含Lie参数的Hall效应拉伸片材流动与传热：Lie相似变换、PINNs与RK-Shooting对比

《Journal of Taibah University for Science》：Hall-effect flow and heat transfer over stretching sheets: a comparison of PINNs and RK-shooting methods

　　

针对带霍尔效应（Hall effect）的三维流体流动与传热，研究人员利用Lie对称性（Lie symmetries）推导了一类含Lie参数（Lie parameters）的新型相似变换（similarity transformations）。流动方程通过所推导的映射进行变换，该映射包含Lie参数；研究表明这些Lie参数可调控拉伸诱导的热输运（thermal transport）与热对流（thermal convection），从而对热场（thermal field）产生强烈响应。这些影响通过速度与温度剖面（velocity and temperature profiles）加以说明，这些剖面由在变换后方程上应用MAPLE和Python中的RK-Shooting方法（RK-Shooting method）以及Python中的物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）获得。研究人员对这些解进行了对比分析，以验证所推导的流体动力学（fluid dynamics）。研究发现，MAPLE中的RK-Shooting在计算效率上高于PINNs和Python中基于RK-Shooting的框架。这项工作的核心贡献是推导含Lie参数的相似变换，以及将PINNs应用于所考虑的流动，此前尚未见报道。

一、研究背景与问题

在边界层理论中，拉伸片材（stretching sheet）上的流动与传热是经典且被广泛研究的问题，涉及玻璃、纤维、聚合物拉制/挤出、线涂、金属轧制与成型以及气动表面加热等。当与磁流体动力学（magnetohydrodynamics, MHD）效应及Hall电流（Hall current）耦合时，此类流动会影响MHD发电机、泵、核反应堆和聚变装置中液态金属的冷却，并通过调节流动与传热发挥作用。非稳态片材拉伸会在热边界层与动量边界层中引入瞬态效应；拉伸速率通过增强近壁速度使边界层变薄。磁场施加洛伦兹力（Lorentz force）阻碍运动并增加焦耳热；强磁场会产生Hall电流，改变电流路径并引入横流。

已有研究考察了带MHD与Hall效应的第三级流体、变粘度、非稳态第三级MHD解析解、熵产、滑移、Casson纳米流体、耗散热、三维拉伸表面、混合三维纳米流体及非线性拉伸表面薄膜挤压流等。流体流动与传热通常由Navier–Stokes方程的子类描述，相关模型多依赖相似变换消除变量。由于流动与传热控制方程为复杂非线性偏微分方程（partial differential equations, PDEs），通常无法通过精确解方案求解；一些近似解析和数值方案因计算成本及解不一致性不能直接应用。神经网络也用于获得流动动力学，但其基于优化和统计方法，通过最小化流动方程和边界条件定义的函数来工作。因此，需要消除流动方程变量，将其转化为常微分方程（ordinary differential equations, ODEs）或代数方程。本文针对Hall效应下拉伸片材流动与传热，利用Lie对称性方法构造相似变换，以约化流动定义PDE及其边界条件。

二、研究开展、结论与意义

研究人员针对三维粘性、不可压缩、导电流体在Hall效应下的流动与传热，构造Lie对称性生成元的线性组合，推导含Lie参数的相似变换，并进行双重约化，从流动定义Navier–Stokes方程中消除一个因变量和两个自变量，得到含Lie参数的非线性ODE系统。随后采用两类根本不同的求解方案：RK-Shooting法和物理信息神经网络（PINNs），分别通过MAPLE与Python以及Python/TensorFlow实现，并比较解的精度、计算成本和软件包性能。结论表明，MAPLE中的RK-Shooting计算效率高于PINNs和Python中的RK-Shooting框架；三种解在速度和温度剖面上趋势相似，定量比较存在可接受范围内的差异；PINNs可确定物理参数和Lie控制参数的收敛范围；Lie参数可调控温度剖面，重新定义物理参数求解范围，并通过缩放非稳态影响产生热源/汇。该研究意义在于给出含Lie参数的新相似变换、将PINNs应用于该流动、构建降阶建模与神经网络优化比较框架，并验证RK-Shooting解。

三、主要关键技术方法

主要关键技术方法包括：利用Lie对称性（Lie symmetries）构造平移和缩放对称性生成元的线性组合，推导含Lie参数的相似变换并进行双重约化，将三维不可压缩导电流体流动与传热PDE化为非线性ODE；对约化系统采用RK-Shooting法，在MAPLE和Python中实施，将边值问题转初值问题并用Newton法迭代未知初始条件；同时采用物理信息神经网络（PINNs）在Python/TensorFlow中，以自动微分构造残差与边界损失，用Adam优化器最小化均方误差（mean squared error, MSE）；研究未涉及样本队列来源。

四、研究结果

磁参数 M 的影响：通过三种求解方法得到的速度与温度剖面表明，当M在0.2至1.6增加时，磁场强度增大，洛伦兹力增强并产生流动阻力，一次速度 f^′(η)降低；但二次/h速度 h(η)和温度 θ(η)升高。三种解显示相似影响。

