，有效地反映了解的时间正则性。所得到的有限差分求解器实现了 ???(????????log?????) 的计算成本和 ???(???log?????) 的内存需求，其中 M 和 Kt 分别是空间和时间网格大小。此外，我们将这种加速调和 Alikhanov 格式嵌入到深度算子学习框架中，将其与物理信息神经网络（PINNs）相结合，为调和次扩散问题构建科学机器学习求解器。数值实验证明了理论分析的可靠性，并突出了所提方法的高效性和准确性。

引言
近年来，由于分数阶偏微分方程能够捕捉非局部相互作用和空间异质性，因此引起了广泛关注 [1]。其中，分数阶扩散方程作为一类关键方程，被广泛用于模拟涉及传输和分散的基本物理和机械过程。Crank [2] 确定了建模异常扩散的七种主要方法，其中连续时间随机游走（CTRW）被认为是最有效的。根据跳跃长度和等待时间的假设，CTRW 可以代表各种异常扩散行为。当平均等待时间和跳跃长度方差都有限时，概率密度函数（PDF）退化为经典扩散方程。相反，幂律等待时间导致均值无限，这可能无法捕捉真实过程。为解决此问题，引入调和等待时间分布，确保均值有限，并产生由调和分数阶微分方程控制的模型。
次扩散发生在各种复杂系统中，通常以亚线性均方位移为特征。多孔或异质介质中的传输、密集堆积细胞中的扩散、无序半导体中的电荷运动、粘弹性松弛以及由粗糙能量景观中的陷阱主导的传输是一些例子。大的记忆效应和非高斯展布源于粒子探索的构型空间受到势垒、结合位点、漫长的等待时间或多尺度几何特征的严重限制。分数阶和调和分数阶次扩散模型提供了一种将微观陷阱和拥挤机制与宏观异常传输联系起来的经济方法，它们通过非局部算子和宽（可能截断）的等待时间分布来编码这些构型约束。特别是，调和解考虑了底层构型空间中的有限尺寸或有限能量截断，这使其能够在长时间极限下恢复更多经典的扩散，同时在中间时间尺度上捕捉异常行为。Podlubny [3] 和 Mainardi [4] 的经典专著，以及 Metzler 和 Klafter [5] 对异常扩散的综述，已建立分数阶微积分为模拟非局部和记忆驱动传输的基本框架。应用包括流体饱和多孔岩石中的波传播 [6] 和异常污染物传输，其中调和稳定 Lévy 运动和从属对流 - 扩散模型 [7]、[8]、[9] 提供了瞬态超扩散和异质介质的精细描述。
我们考虑以下带有调和 Caputo 导数的反应 - 次扩散问题
????,???????Δ???=?????+???(??,??),(??,??)∈Ω×(0,??],
其中 Ω∈????(??=1,2,3)，λ?>?0 是调和参数，κ?>?0 和 0????(??,??)|??∈??Ω=0,??∈[0,??],
???(??,0)=??0?(??),??∈Ω.
在 (1.1) 中，算子 ????,????=??0?????,???? 表示参数为 λ 的 α 阶 Caputo 调和分数阶导数，
????,???????(??):=?((??)(1???)???(??????????)′)?(??)=?????????∫??0??1????(?????)?(???????????(??))′????,
其中 (??)???? 表示阶数为 β 的 Riemann-Liouville 分数阶积分
(??)????:=∫??0?????(?????)????(??)????,
其中 ?????(??)=?????1Γ?(??).
形式为 ????+????,??????????????=? 的调和时间分数阶次扩散和对流 - 扩散方程已被提出作为异质介质中非菲克传输的有效模型。在地下水水文学中，这类调和分数阶对流 - 扩散方程捕捉含水层和裂隙构造中异常的羽状展布和后期拖尾，与污染地下水的评估和修复直接相关 [8]、[9]、[10]。相关的调和或分数阶反应 - 扩散模型出现在地球物理和多孔介质流动中，例如流体饱和岩石中温度和压力波的传播 [6]，以及由调和稳定 Lévy 运动驱动的瞬态超扩散 [7]。更广泛地说，分数阶和调和反应 - 扩散方程已被用于描述复杂材料和生物系统中具有线性反应动力学的异常传输 [11]。方程 (1.1) 可以被视为 [9]、[10] 中为地下水水文学提出的调和时间分数阶对流 - 扩散模型的反应 - 次扩散类似物，其中调和考虑了底层传输过程中的有限尺寸和有限时间截断。
