物理验证的算子学习辅助路径相关塑性反演参数识别

《INTERNATIONAL JOURNAL OF PLASTICITY》：Physics-verified operator-learning-assisted inverse parameter identification of path-dependent plasticity

　　

本文提出了一种面向路径依赖本构响应的神经算子方法。该方法面向模型类内部的可复用识别目标。神经筛选减少了代价高昂的反复本构评估。经验证的近似最优候选解提供了稳定的参数估计。该研究阐明了精度、稳定性与运行时间之间的权衡关系。

引言

为了更准确地描述复杂材料的力学行为，现代本构模型日益纳入更广泛的物理机制，包括非线性硬化、耦合应变率-温度效应、内变量演化、各向异性以及渐进损伤（Wang et al., 2026; Yang et al., 2025; Borodin et al., 2024; Dayani et al., 2025）。尽管这些进展显著提升了模型的预测能力，但也扩大了参数空间并增加了变量间的耦合程度。在材料点层面，正向本构问题可抽象表示为 ?:(??, ?(??))???(??)，其中 ?? 表示材料参数向量，?(??) 表示给定的应变、应变率、温度或其他相关载荷路径，??(??) 为对应的应力或状态轨迹。对于金属材料，通常期望一组标定后的参数能够在多种应变率和温度条件下保持有效（Khan et al., 2004; Nemat-Nasser and Guo, 2005; Ku et al., 2020; Song et al., 2021; Zhao et al., 2024）。为确保标定模型在广泛的加载条件下保持鲁棒性，参数识别越来越多地依赖于从各种加载场景（如不同的加载路径、应变率和温度场）中采集的数据集（Cadoni et al., 2026; He et al., 2025; C. Zhang et al., 2026）。对于路径依赖塑性，实测响应不仅取决于瞬时应变，还取决于完整的加载路径和内变量的累积演化。因此，不同的参数组合在现有试验条件下可能产生几乎无法区分的响应，使得参数识别的实际唯一性和稳定性难以评估（Martins et al., 2018; Jafari et al., 2025; Ricciardi et al., 2024）。稳健的识别方法因此必须探索相互竞争的近似最优区域，同时评估物理拟合优度和参数稳定性。

在传统的标定工作流中，本构参数识别通常被建模为数值优化问题，即最小化实验观测值与模型预测值之间的偏差（Mahnken and Stein, 1996; Al Hassanieh et al., 2025; Kumar et al., 2025; Ricciardi et al., 2024）。梯度法、信赖域反射算法、进化策略和贝叶斯方法均已被应用于此类问题（Chen et al., 2025; Honório et al., 2024）。这些方法的核心优势在于每个目标函数值均由物理模型控制计算，因此最终决策始终基于待标定的本构方程。一旦获得合理的优化盆地，局部优化器便可执行高精度精化，而模型特定的参数化使得形式紧凑的本构模型在计算上变得可行（Cao et al., 2020; Gavrus et al., 1996; Sedighi et al., 2010; Anton et al., 2025）。实验设计和异构测量数据也能增强逆问题对欠定参数的敏感性（Conde et al., 2023; Zhou et al., 2022）。然而，该问题强烈的非线性和多模态特性通常使收敛结果对初始值、参数化方案和正则化高度敏感，陷入局部极小值仍然是常见问题（Faílde et al., 2023; Wu et al., 2023）。获取足够精确的初始估计也依赖于具体模型。Johnson–Cook模型即为典型例证：该模型将不同物理效应分解为乘积项，可先通过一系列回归子问题依次拟合，再针对所有加载条件进行后续优化（Kumar Reddy Sirigiri et al., 2022）。这些方法在利用原始本构模型对候选参数进行精化和验证方面仍然有效。然而，当每一组试验参数都必须在多种加载历史下计算或通过非线性有限元模拟进行评估时，这些方法难以高效地识别大量有前景的候选解。这促使人们采用数据驱动代理模型进行候选筛选，同时将原始本构模型作为最终参数决策的基础。

