统一摩尔 - 彭罗斯条件：一种具有中性自适应积分的非奇异归零神经网络

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Unifying the Moore-Penrose Conditions: A Non-Singular Zeroing Neural Network with Neutrosophic Self-Adaptive Integration

　　

**摘要**

时变矩阵（TVM）的伪逆（或Moore-Penrose逆）的高效计算是众多科学与工程计算领域的基本需求。传统零度神经网络（ZNN）模型在TVM伪逆求取时通常基于无噪声假设，或依赖独立的预滤波阶段，从而引入关键的计算延迟。此外，现有框架很少能在统一动态系统中同时满足全部四个Moore-Penrose结构条件。为克服上述局限，本文提出了一种称为"四条件零度神经网络"（ZMP4）的新型框架。ZMP4模型将四个Moore-Penrose方程的信息融合在紧凑的连续时间误差表示中，并通过一次性初始化显式选择Moore-Penrose零误差分支。为确保对易变且非平稳外部噪声的鲁棒性，本文将一种数学集成的"中性子积分增强控制器"（NIZNN）整合到网络中。通过将系统不确定性映射到真实性、伪性和不确定性的隶属函数上，中性子框架能够实时自适应调节网络的内部动力学。在常秩假设和一次性Moore-Penrose初始化的条件下，精确的零化动力学选择并跟踪Moore-Penrose零误差分支，同时四个原始Penrose残差被独立监测以验证同时合规性。计算复杂度被证明在实时应用的优化边界内。数值仿真以及在基于到达角（AoA）跟踪的移动物体定位中的实际应用程序表明，所提出的模型显著优于所考虑的ZNN变体，并为实时计算数学和智能神经控制建立了一种鲁棒的范式。

**引言**

时变矩阵（TVM）的伪逆（或Moore-Penrose逆）是处理众多先进科技领域中动态线性方程的关键数学工具。其在控制系统[1]、机器人学[2]、最小二乘法[3]和量子计算[4]等领域具有不可或缺的实用价值。其在实际工程任务中的作用也得到了进一步体现，包括移动机器人导航[5]、运动学冗余机械臂控制[6]、[7]、混沌系统同步[8]、MIMO系统跟踪[9]、图像恢复[10]和安全通信协议[11]。尽管研究人员此前使用传统迭代技术来求解TVM伪逆[12]，但此类方法大多局限于实数或时不变问题。因此，这些传统方法缺乏处理真正的实时（连续时间）动态挑战所需的计算效率。

神经网络技术，特别是梯度神经网络（GNN）和零度神经网络（ZNN），已被创建以满足对连续时间解决方案的需求。然而，在处理广义逆问题时，解的动态特性使得传统GNN难以收敛到零误差。近期的进展使GNN能够以有限时间保证收敛来处理TVM任务[13]、[14]。然而，ZNN尤其以其实时TVM逆运算中并行处理数据的能力而著称[15]。

值得注意的是，ZNN方法最初在[16]中开发，专门用于促进实时TVM逆运算。自其诞生以来，ZNN框架因其求解Moore-Penrose逆的精通能力而获得了广泛认可[17]、[18]。此外，其应用已扩展至解决各种复杂计算挑战，包括广义逆[19]、[20]、优化问题[21]、非线性方程组[22]、[23]和线性矩阵方程[24]。

ZNN模型通过定义误差矩阵方程（EME），E(t)，并采用以下框架来构建：

$\dot{E}(t) = -\lambda \mathcal{F}(E(t))$

其中 $\mathcal{F}(\cdot)$ 是逐元素的奇激活函数（AF），(.) 表示时间导数，$\lambda \in \mathbb{R}^+$ 控制收敛速率[25]。虽然传统的ZMP模型[26]代表了该任务的标准ZNN基准，但它通常依赖于简化后的方程组，无法显式保证全部四个Moore-Penrose结构条件。此局限性使网络在复杂构型空间中容易受到外来局部极小值的影响。为克服这一问题，本文提出了一种新型替代模型，称为"四条件零度神经网络"（ZMP4），它在紧凑的连续时间误差表示中融合了完整的Penrose方程组信息。

为处理对精度产生显著影响[27]的非平稳外部噪声，ZNN模型通常被整合到积分增强ZNN（IZNN）框架中：

$\dot{E}(t) = -\lambda E(t) - \xi \int_{0}^{t} E(\tau) d\tau + Q(t)$

其中 $\lambda, \xi \in \mathbb{R}^+$ 控制收敛速率，Q(t) 表示适当维度的矩阵形式噪声。由此得出ZMP-I和ZMP4-I模型。

然而，当前神经计算框架中的一个重大开放挑战是：标准激活函数或部分自适应模糊激活函数（FAF）[28] 基于固定且启发式确定的参数（例如 α, β, γ, δ, p, q）。这种刚性参数化无法有效缓解易变且高度非平稳的环境噪声。虽然模糊集理论[29]提供了一定的自适应能力，但传统模糊控制器难以客观量化实时误差范数 $\|E(t)\|_F$ 是确实偏高还是受到噪声污染。这是因为它们严格在二元真/假谱上运行。这一根本局限性阻碍了在不确定动态系统中实现最优增益调节。

