具有记忆效应的随机KdV-Burgers-Huxley模型中的非局部分数阶拉普拉斯动力学：一种柯西主值欧拉小波方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Nonlocal Fractional Laplacian Dynamics in Stochastic KdV-Burgers-Huxley Models with Memory: A Cauchy Principal-Value Euler Wavelet Approach

　　

## 摘要

本文建立了一种基于Euler小波配点法的框架，用于求解涉及分数阶Laplace算子的偏微分方程。分数阶算子通过其Cauchy主值形式直接处理，该方法保留了模型的长程非局部特性，避免了依赖有限差分模板或纯数值积分近似。由于Euler小波基函数允许精确积分，所构造的分数阶Laplace矩阵能够高效地组装并具有较高的数值精度。该方法在若干具有已知解析解的基准问题中进行了测试，包括扩展Dirichlet问题和正则化基本解，涵盖亚扩散和超扩散两种状态。数值结果表明该方法具有较高的数值精度，并证明了误差受分数阶阶数的强烈影响，这与分数核函数的奇异结构预期一致。随后，该框架被应用于一个具有记忆效应的随机分数阶Korteweg-de Vries-Burgers-Huxley方程。模拟结果表明，所提出的方案在不同初始剖面和噪声强度下均保持稳定，同时能够捕捉非局部扩散、随机强迫和遗传记忆的综合影响。总体而言，结果支持了Euler小波配点法在非线性、非局部及随机分数阶模型中的有效性。

## 引言

分数阶偏微分方程（FPDEs）已成为异常扩散、长程相互作用以及记忆驱动的输运过程的基本建模工具，广泛应用于随机动力学、非局部连续力学和复杂介质等领域。在这些模型中，一个核心算子是分数阶Laplace算子，它自然出现为对称稳定Lévy过程的无穷小生成元，为非局部扩散提供了数学上一致的表示。关于分数阶位势及相关非局部算子的经典贡献可追溯到Riesz的工作[1]、[2]，而现代视角和综述进一步阐明了分数阶Laplace算子的分析结构和物理相关性[3]、[4]。特别是，近期的工作强调分数阶Laplace算子根据分数阶阶数的不同表现出本质上不同的行为，这强烈影响了解的正则性和数值性能[3]、[5]。

本研究的动机有两个方面。首先，分数阶Laplace模型为空间过程提供了一个自然的数学框架，在这些过程中输运并非纯粹局部的。与经典Laplace算子不同，算子$(?\Delta)^{\alpha/2}$通过一个奇异积分核将长程相互作用纳入其中，因此解在给定点的值取决于其在整个定义域和外区域的分布。这一特征在涉及异常扩散、随机激励、非局部扩散和遗传效应的模型中至关重要。其次，本文考虑的随机分数阶Korteweg-de Vries-Burgers-Huxley方程结合了多个竞争机制：非线性平流、色散、分数阶扩散、反应动力学、乘性噪声和记忆。这些效应之间的相互作用产生了用纯粹局部离散化方法难以可靠捕捉的解行为。

从数值角度来看，主要困难在于对(1.2)中Cauchy主值积分的精确逼近。核函数$|x-y|^{-1-\alpha}$在$y=x$处是奇异的，而算子在该奇点之外保持本质上非局部。因此，合适的数值方法必须同时解决近场奇异行为和远场贡献。标准有限差分方案简单高效，但通常通过模板或数值积分修正来近似分数阶算子。有限元方法在复杂几何上具有灵活性，但需要仔细处理非局部双线性形式和外条件。经典谱配点法对于光滑解可以非常精确，但当局部化结构或端点奇异性影响解时，其全局基函数可能不太方便。这些考虑促使我们采用小波配点策略，以结构化方式将局部性和多项式逼近结合起来。

本文选择Euler小波，因为它们提供了在二进制子区间上具有紧支集、基于多项式的逼近框架。其局部支撑使其适合表示空间上局部化的变化，而其多项式结构允许在重构公式(2.6)–(2.8)中对基函数进行精确积分。这对于当前模型特别有用，因为三阶导数$u_{xxx}$、低阶重构$u_{xx}$、$u_x$、$u$以及分数阶Laplace矩阵都可以通过共同的系数向量来表达。因此，该方法导出了紧凑的运算矩阵形式和有限维微分代数系统，可以使用隐式Euler离散化进行时间推进。所提出的框架旨在保留分数阶Laplace算子的非局部结构，同时保持局部小波基的计算优势。