机器学习辅助的参数识别大致可分为两种范式。直接逆映射方法将实测响应或响应特征映射到参数向量 ??。早期的代表性工作包括 Huber 和 Tsakmakis 的研究，他们使用神经网络基于球形压痕响应识别本构参数；其研究首先考虑纯运动学硬化，随后结合非线性各向同性-运动学硬化规律（Huber and Tsakmakis, 1999a; Huber and Tsakmakis, 1999b）。此后，相关的直接逆映射策略已被应用于各种实验配置和本构模型（John et al., 2024; Mei?ner et al., 2020; Li et al., 2022）。一旦针对固定识别任务完成训练，直接逆映射模型可以通过单次网络评估估计参数，因此通常比基于正向代理的优化过程所需的计算时间显著减少。然而，直接逆映射的主要局限在于所学关系与特定逆问题耦合。常规实现通常以预设的响应表示作为输入，预测一组预定义的材料参数（Mei?ner et al., 2022）。如果实测响应变量、待识别参数或识别目标发生变化，网络输入、输出、条件变量或训练目标可能也需要调整。因此，直接逆映射虽然能为固定任务提供快速预测，但在逆问题重新定义时灵活性较差。直接逆映射在强不适定问题中也可能面临精度困难。当多个参数向量可以产生相似响应时，所学逆映射变为不适定：在这种情况下，确定性回归器必须用单值输出来近似一对多关系，其预测可能因实验噪声、未建模的物理过程或合成训练数据与实测响应之间的分布失配而产生偏差。Morand 和 Helm 在材料参数识别中讨论了该问题，并使用专家混合模型表示非唯一逆解（Morand and Helm, 2019）。概率模型、混合密度网络和可逆网络也已被开发以解决此困难。然而，更广泛的逆设计基准测试表明，随着问题变得更不适定，基于正向模型的优化可能获得更低的重建误差（Ren et al., 2020; Ren et al., 2022）。尽管这些结果并不能直接确立任何一种方法在参数识别中的优越性，但它们表明直接逆映射预测在强不适定问题中的精度可能仍然具有挑战性。

与此相对，正向代理方法近似材料参数到响应的映射，并将训练好的代理嵌入搜索或优化过程中（Wang et al., 2023; Pogorelko et al., 2024; Wang et al., 2021; Dey et al., 2023; Yao et al., 2021）。该过程需要反复进行代理评估，因此通常比单次直接逆映射预测耗费更多计算时间。然而，只要正向物理关系及其验证域保持不变，训练好的代理即可保留，而参数范围、优化目标、响应权重和约束条件可在搜索阶段进行修改。同一正向代理还可以根据所需拟合精度与参数识别稳定性的平衡需求，与梯度方法、进化算法或采样策略相结合。正向代理与逆搜索之间的这种分离提供了更大的任务灵活性，并使识别过程更加可靠和可扩展。神经网络、高斯过程模拟器和降阶模型均已被用于此类任务以加速材料点和有限元逆问题的求解（Jin et al., 2023; Larion et al., 2022; Kassab et al., 2025; Li et al., 2024）。近年来，神经代理模型还受益于领域知识引导的特征表示和机制感知架构（P. Zhang et al., 2026; Gao et al., 2025; Yan et al., 2023; Osa-uwagboe et al., 2024）。例如，先前的研究（Wang et al., 2023）将正向神经模型与降维方法结合，用于识别时间依赖软材料模型中的参数（Venkata et al., 2021; Duan et al., 2026; Guo et al., 2018）。该范式保留了显式的失配函数，并允许多个候选解的检验。然而，在这种情况下，逆决策基于代理模型诱导的候选参数排序，而真正关注的量仍然是由原始物理模型计算的失配量。对于路径依赖塑性，该问题因不仅需要表征响应幅值，还需要表征对完整加载历史的依赖而变得更为复杂。

