光学结构表面的改进表征（ImC）方法：六自由度配准与表面定义参数协同优化

《Precision Engineering》：Improved characterisation (ImC) of optical structured surfaces

　　

研究人员提出一种用于光学结构表面（optical structured surfaces）参数化表征的新型改进表征（ImC, improved characterisation）方法。表面定义参数（surface-defining parameters）与六自由度（6 DoF, six degrees of freedom）配准一同作为优化变量处理。研究人员利用原子力显微镜（AFM, atomic force microscopy）、干涉测量（interferometry）和仿真在四种表面类型上验证该方法。仿真中确认算法精度在 0.01% 相对误差以内。与传统迭代最近点（ICP, iterative closest point）方法相比，该方法将表征误差从 24% 降低至 <0.03%。

研究背景：表面制造后需通过测量获得表面形貌，并评估其尺寸精度。表面表征可判断制造表面是否满足设计要求，帮助追溯误差来源、误差大小及分布。对光学表面而言，精度要求严格，测量系统通常应具备高于制造过程的精度。测量结果常表示为三维（3D）点云，需与设计点云在同一坐标系中配准后计算偏差。传统配准广泛采用迭代最近点（ICP, iterative closest point）方法，但主要优化六自由度（6 DoF, six degrees of freedom）刚体变换。对于含重复特征的光学结构表面，逐特征表征可能引入偏置和人因误差；谱分析和自相关虽可获得全局信息，却缺乏直观形貌信息。因此，研究人员提出改进表征（ImC, improved characterisation）方法，将六自由度刚体变换与高度、宽度、角度等表面定义参数共同作为优化变量，变换设计表面以最小化与实测表面的偏差，从而同时获得误差图和平均参数偏差。该方法桥接表面配准与表面计量，具有通用性，可应用于可由程序数值生成的结构表面。

关键技术方法：研究人员采用仿真和实验验证。仿真对象为闪耀光栅（blazed grating）；实验样本来源包括商业标准一维正弦表面 Rubert 543，用原子力显微镜（AFM, Bruker Dimension FastScan）测量；二维正弦表面和透镜阵列由精密金刚石车削制造，用相干扫描干涉仪（Zygo Nexview）测量。算法在 MATLAB R2024a Optimisation Toolbox 中实现，使用 fmincon 的 interior-point 算法；目标函数为均方根偏差（RMSD, root mean square deviation），变量包括三个平移 t_x、t_y、t_z，三个旋转 r_x、r_y、r_z，以及 n 个表面定义参数。设计表面由 MATLAB 函数生成，并略大于测量区域以利插值；优化前进行归一化、粗配准和调平，容差设为 1.0×10^?12。

研究结果：
3.1. Simulation – blazed grating：研究人员模拟闪耀光栅，标称参数为 l₁=3 μm、l₂=0.3 μm、h=0.25 μm；实际施加偏差后为 l₁=3.1 μm、l₂=0.2 μm、h=0.24 μm，并施加六自由度变换。ImC 优化结果为 l₁=3.099986 μm、l₂=0.200015 μm、h=0.240006 μm，相对误差约为 ?0.00046%、0.00750%、0.00250%；误差 RMS 为 9.3895×10^?6 μm，相对于高度 0.24 μm 为 0.029%。传统 ICP 的误差 RMS 为 0.0096 μm，最大高度误差 0.03 μm，相对误差 24%。结论是 ImC 精度高，而 ICP 不能补偿表面定义参数偏差。

3.2. Experimental results：研究人员开展三类实验。
3.2.1. Sinusoidal surface – 1D：使用商业标准一维正弦表面 Rubert 543，标称 h=0.12 μm、l=2.50 μm，由 AFM 测量。ImC 优化得到 h=0.104 μm、l=2.535 μm，误差 RMS 为 0.0101 μm；ICP 的 RMS 为 0.0121 μm。高度相对误差为 ?13.333%，主要归因于制造误差。结论是 ImC 可给出平均参数并优于仅六自由度配准。
3.2.2. Sinusoidal surface – 2D：二维正弦表面由精密金刚石车削制造，标称 h_x=2.5 μm、h_y=2.5 μm、l_x=400 μm、l_y=400 μm，由 Zygo Nexview 测量。ImC 优化得到 h_x=2.497 μm、h_y=2.495 μm、l_x=401.921 μm、l_y=401.715 μm，差异 <0.5%；误差 RMS 为 0.0096 μm；ICP 的 RMS 为 0.0209 μm。误差图显示刀具痕迹和孔洞，说明 ImC 可去除大尺度形状并便于分析小尺度重复特征。结论是该方法可分离形貌并评估加工痕迹。
3.2.3. Lens array：研究人员设计并金刚石车削透镜阵列，标称 R=1400 μm、d=200 μm、l=250 μm，含 4×4 个透镜元件，由 Zygo Nexview 测量。ImC 优化得到 R=1360.6398 μm、d=202.4613 μm、l=250.0003 μm；误差 RMS 为 0.1200 μm；ICP 的 RMS 为 0.1458 μm。边缘误差较大，可能由局部曲率不连续处运动跟随误差引起。结论是 ImC 可用于透镜阵列。

3.3. Discussions：仿真验证了方法本身精度在 0.01% 以内；实验相对误差主要反映制造表面与标称设计的偏差。结果在相同输入和设置下具有确定性，但参数仍存在不确定度，需评估测量噪声、采样等影响；优化可能收敛到局部最小值。计算时间受数据点数量、迭代次数、参数数量、表面生成和插值方式影响，归一化计算性能 T_n 为 0.0010—0.0035。对不完美重复表面，ImC 给出最佳拟合的平均几何参数，反映系统制造误差，更适合评估结构表面功能。该方法适用于可参数化生成的表面，不适用于随机或非参数特征，且需接近真值的初始估计；未来将研究自适应优化、局部分割、阶跃和非周期表面等。

4. Conclusions：本文提出一种用于光学结构表面的改进表征（ImC）方法。ImC 方法利用来自结构表面的全部实测数据（3D 点云）计算最佳拟合表面定义参数。随后，使用拟合的表面定义参数评估实测表面与设计表面之间的偏差，以改进表面表征。可获得结构表面的全局信息，在通常应用大量结构的实际应用中更好地表征性能。只要表面能够通过函数以点云格式生成（本工作中在 MATLAB 中演示），ImC 方法具有通用性，可应用于不同类型结构表面，包括复杂表面。模块化设计使 ImC 方法易于实现，允许通过设计表面函数来添加新型结构表面。此外，ImC 方法不限于结构表面；只要表面能够数字化描述并生成为点云，也可应用于其他表面。