总之，我们基于Euler小波配点法开发了一个高效且精确的数值框架，用于求解涉及分数阶Laplace算子的分数阶偏微分方程。主要目标是从其Cauchy主值表示直接构造分数阶Laplace矩阵，从而避免仅依赖局部模板的近似方法。该方法使用若干具有已知闭式解的基准问题进行了验证，包括扩展Dirichlet型公式和正则化基本解[5]、[6]。这些测试是必不可少的，因为主值积分的数值计算对核函数的奇异结构和底层解的光滑性非常敏感，特别是在边界层或不连续点附近。当分数阶阶数在亚扩散$0 < \alpha < 1$、临界$\alpha=1$和超扩散$1 < \alpha < 2$各区间间变化时，这种敏感性尤为显著[3]、[4]。

作为动机性应用，我们考虑了具有记忆效应的分数阶随机广义Korteweg-de Vries-Burgers-Huxley方程，该方程提供了一个代表性的非线性和色散框架，同时包含非局部扩散和随机强迫。具体而言，我们研究以下初边值问题[7]、[8]、[9]、[10]：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \nu(-\Delta)^{\alpha/2}u - \int_{-\infty}^{t} K(t-s)(-\Delta)^{\alpha/2}u(s,x) \, ds + \lambda u^{\delta} u_x + \mu u_{xxx} = \beta u(1-u)(u^{\delta}-\gamma) + \sigma u \, dW_t(t)$$

约束条件为：
$$u(t,0) = u(t,1) = u_x(t,1) = 0, \quad u(0,x) = u_0(x), \quad u(t,x) = u_1(t,x), \quad t < 0$$

其中$0 < \alpha \leq 2$表示分数阶阶数，$W(t)$是标准实Wiener过程，随机项按It?意义解释，$\beta$、$\gamma$、$\delta$、$\mu$、$\nu$、$\sigma$是物理和数值参数。

设$0 < \alpha < 2$，令$\tilde{u}$表示$u$从$\Omega=(0,1)$到$\mathbb{R}$的零延拓。在本文中$(-\Delta)^{\alpha/2}$表示受限分数阶Laplace算子：

$$(-\Delta)^{\alpha/2}u(x) = C(1,\alpha) \, \text{P.V.} \int_{\mathbb{R}} \frac{\tilde{u}(x) - \tilde{u}(y)}{|x-y|^{1+\alpha}} \, dy, \quad x \in (0,1)$$

其中

$$C(d,\alpha) = \frac{\alpha \, 2^{\alpha-1} \, \Gamma((d+\alpha)/2)}{\pi^{d/2} \, \Gamma(1-\alpha/2)}$$

该奇异积分表示适用于$0 < \alpha < 2$。端点$\alpha=2$仅理解为经典极限$(-\Delta)u$，而非通过直接代入归一化常数得到。该算子不同于有界区间上的区域分数阶Laplace算子和谱分数阶Laplace算子，因此零外延拓是模型定义的一部分[11]、[12]、[13]。

在本文中，我们采用文献中为具有记忆的材料扩散所提出的记忆核[8]：

$$K(s) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \text{erfc}\left(\sqrt{\frac{s}{2}}\right)$$

这给出了非局部扩散项中遗产效应的可处理表示。

涉及$(-\Delta)^{\alpha/2}$的计算的一个关键挑战在于，底层算子在$\alpha$的不同区间中改变其定性特征。对于$\alpha \neq 1$，基本解的行为类似于$|x|^{\alpha-1}$，而$\alpha=1$的情况产生对数奇异性[3]、[4]。因此，对于$\alpha > 1$，奇异性集中在原点附近；而对于$\alpha < 1$，主要贡献来自远场行为。这种转变意味着数值算法必须精心设计，以同时处理主值积分的局部奇异结构和分数核引起的长程非局部相互作用[6]、[14]。在当前设置中，这种困难部分得到缓解，因为色散KdV项和非线性平流-反应组分可能主导动力学，导致与早期关于随机广义Korteweg-de Vries-Burgers-Huxley模型及相关分数阶随机方程的研究一致的稳定解区间[8]、[9]、[10]。