加载历史的表征始终是神经本构代理模型发展的核心驱动力。前馈人工神经网络（ANNs）已被用于本构更新、硬化行为表征、微观结构-响应映射以及应力预测（Ibragimova et al., 2021; Ibragimova et al., 2022; Heidenreich et al., 2023; Ebrahim et al., 2024; Wang et al., 2024）。尽管此类网络可以接收选定的历史变量或有限窗口的先前输入，但标准前馈架构不包含内在的演化状态，因此其精度在卸载、反向或非比例加载条件下可能下降，在这些情况下相同的瞬时应变状态可能对应不同的内部历史。循环神经网络（RNNs）、门控循环单元（GRUs）和长短期记忆（LSTM）网络提供了一种更自然的方式来表征加载历史，通过沿加载序列传播隐藏状态实现。它们已被用于模拟路径依赖塑性以及加速随机和循环历史下的多尺度非弹性计算（Mozaffar et al., 2019; Gorji et al., 2020; Wu et al., 2020; Jordan and Mohr, 2025; Li et al., 2025）。在许多模型中，网络接收当前应变增量和先前状态，然后预测下一步的应力、应力增量或内变量更新；因此，该模型本质上充当数据驱动的增量本构积分器。自洽约束和迁移学习可以在特定应用中提升鲁棒性（Bonatti and Mohr, 2022; Ghane et al., 2024）。然而，这种顺序结构仍然与时间步长紧密耦合：长程效应可能导致误差累积，跨长序列训练计算开销大，且时间分辨率的变化可能改变所学更新规律。神经算子通过学习输入函数与输出函数之间的映射提供了一种补充方法。深度算子网络（DeepONet）和傅里叶神经算子（FNO）是代表性示例（Lu et al., 2021; Li et al., 2021），而更一般的算子学习框架可以在不同离散化之间共享参数（Kovachki et al., 2023）。近年来，面向路径依赖力学的算子架构可以降低对固定时间网格的敏感性并改善时间分辨率泛化能力（Hollenweger et al., 2026），尽管不应将其解释为消除了所有离散化效应。在逆识别方面，仍存在一个局限性：许多面向路径依赖本构行为的材料点代理模型在材料参数保持不变的情况下改变载荷、温度或应变率。然而，参数识别需要对大量候选参数向量在多个完整加载场景下进行迭代计算。因此，所需的神经代理必须学习 ????:(??, ?(??))???(??)，其中 ?? 和加载函数均作为输入。上述参数-路径联合表述正是算子辅助本构逆问题所需的正向表示。因此，一个关键的建模挑战是如何在算子框架内整合材料参数信息与加载路径信息。

由于神经代理以材料参数和加载历史作为输入，有必要明确在什么条件下训练好的代理可以被复用而无需完全重建。这种可复用性受限于用于生成训练数据的本构定律。训练好的代理绑定于特定的本构模型族，因为参数含义、内变量、容许条件和数值积分规则均依赖于所选定律。因此，针对特定本构模型族训练的代理不应被视为适用于其他本构模型族的通用神经代理。当本构定律改变时，通常需要重新生成训练数据并构建模型特定的算子代理。可以跨不同本构模型族复用的是参数识别工作流本身。

这一区分也表明，仅改进代理模型本身不足以实现可靠的参数识别；还需要相应的逆识别流程，以明确代理模型在候选搜索、筛选和最终参数决策中所扮演的角色。在固定的本构族内，情况则有所不同。不同材料对应参数向量 θ 的不同取值，而控制方程和参数含义保持不变。因此，只要查询的参数向量和加载历史均落在训练域内，参数条件化的算子代理模型即可应用于同一本构族内的不同材料，而无需针对特定材料重新训练。关于共享表征、迁移学习和多保真度学习的研究已表明，在相关材料和加载历史之间复用信息具有显著价值（Bonatti and Mohr, 2021, Qu et al., 2023, Nan et al., 2024, C. Xu et al., 2023, Ghane et al., 2025）。力学引导的特征化方法也可能减少学习满足物理允许条件的本构响应所需的数据量（Wang et al., 2025, Mirkhalaf and Rocha, 2024）。因此，尽管该方法存在局限性，但仍具有实用价值。它支持在明确的参数-路径域内进行插值，但不支持外推至未见过的材料物理机制或不相关的本构定律。由此产生的后续问题是，此类近似正向算子代理模型应如何用于逆识别中。具体而言，代理模型应加速有前景的候选解的搜索，但不能替代原始本构模型用于最终参数决策。精确的代理响应预测并不一定保证可靠的参数识别。标准的代理验证通常报告应力误差、相对轨迹误差或其他响应空间度量，而参数识别则依赖于候选参数在物理失配函数下的排序。在最优解附近，多个候选解的物理失配值可能非常接近；即使预测的应力历史仍然准确，微小的代理偏差也可能改变这些候选解的排序。因此，代理最小化候选解可能与物理最小化解不同。因此，应将对前向响应的准确性与对逆决策的实用性区分开来。本研究中将算子代理模型用于候选扩充而非最终参数选择：首先对大量参数集进行筛选，然后将一组紧凑的有前景候选解传递给原始本构模型进行评估，从而在保持基于物理的最终验证的同时减少物理模型的计算次数。

