分层Fourier神经算子（HFNO）：面向湍流流动的可解释数据驱动尺度分解策略

《Data-Centric Engineering》：Hierarchical Fourier Neural Operator (HFNO): an interpretable data-driven decomposition strategy for turbulent flows

　　

Fourier神经算子（Fourier Neural Operators, FNOs）通过利用Fourier变换建立与潜在物理原理的联系，在映射函数空间方面已展现出卓越精度。然而，其不透明的内部工作机制常构成物理可解释性的障碍。本工作引入分层Fourier神经算子（Hierarchical Fourier Neural Operators, HFNOs），一种面向湍流流体降阶建模的新型基于FNO的架构，旨在通过显式分离跨尺度流体行为来增强可解释性。所提架构并行处理波数区间（wavenumber bins），从而能够近似色散关系（dispersion relations）与非线性相互作用。输入被提升至高维空间，经Fourier变换，并划分为波数区间。每个区间由全连接神经网络（Fully Connected Neural Network, FCNN）处理，输出随后经填充、求和，并逆变换回物理空间。最终变换在物理空间中精炼输出作为修正模型，采用以下架构之一：卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）或回声状态网络（Echo State Network, ESN）。研究人员在一系列逐渐复杂的动力系统上评估所提模型：首先是一维Kuramoto–Sivashinsky方程，然后是二维Kolmogorov流，最后是在给定近壁速度场情况下预测湍流槽道流中的壁面剪切应力。在所有测试案例中，该模型展示了跨尺度分解湍流的能力，为增强此类流动的可解释性与多尺度建模开辟了可能性。

论文解读：

偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）控制的高维动力系统，如不可压缩流体流动或反应输运现象，是科学计算中的核心挑战。此类系统具有复杂非线性动力学，并跨越广泛的空间与时间尺度。准确解析所有相关尺度需要极高空间与时间分辨率，导致数值模型常涉及数十亿自由度。因此，高保真模拟如直接数值模拟（Direct Numerical Simulation, DNS）和大涡模拟（Large Eddy Simulation, LES）成本极高，尤其在高雷诺数下；即使在现代高性能计算基础设施上，也常需大规模并行化，并多局限于有限时间范围或简化几何。近年来，神经算子学习为PDE数据驱动代理建模提供新途径。物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Networks, PINNs）以空间和时间坐标为输入并通过损失函数施加控制方程，但需针对新几何或离散化重新训练，限制可扩展性。DeepONet等神经算子框架学习无限维函数空间之间的映射，但精度可对传感器点选择、数量及训练函数采样敏感。Fourier神经算子（Fourier Neural Operator, FNO）通过在Fourier域参数化积分核实现网格和分辨率不变性，因而适用于可扩展、分辨率无关的复杂动力系统代理建模。然而，FNO仍是深度架构，可解释性有限；虽通过Fourier变换嵌入物理知识，但训练后学习参数仍难以赋予清晰物理意义。湍流本质上是多尺度现象，传统RANS和LES明确利用尺度分离设计模型策略。受此启发，该工作提出分层Fourier神经算子（Hierarchical Fourier Neural Operator, HFNO），旨在自动识别并分别建模不同尺度，在输入和输出层面强制清晰的尺度分离，以显式重建各尺度贡献，并在构建降阶表示时选择性移除特定波数。

研究人员提出HFNO，一种受FNO启发的新型深度学习架构，既学习无限维函数空间之间的映射，又将预测分解到不同尺度。该模型将Fourier域划分为不相交波数区间，每个区间由专用FCNN处理，从而学习尺度特定的非线性变换，改善泛化与物理可解释性。最终修正模型可由CNN或ESN实现，通过残差建模进一步精炼输出。总体结论是：HFNO能够分解湍流跨尺度行为，增强可解释性和多尺度建模可能性；与标准FNO相比，HFNO以五倍更少参数实现可比统计性能。其意义在于将湍流理论中的尺度分离思想与现代算子学习结合，提供无网格、物理信息且更紧凑的湍流建模框架。

关键技术方法概括（不超过250字）：研究人员构建HFNO：输入先经提升层映射到高维，Fast Fourier Transform（FFT）后按阈值将Fourier模态划分为波数区间；每个区间展平后由独立FCNN变换；输出填充、求和并逆Fourier变换回物理空间。残差块处理剩余高频模态：可在物理空间用线性映射或CNN修正，也可在波数空间用ESN预测残差。训练上，非ESN情形端到端优化；ESN情形先训练谱分箱部分，再以后验方式训练ESN预测残差。数据来源包括：一维Kuramoto–Sivashinsky方程数值模拟，10条轨迹中8条训练、2条测试；二维Kolmogorov流由基于Fourier–Galerkin的伪谱求解器生成，Re=90，7个模拟训练、1个评估；湍流槽道流Re_τ=180的DNS快照由SIMSON伪谱求解器生成，网格为193×65×193，输入取离壁Δy⁺∈[25,50]的速度场。

研究结果：

4.1 Kuramoto–Sivashinsky equation：该部分用一维Kuramoto–Sivashinsky（KS）方程评估模型，目标是学习映射u→?Δu?νΔ²u。研究人员进行10次数值模拟，前8条轨迹训练，后2条测试；域长L=22，ν=0.7，每轨迹2000个时间快照，空间网格n_x=1024，系统时空混沌，Lyapunov指数λ≈0.08，Lyapunov时间t_l≈12.5。HFNO采用两个并行Fourier层和线性残差预测器；前16个Fourier模态中，第一层处理最低6个模态，第二层处理其余10个。每个Fourier层由两层、64神经元的MLP和GeLU激活参数化，提升维度为64。与FNO基线相比，HFNO相对RMSE为3.70%，相对MAE为3.61%，参数约36k；FNO相对RMSE为1.54%，相对MAE为1.20%，参数约850k。HFNO误差略高，但参数大幅减少，并可解释尺度贡献。时空预测显示，第一Fourier层主要捕捉大尺度结构，第二层解析较小尺度特征，残差预测器处理剩余差异；相空间密度随层数增加逐步接近真值；能量谱表明各Fourier层主要重建其目标谱段，残差预测器恢复高波数部分。