此处采用的Euler小波配点法已被证明能够为分数阶微分和积分微分问题提供高精度。当前公式的优势在于，与Euler小波基函数相关的积分可以精确求值，允许精确重构空间导数并通过主值定义直接组装分数阶Laplace算子。所得方法产生微分代数系统，可以使用隐式Euler方案进行时间推进，为确定性和随机情形均产生稳定的数值解。相关高精度Euler小波方法和分数阶模型的自适应小波框架已在[15]、[16]、[17]、[18]中报道。

本文其余部分组织如下：第2节介绍Euler小波配点法并推导分数阶Laplace的离散表示。第3节给出基本理论分析和收敛估计。第4节包含分数阶Laplace算子的基准测试，包括与已有离散化的比较。第5节报告随机数值实验，包括时间细化、参数敏感性、相关分析和对初始数据的鲁棒性。第6节考察长记忆贡献，第7节总结主要结论。

## 2 分数阶Laplace算子的Euler小波配点法

在本节中，我们提出了用于数值求解涉及分数阶Laplace算子的分数阶偏微分方程的Euler小波配点法。基于小波的配点方法已证明对于分数阶偏微分方程和积分微分方程具有高精度，这得益于其局部化特性和高效表示光滑解及弱奇异解的能力；参见例如[15]、[16]、[18]。本方法采用Euler小波来近似基本理论分析。

## 3 基本理论分析

本节为连续模型和有限维Euler小波近似提供理论证明。目的不是建立完整的随机演化理论，而是说明模型局部良定的假设条件，以及所提出的有限维近似在数学上是一致的。

由于(1.1)中的随机项是乘性的，讨论在有限时间区间上以标准的路径意义或均方意义进行。

## 4 分数阶Laplace数值模型的测试

为了验证所提出的Euler小波逼近对分数阶Laplace算子的精度，我们考虑了文献中报告的具有已知闭式解的基准问题[3]、[4]、[5]、[6]、[14]、[20]、[21]。这些测试特别具有信息量，因为主值积分的数值评估对奇异核和底层函数的正则性非常敏感，特别是在$u$的导数不连续的点附近。

## 5 数值结果与讨论

在本节中，我们报告了(1.1)中引入的分数阶随机广义Korteweg-de Vries-Burgers-Huxley方程的数值结果。控制模型包含三个边界条件，由$x=0$和$x=1$处的Dirichlet约束以及$x=1$处的Neumann条件组成。为了分离分数阶扩散和随机强迫的影响，我们将历史函数设为零：

$$u_1(t,x) = 0, \quad t < 0$$

从而排除与$x=1$处的Neumann条件相关的长记忆贡献。

## 6 长记忆效应

在本节中，我们研究由分数阶随机广义Korteweg-de Vries-Burgers-Huxley模型(1.1)中的卷积项引起的遗产（长记忆）效应的影响。与第5节中的计算不同，在那些计算中将历史函数设为零以分离分数阶阶数和随机强迫的作用，现在我们通过指定非平凡的历史来激活记忆贡献。这使得我们能够直接评估各因素如何影响解的行为。

## 7 结论

本研究表明，Euler小波配点框架是捕捉由分数阶Laplace算子控制的分数阶偏微分方程行为的有效工具。通过从主值公式直接构造算子，该方法保留了模型固有的非局部相互作用，而这些相互作用在更经典的离散化方法中可能会被削弱或丢失。这对于长程效应和核函数奇异性影响解的正则性的问题尤为重要。

## CRediT作者贡献声明

Mutaz Mohammad：撰写—审阅与编辑、可视化、监督、软件、项目管理、调查、形式分析、概念构思。

Alexander Trounev：撰写—初稿、验证、软件、资源、调查、概念构思。

## 利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本文报告的工作。

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**作者信息**

Mutaz Mohammad | Alexander Trounev
Zayed University（扎耶德大学），数学系，阿拉伯联合酋长国