Korteweg-de Vries孤子的直接散射变换：鲁棒的高阶数值方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Direct scattering transform for Korteweg-de Vries solitons: robust high-order numerical methods

　　摘要
我们开发了一系列高阶数值方案，用于解决可积一维Korteweg-de Vries方程的Lax算子的直接散射问题，这些方案利用了Magnus展开和孤子的逆散射变换理论。对于由dressing方法提供的包含多达128个孤子的波场，这些算法证明了二阶、四阶和六阶方案的收敛性，特别强调了需要高阶方案来正确识别孤子特征值和归一化常数。我们展示了，在计算孤子归一化常数的固定目标精度下，高阶方案可以将计算速度提高一个数量级。我们表明，尽管在大计算域中直接散射变换框架内存在理论上证明的不稳定性导致的异常误差，但仍必须使用高精度算术来计算散射系数以恢复孤子归一化常数。该方法对于大型随机场表现出稳健的性能，提供了包括孤子振幅和位置参数在内的完整散射数据集。这为分析和处理实验及数值数据开辟了新的途径，特别关注统计问题以及在湍流波场中识别相干结构。

引言
自从19世纪发现水面孤子以来[1]，[2]，类似的局部孤立波已在各种非线性物理系统中被普遍记录，从光波导和等离子体到玻色-爱因斯坦凝聚态和电传输线[3]，[4]，[5]，[6]。作为非色散的相干结构，孤子在诸如rogue波的形成[7]，[8]，[9]、超连续谱的产生[10]以及调制不稳定性的发展[11]等非线性现象中发挥着关键作用。此外，它们还被考虑作为非线性光通信系统中的信息载体[12]。从数学上讲，孤子的非线性动力学由非线性偏微分方程控制，其中一类具有可积性质的重要方程可以使用逆散射变换（IST）方法进行研究，该方法也被称为非线性傅里叶变换（NFT）[7]，[13]，[14]。值得注意的是，许多广泛使用的非线性物理模型，如Korteweg-de Vries（KdV）方程和非线性薛定谔（NLS）方程，都具有可积性质，这使得可以使用显式表达式来描述孤子的传播和相互作用，并能够应用渐近技术来研究非孤子非线性色散波。此外，当考虑对可积模型的实际修正时，IST方法仍然以扰动理论的形式有效[15]，从而扩展了精确可积性的适用范围。该领域的最新进展包括对可积波系统统计特性的实验验证[16]，[17]，多孤子和孤子-气体方法在地球物理学中的应用[18]，[19]，[20]，以及机器学习工具的开发[21]，[22]，[23]。
IST理论的一个重要结果是，可积系统中的孤子在相互碰撞后可以恢复其形状，因此表现得像粒子一样。在IST术语中，孤子对应于一组所谓的散射数据，该数据由辅助散射问题的离散特征值和归一化常数{λn, ρn}组成。特征值在系统演化过程中不变，而归一化常数仅有微小变化；因此，集合{λn, ρn}，称为散射数据或IST谱，代表了传统傅里叶谐波的振幅和相位的一种非线性概括[13]，[14]。这种类比促进了IST方法作为分析可积和近似可积模型中非线性波场工具的使用[7]。Osborne及其合作者的开创性工作通过提供数值模拟和实验海浪测量中获得的非线性波场数据分析的示例，展示了这一想法的巨大潜力[7]，[24]。相应的散射数据识别程序是通用IST方法的一部分，称为直接散射变换（DST）。DST只能针对简单的波形（如矩形势[25]，[26]，[27]或sech形式的势[28]，[29]）以解析方式执行，以及在某些近似技术框架内[30]，[31]。第一批用于数值执行DST的工具由[32]，[33]，[34]，[35]，[36]提出，随后为各种非线性模型开发了不同的先进方法[37]，[38]，[39]，[40]，[41]，[42]，[43]，[44]。
我们考虑了一个一维KdV方程，它是描述浅水表面波、密度分层流体中的长内波、等离子体中的离子声波和电传输线[3]，[45]，[46]的基本模型。该方程以无量纲形式表示为实值函数u(x, t)，其中x和t代表空间和时间坐标，满足????+6????????+??????????=0。
IST方法最初由[47]为KdV提出，在随后由[32]，[33]，[34]进行了数值实现。KdV方程的散射数据集包含了关于孤子振幅、位置和非线性辐射的信息。鉴于新的实验室实验和海浪测量[44]，[48]，[49]以及对KdV孤子的数值统计研究[50]，[51]，最近在逆散射和直接散射变换方案的数值实现方面取得了进展。在这项工作中，我们考虑了含大量N≈102个孤子的KdV波场的数值稳健实现。这些孤子彼此严重重叠，在某些情况下甚至无法区分，这就需要对整个波场应用DST程序，而不仅仅是孤立孤子的集合，其中每个脉冲可以单独处理；参见例如[52]。与我们之前开发的DST KdV算法相比，我们的创新之处在于我们可以准确恢复离散谱的归一化常数，从而获得任意空间定位波场的完整孤子散射数据集。这类波场在非线性波系统的统计行为的数值和实验研究中很常见，并且被纳入所谓的可积湍流理论[53]，[54]，[55]，[56]，[57]，[58]的讨论中。进入DST程序的孤子数量增加会导致三种不同类型的数值问题迅速出现[59]，[60]，[61]，[62]：(i) 在大区间内数值解决散射问题时离散化误差的累积，(ii) 由于与大数和小数的算术运算，可能会严重影响计算散射系数结果的舍入误差，(iii) 由于多孤子波场上散射系数的解析奇点而出现的直接散射变换的异常误差[60]。后者是最严重的问题，通常会导致孤子位置参数的完全错误识别。注意，可以使用许多数值DST变体（例如傅里叶配点法）单独找到孤子特征值，其中波场的大小仅受存储配点矩阵所需的计算机内存限制[40]，[63]，[64]。以NLSE为例，我们最近发现，将高阶数值方案应用于解决Zakharov–Shabat问题[14]，[65]并结合高精度算术，可以抑制上述所有不稳定性，并处理任意复杂度的大N孤子波场[59]，[61]。在这里，我们将这种方法应用于KdV方程，并证明了其对大型随机场的稳健性能，提供了包括KdV孤子振幅和位置参数在内的完整散射数据集。基于Magnus展开，我们开发了一系列高阶数值方案，使用孤子的逆散射变换理论来解决可积一维Korteweg-de Vries方程的直接散射问题。算法对于由dressing方法提供的包含多达128个孤子的波场，证明了二阶、四阶和六阶方案的收敛性，特别强调了需要高阶方案和高精度算术来正确识别孤子特征值和归一化常数。
本文的组织结构如下。第2节提供了KdV方程逆散射问题构建的基本概述。第3节给出了在有限计算域上局部化的势对应的散射系数的表达式。第4节介绍了构建高阶数值方案的通用方法Magnus展开，并描述了数值算法。第5节从理论上研究了DST对归一化常数的异常误差。第6节通过各种示例和模型问题展示了高精度方案结合高精度算术的效率。第7节提出了结论。最后，附录（第A节）包含了异常误差理论的详细推导和KdV方程dressing方法的基础知识。