通过构造，当 ??=0 时，Caputo 调和分数阶导数与经典 Caputo 导数一致，从而以自然的方式扩展了标准分数阶微积分。由于精确解很少可用，数值近似变得至关重要。已经开发了几种方法：Li 和 Deng [12] 引入了调和扩散方程的加权移位 Grünwald 格式；Chen 等人 [13] 将谱 -Galerkin 方法应用于带有调和分数阶导数的扩散方程；Deng 和 Zhang [14] 建立了具有高效实现的变分格式；Chen 和 Deng [15] 提出了时空调和扩散 - 波动方程的二阶格式。Dwivedi 和 Rajeev 最近提出了 Caputo 调和导数的有限差分格式，即阶数为 2??? 的 ??????1 方法 [16] 和二阶 ??????2?1?? 格式 [17]。时间分数阶扩散方程在 ??=0 附近存在弱正则性，给准确和高效的离散化带来困难。虽然存在几种方法 [18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]，但分数阶算子的非局部性和记忆依赖性使计算成本高昂，尤其是在高维情况下。为缓解这一问题，我们采用指数和（SOE）技术 [25] 来近似核 ?????，从而获得具有降低存储和复杂度的 Caputo 调和导数快速格式。采用经典 L2?1?? 逼近 [23]、[26]、[27]、[28]、[29] 和二次插值以确保二阶精度。Hassani 和 Naragirad [30] 引入了非线性时间分数阶对流 - 扩散方程的高效基于优化的求解器，该方程具有 Caputo 型变阶。[31] 中使用了利用广义 Laguerre 多项式的 GLP 谱展开来计算非线性时间分数阶扩散 - 波动方程的最优解。Avazzadeh 和 Hassani [32] 开发了基于超越 Bernstein 级数的运算矩阵方法来处理具有非局部边界条件的反应 - 扩散系统。对于耦合非线性变阶分数阶偏微分方程系统，Hassani 等人 [33] 提出了使用广义 Bernoulli-Laguerre 多项式的混合格式。Hassani 和 Avazzadeh [34] 进一步设计了用于二维非线性变阶分数阶最优控制问题的广义移位 Legendre 基方法。
分数阶偏微分方程的传统求解器也遭受维数灾难、高成本和灵活性有限的困扰，通常需要针对问题的特定设计。最近，深度学习方法 [35]、[36]、[37]、[38] 已成为有前途的替代方案。在此基础上，我们提出了一个与 DeepONet 框架集成的 fPINN，用于次扩散方程。构建的 fPINN-DeepONet Dθ 近似算子 D*: v?s，其中 v 可能包括变分数阶 α，从而能够对诸如 [v(x, 0); f(x, t)] 等输入进行泛化。采用分级时间网格来处理奇异性，并严格证明所提方法是稳定且收敛的。
在本工作中，我们发展了一种用于调和次扩散问题的加速二阶时间离散化，基于非均匀调和 Alikhanov 公式结合指数和（SOE）压缩，并将其嵌入到有限差分框架和科学机器学习环境中。本研究的具体动机和特殊目标可以总结如下：
•已知与经典时间分数阶次扩散一样，调和时间分数阶次扩散问题的解在 ??=0 附近表现出固有的初始奇异性 [23]、[39]、[40]、[41]、[42]、[43]。为了解决这一奇异层而不牺牲全局精度，我们设计并分析了针对调和设置量身定制的非均匀（分级）时间网格。
•时间分数阶偏微分方程的标准基于卷积的格式通常需要 ???(???????) 内存和 ???(?????2??) 运算，其中 M 和 Kt 分别表示空间和时间网格点数。为了克服这一计算瓶颈，我们构建了一个加速调和 Alikhanov 格式，灵感来自 [17]、[25]、[26]、[27]、[29]、[44]，该格式利用 SOE 技术来降低内存和计算成本。
•时间分数阶偏微分方程的经典求解器在高维或复杂几何形状上可能变得昂贵或不够灵活。为解决这些问题，我们开发了一个物理信息深度算子学习框架，将加速调和 Alikhanov 离散化与物理信息神经网络（PINNs）相结合，从而为正向和反向调和次扩散问题提供了一种无网格 SciML 方法。
从应用角度来看，所提出的加速调和 Alikhanov 格式和基于 SciML 的求解器直接与调和次扩散已被用于的工程和物理模型的模拟和参数研究相关。例子包括地下水中的非菲克污染物传输 [8]、[9]、[10]，以及复杂材料和地球物理或生物系统中的异常扩散 [6]、[11]。在这种设置下，解决固有初始奇异性以及以降低计算成本处理长但有限记忆的能力，加上基于网格和无网格（基于 PINN）求解器用于相同的调和次扩散模型，使本方法成为模拟、针对分数阶/调和参数的敏感性调查的实用工具。手稿其余部分按以下方式展开：第 2 节提供预备知识。第 3 节介绍了非均匀网格上的加速调和 Alikhanov 格式。第 4 节描述了二阶全离散紧致格式公式。第 5 节提出了基于卷积的误差和收敛性分析。第 6 节概述了深度学习（DeepONet-fPINN）框架。数值结果在第 7 节给出，第 8 节为结论。