本工作的创新之处如下。首先，针对逆参数识别提出了一种新颖的参数-路径条件化本构算子代理模型。循环本构代理模型通常沿预定序列逐步传播隐状态，而许多现有的基于算子的本构代理模型在加载历史变化时保持材料参数不变；相比之下，本文提出的算子代理模型同时以材料参数和完整应变路径作为输入。因此，该公式与参数反演问题更为契合，因为在参数反演中需要在相同的实验加载场景下评估大量候选参数向量。它还使训练好的算子具备有限但实用的通用性：在同一本构族和给定训练域内，该算子可应用于不同材料和不同加载场景而无需针对材料进行重新训练。其次，本文开发了适配此类参数化正向代理模型的逆识别框架。该框架既不同于直接映射测量响应到参数的直接逆神经模型，也不同于纯粹基于代理排序选择最终参数的纯代理前向搜索策略。在此框架中，代理模型用于候选扩充，而原始本构模型负责基于物理的验证，最终选择基于最小失配进行。随后，在同一框架内，比较了不同搜索策略在拟合精度、计算效率和参数识别稳定性方面的表现，以确定最适合本文工作流的搜索方法。通过分析代理模型在应力响应、应力雅可比矩阵和目标函数梯度上的误差，解释了基于梯度和无梯度策略之间的差异。总体而言，本文的创新之处在于将可复用的新颖参数-路径条件化本构算子代理模型与合适的物理验证逆识别流程相结合，而非单独涉及代理模型或代理辅助优化。

本文结构如下。第2节介绍了参数-路径条件化算子代理模型。第3节定义了训练域和循环应变路径生成程序。第4节描述了参数识别流程，包括基于代理模型的候选扩充、基于物理的验证和重复运行统计。第5节报告了Chaboche模型、Johnson-Cook模型和Taylor冲击算例的识别结果与讨论。第6节总结结论。附录提供了本构模型、代理搜索策略、训练诊断、分辨率依赖性和导数精度的补充细节。为便于清晰理解，表1总结了全文中使用的主要数学符号。

参数-路径条件化算子代理模型

本节描述了用于近似本构模型全路径响应的算子代理模型。该模型将本构参数向量和施加的应变路径映射为对应的应力路径。对于一般样本，输入由本构参数向量 θ=(θ?, θ?, …, θ_dθ)∈?^dθ 和应变路径组成。在进入可训练核心之前，该输入以分块方式转换为固定的规范表示 {?c?}????。相应的应变增量定义为...

训练域与循环应变路径生成

训练域结合了材料参数变化与四类循环加载路径。每个样本由本构参数向量 θ、完整应变路径 {??}???? 以及对应的本构评估历史定义。因此，该数据集表示参数化前向映射 ?:(θ, {??}????)?({σ_F?}????, {?_p?}????)。加载空间包含三组应变控制覆盖路径组和一组参数条件化的应力控制棘轮路径组。各组的...

参数识别流程

基于代理辅助的识别方法将可接受参数域的高效探索与基于物理的验证相结合。NO代理模型通过在预测失配较低的参数向量上扩充候选集，而保留的候选解则使用原始本构模型重新评估。因此，代理模型引导搜索过程，而物理本构模型决定报告的参数向量及其失配值。逆问题是确定...

结果与讨论

本节在两类本构模型和三种逆响应场景下评估了所提出的基于代理辅助的识别框架。这些算例考察了训练好的代理模型是否在基于物理验证之前以低失配参数向量扩充了候选集。随后，对验证后的解在精确物理失配、参数识别稳定性和平均识别运行时间方面进行了评估，特别关注如何...

结论

本研究开发了一种物理验证的算子学习辅助框架，用于在不同加载场景下逆识别本构参数，特别关注加载路径的变化。在固定本构族和声明的参数-路径域内，一个训练好的算子代理模型可评估不同材料和加载历史而无需针对每种情况重新训练。所提出的参数-路径条件化本构算子代理模型结合了...

CRediT作者贡献声明

Yuyi Zhang：撰写——初稿、验证、软件、方法论、调查研究、形式化分析、数据整理。Chi Zhao：验证、方法论、调查研究、形式化分析。Shixiang Zhao：撰写——初稿、验证、方法论、调查研究、形式化分析、数据整理、概念化。Zejian Xu：撰写——审稿与编辑、调查研究。Fenglei Huang：撰写——审稿与编辑、调查研究。Yu. V. Petrov：监督、方法论、调查研究。

利益冲突声明

作者声明，他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述工作的报告。

致谢

本研究得到了北京理工大学爆炸科学与技术国家重点实验室开放项目（KFJJ25-19M）、俄罗斯科学基金会（RSF 22-11-00091）和圣彼得堡国立大学（116636233）的资助。第2至5节的部分研究工作由Shixiang Zhao在俄罗斯科学基金会（RSF 22-11-00091）的资助下完成。

Yuyi Zhang|Chi Zhao|Shixiang Zhao|Zejian Xu|Fenglei Huang|Yu. V. Petrov