KdV方程的散射问题
在这里，我们提供了KdV模型[47]，[66]的IST方法的基础知识，以介绍我们的符号并澄清进一步的推导。KdV方程是可积的，并与薛定谔方程相关：????=??2???,?=????????????(??,??)，其中?(x, t)是波函数，?是Lax算子，??=??+?????是其时间独立的复数谱参数。为了后续分析，势u(x, t)在??=0时固定，并为简洁起见简称为u(x)。方程(2)代表了一个...

散射系数和传递矩阵
在本节中，我们简要描述了用于找到散射系数的DST框架。我们引入了以下扩展的4×4 T矩阵，该矩阵将波函数Φ=(Ψ,????Ψ)从?∞传输到+∞在空间域，见方程(3)：Φ|??→+∞=(Σ0????ΣΣ)?Φ?|??→?∞=???Φ|??→?∞，其中Σ是Ψ的2×2传递矩阵，即Ψ|??→+∞?=Σ?Ψ|??→?∞，?λ表示对特征值λ的导数。
在实践中，用于找到T矩阵并将其与散射系数联系起来的数值算法...

Magnus展开和数值算法
本节包含了用于获得上述S矩阵元素和散射系数的开发数值算法的信息。该过程从将区间[???/2,??/2]离散化为M个井开始，这些井通常具有不同的宽度，从而允许自适应步长策略。我们用Δxm表示第m个井的宽度，其中心位于xm。我们使用Magnus展开[70]来改进经典的Boffetta–Osborne二阶方案[35]。

异常误差
在上述推导中，我们介绍了数值IST算法。然后，标准的实际方法是考虑x域中的有限区间而不是无限线。在我们之前关于非线性薛定谔方程的数值IST算法的工作[60]中，我们观察到当域L增大时出现了数值问题。直观地说，当L→∞时，散射系数的数值期望收敛到精确值。然而，数值结果...

数值结果
在本节中，我们展示了包含大量孤子的波场的不同数值示例，以及由于异常误差或波场中孤子数量增加而出现的数值困难。我们实现了基于上述Magnus展开的2阶、4阶和6阶方案，在Wolfram Mathematica软件中使用高精度算术程序对等间距的数值网格执行DST。DST算法提供了散射系数...

结论
在本文中，我们提出了二阶、四阶和六阶收敛的新方案，通过高精度算术得到了增强，用于计算KdV方程的散射数据。我们的方法基于将Magnus展开[70]应用于KdV模型的散射系统，类似于我们最近对非线性薛定谔方程（NLSE）[59]，[61]的发展。Magnus展开代表了构建高阶...

声明
• 资助
本工作得到了俄罗斯科学基金会项目No 25-72-31023的支持。
• 利益冲突
作者声明他们没有利益冲突。

作者贡献声明
A.S. Gudko：撰写 - 原始草案，软件，研究。
A.A. Gelash：撰写 - 审查与编辑，监督，研究。
R.I. Mullyadzhanov：撰写 - 审查与编辑，监督，研究。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

A.S. Gudko | A.A. Gelash | R.I. Mullyadzhanov
俄罗斯科学院热物理研究所，Lavrentyev街1号，Novosibirsk，630090，俄罗斯