Hall电流参数 m 的影响：通过速度和温度剖面发现，m在0.2至1.6增加时，有效电导率削弱磁场对f^′(η)和h(η)的作用，使两个速度均升高；温度随m增加而降低，符合流体运动主导热输运的预期。

Prandtl数 Pr 的影响：由于Pr仅出现在能量方程中，对速度无影响。通过温度剖面得到，Pr在0.7至10增加时，动量扩散相对热扩散占主导，热边界层变薄，温度降低，热量更局限于壁面附近。

非稳态参数 S 的影响：通过温度剖面得到，S在0.5至2.5范围内增加时，能量方程中相关项在给定Lie参数下呈负系数并形成热汇，使热边界层变薄、流体温度降低。

Lie参数 ?₁ 的影响：通过温度剖面发现，?₁在0.1至1增加时，在?₁与?₂均为正的条件下，?₁增加、?₂减小会产生热汇，加速热流体离开壁面并降低热边界层厚度。

Lie参数 ?₂ 的影响：通过温度剖面发现，?₂在0.5至10变化时，其与?₁共同影响热能分布，并呈现类似热汇与热边界层减薄的结论。

Lie参数 λ₁ 的影响：通过温度剖面发现，λ₁在0.5至2.5变化时，所选择的λ参数比值保持为正且随非稳态参数减小，导致热增强，温度剖面增加。

Lie参数 λ₄ 的影响：通过温度剖面发现，λ₄在0.5至2.5变化时，所选择的λ参数构成正且增加的比值，温度剖面呈现与λ₁情形相反的趋势。

Lie参数 λ₅ 的影响：通过温度剖面发现，λ₅在0.1至0.5变化时，λ参数比值保持为正但减小，温度剖面增加。

PINNs与RK-Shooting比较：通过所有速度与温度剖面比较，PINNs在远边界处存在轻微收敛问题，原文指出这可能与网络训练不足有关，可通过增加epochs解决；但2500个epochs的平均成本高于RK-Shooting在Python和MAPLE中的成本。RK-Shooting精度与PINNs相当，因此进一步改进PINNs并无必要且可能增加计算时间并高估近似。定量分析表明RK-Shooting优于PINNs。所得相似变换及约化模型不同于文献，因此结果不可直接比较；通过PINNs与RK-Shooting两种程序验证，二者存在良好一致性。

五、讨论与结论翻译

讨论部分总结：物理参数和Lie参数对速度与温度的影响符合文献预期。Lie参数不描述新物理机制，而是通过缩放非稳态影响改变既有机制强度；λ参数比值正时非稳态项产生热汇，否则产生热源。PINNs可确定物理参数和Lie参数的收敛范围，并验证RK-Shooting解。软件比较显示，对于该约化模型，MAPLE优于Python；RK-Shooting在MAPLE中总时间约为140≤t(seconds)≤160，内存约为110≤MBs≤130；PINNs消耗约150≤t(seconds)≤160，内存约55≤MBs≤65。二者计算时间和内存基于解精度可比，但远边界数值结果比较突出RK-Shooting优势。研究无实验/实践内容，范围限于降阶建模、神经网络优化程序实施及求解方法比较。未来可通过图神经网络将结果与实验数据对齐，并通过优化epochs、精度和collocation points改进PINNs远边界小分歧。Lie对称性局限包括：流动模型不存在平移和缩放对称性时无法约化；存在足够Lie对称性但边界条件不相容时受限；所提降阶建模适用于需双重约化的瞬态流动问题，且模型及首次约化形式应允许足够平移和缩放对称性；该方法可扩展至三维流动，通过适当组合Lie对称性约化连续性方程，再导出新变量将PDE降为ODE。

研究结论部分翻译如下：研究人员将Lie对称性方法应用于带Hall效应的流动与传热问题，构造了一组新的相似变换。这些变换由底层Lie对称性给出，并对应流动模型的不变量。推导得到的可逆相似映射通过从流动定义Navier–Stokes方程中消除一个因变量和两个自变量，导出了一类非线性ODE。这带来显著优势，因为求解约化方程计算成本更低，且解比直接对非线性PDE进行近似更准确。Lie参数出现在相似变换及相应约化微分方程系统中；据作者所知，该含Lie参数且变量数减少的系统尚未通过Lie方法在文献中报道。研究人员采用RK-Shooting和PINNs比较精度与计算成本，并验证所得流体动力学，同时比较MAPLE和Python。结论是：RK-Shooting使用MAPLE能以可行计算成本提供更准确的近似数值解以绘制速度与温度剖面；PINNs可确定物理参数和Lie控制参数的收敛范围。因此，将二者结合可成为获得流体动力学的有力工具。本工作中的Lie参数可操纵温度剖面，重新定义物理参数求解范围和可获得收敛解的流动模型数量；由于Lie参数，非稳态缩放影响热剖面并产生热源/汇，直接影响温度变化与控制。所有物理参数和数，包括磁场、Hall电流、非稳态参数和Prandtl数，均以符合文献预期的方式调节速度和温度。该工作涵盖新相似变换推导、约化方程中Lie控制参数引入、RK-Shooting与PINNs比较以及MAPLE与Python比较。