章节片段
基础概念
我们考虑 [0, T] 的非均匀时间离散化，分为 [0, Tarb] 和 [Tarb, T]，其中 Tarb?∈?(0, T)。令 Kt 和 ????? 为满足 ???????≤?????≤???? 的两个正整数，其中 c?∈?(0, 1)。节点为 ????=??arb?(??/?????)?? (0≤??≤?????) 且 γ?≥?1 的分级网格解决了初始奇异性，而覆盖 [Tarb, T] 的准均匀网格具有有界的步长比。完整网格为 0=??0
非均匀网格上的局部加速调和二阶公式
我们采用以下符号：?·?=?·???2?(Ω)?，∥·∥0=∥·∥??2?(Ω)，以及 ∥·∥??=∥·∥?????(Ω)。对于非均匀网格上的网格函数 {????}??????=0，我们定义：加权算子：???????=????????1+(1???)?????，标准后向差分算子：???????=??????????1，调和后向差分算子：?????????=?????????????????????????1??????1，商差分算子：?????????12=???????????。为了清晰和简化的表述，我们引入以下符号，这些符号将在全文中一致使用 msub

加速二阶全离散紧致格式
我们采用高阶紧致有限差分格式来离散化空间导数，以提高精度。令 Ω???? 且闭包为 ?????Ω=Ω∪??Ω，并使用 M1, M2?≥?2 和步长 ???=(????,???????,??)/???? (??=1,2) 定义均匀网格。设 ?=max1≤??≤2????，并定义网格节点为 ????,????=????,??+???????? (0?≤?is?≤?Ms)。离散区域为 ?????Ω?={????,????}，内部和边界集合分别为 Ω?=?????Ω?∩Ω 和 ??Ω?=?????Ω?∩??Ω。令 ??????,?? 表示 (xs, ym, tr) 处的数值解，并使用紧致差分

基于卷积的误差和收敛性分析
我们的主要重点是所引入的加速调和 Alikhanov 方法的收敛性分析。为了清晰起见，我们简要指出主要新颖之处，即非均匀（分级/拟合）时间网格上加速调和 Alikhanov 格式的发展和处理，以及相应的离散能量/强制性估计和适应于分级网格的调和版本离散分数阶 Gronwall 不等式。稳定性和误差分析中的其他步骤

深度学习（fPINN-DeepONet）框架
算子学习旨在近似无限维函数空间之间的映射。DeepONet 通过学习算子而不是逐点输入 - 输出映射来实现这一想法，使模型能够捕捉分数阶偏微分方程的函数依赖性。
架构（分支与主干）。设输入函数在 k 个传感器点 (??1,?,????) [48] 处采样，给出 ????:=(???(??1),?,???(????))。分支网络将 vk 映射到系数 ??∈???，而主干网络将查询位置 y?∈?Y（例如

数值实现
本节详细讨论数值实现，其中采用不同的拟合网格来检查计算结果。所有数值实验均在 Python 中使用 TensorFlow（用于具有自动微分的 PINN/fPINN 训练）和标准科学库（NumPy/SciPy，Matplotlib）在配备 Intel Core i7-10870H CPU（2.21 GHz）和 NVIDIA GeForce GTX 1660 Ti GPU 的工作站上完成；有限差分参考解在

结论
考虑到解在 t=0 附近固有的奇异性，我们引入了一种加速非均匀调和 Alikhanov 公式来近似 Caputo 调和导数。为次扩散方程开发了一种结合有限差分和深度学习（DeepONet-fPINN）的混合方法。

随后，利用紧致有限差分方法构造了一个完全离散的加速格式，并推导了严格的极大范数误差界，同时通过误差分析建立了收敛性。

致谢声明：本文所有作者贡献均等。

CRediT作者贡献声明：Himanshu Kumar Dwivedi：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，方法论，调查研究，形式化分析。Xiuwen Li：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，方法论，形式化分析。Rajeev Rajeev：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，方法论，调查研究，形式化分析。Yehui Peng：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，形式化分析。

利益冲突声明：不存在利益冲突。

Himanshu Kumar Dwivedi | Xiuwen Li | Rajeev Rajeev | Yehui Peng

印度瓦拉纳西，印度理工学院（BHU），数学科学系，邮编221005，印度