为弥合这一差距，本文利用中性子逻辑[30]、[31]、[32]提出了"中性子逻辑/模糊自适应IZNN"（NIZNN）框架。与标准模糊系统不同，中性子逻辑显式捕获并处理环境不确定性——将系统不确定性映射到独立的真实性、伪性和不确定性隶属函数上。通过将抗噪的IZNN架构与自定义设计的中性子逻辑控制器（NLC）相结合，我们推导出自适应的ZMP-NI和ZMP4-NI模型。据我们所知，这是首次尝试运用中性子逻辑来动态调节抗噪RNN的内部增益参数。这样，它在先进智能控制与连续时间矩阵计算之间架起了桥梁。

以下是本文主要发现的列表：

- 引入ZMP4模型作为传统ZMP的高精度替代方案。
- 首次将ZMP和ZMP4集成到IZNN设计中，得出ZMP-I和ZMP4-I模型。
- 开发ZMP-NI和ZMP4-NI模型，利用NLC实现完全自适应且抗噪的收敛。
- 通过理论分析、实验仿真和实际移动物体定位任务进行验证。

本文的组织方式如下：第2节介绍TVM任务；第3节介绍ZMP和ZMP4；第4节详细说明NIZNN设计和NLC；第5节涵盖仿真和定位应用；第6节总结全文。

**第2节 问题定义**

本节为TVM伪逆问题提供正式的数学基础。特别地，它介绍了核心方程以及在研究全文中使用的特定数学符号。

对于任意矩阵 $\Psi \in \mathbb{R}^{m \times n}$，伪逆 $\Psi^\dagger$ 定义为满足四个Penrose条件的唯一矩阵 X：

$\Psi X \Psi = \Psi$

$X \Psi X = X$

$(\Psi X)^T = \Psi X$

$(X \Psi)^T = X \Psi$

其中 $(\cdot)^T$ 表示转置。对于非奇异方阵 Ψ，伪逆 $\Psi^\dagger$ 退化为标准逆 $\Psi^{-1}$。

**假设2.1** 时变的

**通过ZNN框架计算TVM伪逆**

我们将在本节开发一种称为ZMP4的ZNN模型，以处理任意维度TVM的TVM伪逆问题。我们还回顾了[26]中称为ZMP的ZNN模型。

**抗噪中性子逻辑IZNN框架**

我们将介绍一种新的抗噪高性能中性子逻辑/模糊自适应IZNN框架，称为NIZNN，它依赖于IZNN(1.2)与NLC的集成，以进一步提升IZNN的收敛性能。通过这种方式，我们推导出ZMP-NI和ZMP4-NI模型，它们分别基于NIZNN与ZMP和ZMP4模型的组合。

**第5节 实验**

本节展示了所提出框架的数值验证，包括三个不同的仿真示例（SEs）和一个实际的移动物体定位应用。为确保所有测试用例的一致性，主要时变函数的定义为 $\delta(t) = \sin(t)$ 和 $\theta(t) = \cos(t)$。为提高状态依赖矩阵的数值条件，Tikhonov正则化参数在所有仿真示例和移动物体定位任务中均设为 $\beta = 10^{-8}$。

**第6节 结论**

本研究提出了一种新的ZNN架构——ZMP4模型，以及一种高性能抗噪的中性子/模糊自适应IZNN框架——称为NIZNN，以解决外部干扰下TVM伪逆的挑战。通过理论分析，我们验证了该架构在噪声环境下具有高度运行能力。实验结果表明，我们的中性子自适应方法实现了更快的收敛速度和更紧密的跟踪精度。

**未引用的参考文献**

缺失引用 [39]、[40]。

**CRediT作者贡献声明**

Rubayyi T. Alqahtani：可视化、验证、软件、资源、调查研究、资助获取、数据整理、概念化。

Nadiyah Hussain Alharthi：可视化、验证、软件、资源、调查研究、数据整理、概念化。

Theodore E. Simos：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督、软件、资源、项目管理、方法论、调查研究、形式分析、数据整理、概念化。

Spyridon D. Mourtas：

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文所报道的工作。

Rubayyi T. Alqahtani | Nadiyah Hussain Alharthi | Theodore E. Simos | Spyridon D. Mourtas | Vasilios N. Katsikis

数学与统计系，科学学院，伊玛目穆罕默德·本·沙特伊斯兰大学（IMSIU），沙特阿拉伯利雅得