4.2 Kolmogorov flow：该部分在二维周期域Kolmogorov流上评估，控制方程为不可压缩Navier–Stokes方程，Re=90，L=2π，采用正弦强迫。模型目标是给定t时刻构型预测t+1时刻速度场，不以自回归方式使用。研究人员用基于Fourier–Galerkin的伪谱求解器生成数据，随机初始化，瞬态180时间单位后记录120时间单位，时间步Δt=0.001，网格128×128，保留32个Fourier模态；随后物理空间两方向下采样2倍、时间下采样60倍，有效Δt=0.06。7个模拟训练、1个评估。HFNO均采用两个并行谱层，阈值依据能量谱：第一层覆盖约95%总能量，第二层扩展至99%；具体将‖k‖∈[0,3]分配给第一层，‖k‖∈(4,5]分配给第二层。比较不同波数范数分区：FNO相对RMSE为2.35%、MAE为2.05%，点误差最低；HFNO中L_∞范数相对RMSE为9.15%、MAE为8.36%，方向性半范数保留模态更多但高波数偏差大而被弃用。残差预测器比较显示，ESN残差点误差略优，相对RMSE为6.52%、MAE为5.44%，参数约203k；线性残差相对RMSE为6.75%、MAE为5.74%，参数约203k；CNN残差相对RMSE为6.83%、MAE为5.74%，参数约245k；FNO相对RMSE为2.10%、MAE为1.72%，参数约3.2M。HFNO变体参数比FNO少一个数量级以上，ESN后验训练计算高效。涡量场显示各组件有效分离并重建流场空间尺度。

4.3 Turbulent channel flow at Re_τ=180：该部分面向湍流槽道流壁面建模，目标是从离壁过滤数据推断准确壁面剪切应力，用作壁面边界条件，以降低近壁分辨率需求。DNS在高雷诺数下不可行，LES近壁区仍过于苛刻；壁模型通过闭合替换无滑移条件。研究人员复现Dupuy et al.的实验设置与结果，并采用多层感知机（Multilayer Perceptron, MLP）作为局部预测τ的基线。数据为Re_τ=180槽道流DNS快照，由SIMSON伪谱求解器计算，域尺寸8πh×2h×4πh，流向和展向周期，网格193×65×193。研究人员计算壁面剪切应力张量并预测其范数τ，输入为离壁任意距离Δy处的速度场，但限制Δy⁺∈[25,50]，并对(u(Δy),τ)按Δy归一化。HFNO使用两个并行Fourier层：第一层保留前8个模态，第二层保留随后6个模态，CNN残差预测器处理剩余尺度；沿z轴进行方向性Fourier模态分区，因为条带主要沿x轴取向，其特征变化主要发生在展向z方向。另训练三层FNO比较。结果显示，各层捕捉对应尺度；u⁺(Δy⁺)分布中，模型均值曲线大体遵循Reichardt律，FNO和HFNO方差比局部MLP更宽。奇偶图表明FNO点预测最准，完整HFNO接近；仅第一层HFNO可与MLP基线竞争。定量指标中，FNO的RMSE为5.48%、相关系数r为0.98、平均误差1.205%、能量距离0.009、Wasserstein距离0.775±0.161；MLP基线RMSE为25.44%、r为0.56、平均误差0.947%、能量距离0.129、Wasserstein距离2.262±0.117；HFNO(1) RMSE为24.39%、r为0.58、平均误差1.993%、能量距离0.099、Wasserstein距离1.925±0.103；HFNO(1+2) RMSE为16.71%、r为0.83、平均误差0.947%、能量距离0.024、Wasserstein距离1.086±0.149；完整HFNO RMSE为15.10%、r为0.86、平均误差0.536%、能量距离0.010、Wasserstein距离0.931±0.112。FNO点预测最准确，HFNO统计性能可比，平均误差最低，分布指标相近；FNO约5百万参数，HFNO约1百万参数，截断HFNO可进一步减少参数。

讨论与结论翻译：在本工作中，研究人员提出了面向具有多尺度空间结构的动力系统的分层Fourier神经算子（HFNO）架构。通过将Fourier模态分解为对应物理意义范围——含能尺度、惯性尺度和耗散尺度——的独立层，该模型能够捕捉各尺度上的主导动力学。每个Fourier层使用MLP，并辅以可采取不同形式的残差预测器，使网络能够忠实重构大尺度相干结构和小尺度脉动。应用于Kuramoto–Sivashinsky方程、Kolmogorov流以及湍流槽道流中的壁面建模，证明了所提方法的有效性：每个Fourier层主要对其分配的波数范围作出贡献，从而获得准确预测和令人满意的泛化能力。分层设计不仅通过将模型组件与物理尺度关联而提高可解释性，还通过降低每个子任务的复杂度提高效率。总体而言，这些结果凸显了HFNO以无网格和物理信息方式建模复杂湍流的潜力。未来工作将聚焦于将该框架扩展到更高雷诺数和更现实的三维流动，并探索模式分离的自适应策略，以在更广泛动力区域中进一步优化性能。