一种用于预测嵌入多孔板中的延伸平板之间带抽吸/注入热粘性流动的 PINN 框架

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：A PINN framework for the prediction of thermo-viscous flows between extended flat plates embedded in a porous slab with suction/injection

　　

**摘要**
物理信息神经网络（PINNs）是一个强大的框架，通过将控制物理理论与含噪或不充分的数据相结合，为复杂的工程难题提供了解决方案。本研究利用PINNs预测具有吸气和吹气作用、嵌入多孔板中的延伸平板之间的热粘性流。PINNs通过将有损函数网络中的物理限制纳入其中，优化偏差和权重来估算所需建模方程的结果。关键参数如热应力、应变导热率、普朗特数、介质孔隙率和吸/吹气作用均得到了考察。所有这些因素对流速场和温度场的影响通过图形解释进行了分析。通过Python开发的有限差分法（FDM）求解器的对比研究，进一步验证了基于PINN方法法的精度。各种统计指标支持了强一致性，并增强了其在求解当前研究方程中的效率。

**引言**
非牛顿流体的特性一直是多年来大量研究的主题。尽管如此，在这项综合研究中，已做出努力来解决关于过去九十年间所追求的线性研究原则的评估问题。Koh和Eringen[1]率先研究了创建一种能够封装粘性效应与热效应之间相互作用和联系的线性框架。Rao和Acharyulu[2]评估了无限延伸表面上稳态二阶流体。Pothanna[3]同时采用解析和数值技术研究了围绕变化球体的非稳态流动。Vasu等人[4]研究了两个无限长多孔直板之间稳态热粘性流体的流动。在机器专家技术和智能领域，流行的人工神经网络（NN）方法如ANNs被用于解决许多工程问题。包括用于求解微分方程的众多神经网络方法，前馈神经网络（FFNN）尤为突出[5]。它们能够估算函数，并已被证明在分析常微分方程和偏微分方程方面是高效的。多层感知器（MLP）是FFNN中最常见的类型[6]。MLP利用连接权重以高效的方式处理信息。ANNs使用一些与学习原理一致的培训程序进行训练。有许多材料讨论了使用神经网络求解微分方程，包括Yadav的书[7]、Chakraverty和Susmita的书[8]以及Meade的研究[9]。Lagaris[10]通过由两部分组成的人工神经网络求解微分方程：试函数。第一项是初始或边界条件，第二项是神经网络的加权参数和偏差项。然而，先验地选择合适的初始试解是困难的。该方法的第一答案的有效性由边界条件决定。Piscopo[11]提供了一种不同的方法来选择第一个解，通过将网络输出作为试函数，并在目标函数中明确包含边界条件作为附加变量。因此，无需找到满足边界约束的特殊测试函数形式，这对某些边界情况来说是具有挑战性的。Pothanna等人[12]通过人工神经网络研究了两个无限长非多孔直板之间不稳定的热粘性液体的流动。Nalimela等人[13]使用人工神经网络研究并预测了吸液介质中水平振荡板上不稳定液体的流动。

PINNs是一种强大的计算技术，通过将物理规则纳入神经网络中来获取建模微分方程的结果。与此相对，标准机器学习技术仅依赖数据，PINNs寻求将已知物理编码到学习机制中。因此，模型从输入中学习，同时也遵守控制系统的物理定律。PINNs的主要概念是将流体和热力学、电磁或量子物理的基本方程纳入神经网络的损失函数中。通过训练网络来最小化损失函数，即控制方程的残差与预测值和真实数据之间的差异。这由两部分组成，确保了所需输出满足已知物理，且模型输出与给定数据一致。PINNs因其成功应用于逆问题而备受关注，在数据不足时传统方法可能失败。微分方程用于表示流体力学、结构分析、气候建模甚至金融行业的系统。由于其能力超越训练数据点的泛化能力，PINNs可以提供标准数值方法的替代方案，如有限元（FEM）和有限差分（FDM）方法，特别是对于大型维数问题。

PINNs的改进方向是提升其可扩展性和在解决复杂现实问题中的有效性，特别是在数据有限或方程刚性的情况下。PINNs是基于物理的，提供了数据驱动建模的科学计算框架，并有可能改变依赖微分方程的行业。Raissi等人[14]、[15]、[16]将PINNs作为一种强大的框架引入，用于求解非线性偏微分方程。他们将物理原理与机器学习相结合以提取所需结果，解释隐藏的流体动力学，解决逆问题和正向问题。Bararnia等人[17]将PINNs的应用扩展到处理热和粘性边界层问题。Cai等人[18]证明了PINNs能够解决各种热传输问题，其中基本物理定律被纳入学习过程中。Almajid等人[19]引入了一种基于流体流动物理原理和实际数据的PINN框架，用于建模Buckley-Leverett问题。Eivazi等人[20]使用PINNs求解了不可压缩湍流的雷诺平均Navier-Stokes方程，仅使用边界数据，无需额外的湍流模拟或期望。Jalili等人[21]使用PINNs研究2D相流中相界面的行为，并在经典数值实验环境中建模流体力学热传输。Cunliang等人[22]提出了平滑核物理信息神经网络（SK-PINNs）来求解微分方程。Haihang等人[23]提出了一系列改进的PINN模型，用于无标记数据的全耦合热力学系统问题。Cunliang等人[24]提出了Young-Laplace PINN，用于在管状域中求解Young-Laplace方程。当前研究展示了在应用数值技术、人工智能和分数阶微积分到复杂非牛顿MHD动力学方面的显著进展。Khan等人[25]、[26]使用基于ANN的技术准确预测了MHD Ree-Eyring和化学反应二阶流体流动，而Khan等人[27]创建了一个分数阶谱-PINN框架，用于多孔介质中的广义二阶流体流动，结合了霍尔效应、热辐射、Darcy-Frochheimer阻力和热生成。类似地，Mumtaz等人[28]提出了一种混合HTR-ANN框架，用于具有可变传输参数和化学过程的耦合应力纳米流体流动，证明了有效的热和质量传递预测。使用分布式阶数分数Catteno热传导模型和有限差分L1离散化，在此基础上，Mumtaz等人[29]使用经验证的有限差分方案研究了MHD Maxwell流体在具有可变热通量和Darcy-Frochheimer阻力的平板上的速度、温度和热传递特性。

基于几种流体通过多孔介质的结果，Darcy（1858）提出了现在被称为Darcy定律的经验定律：?P=?μk?u。
这里k?是介质渗透率，μ代表流体粘度，u表征流体速度，?P是流体流动方向特定的压力梯度。负号的存在表示流体从高压区域向低压区域移动。

描述不可压缩热粘性流动的基本方程如下：

连续性方程：vi,i=0

动量方程：ρ?vi/?t+vkvi,k=ρFi+tji,j?μk?vi

能量方程：ρcθ?=tijdij?qi,i+ργ?μk?vivi

向量'b'的热双梯度和热通量双矢量（h）为：
b≡bij≡εijkθ,k
h≡hij≡εijkq,k

其中εijk表示排列符号。

热双梯度（b）表征温度的第二空间梯度。它找出温度梯度本身从一个点到另一个点的偏离速度。热通量双矢量（h）是与热通量向量的空间差异相关的高阶度量。这定义了从一个点到另一个点的热通量差异以及热能的散射或吸收。

对于热粘性流体：
t?=t?dbρθ
h?=h?dbρθ

't'和'h'的基本表达式（以d和b表示）如下：
t=α1I+α3d+α5d2+α6b2+α8db?bd+α12db2?b2d+α15bd2?d2b+α17d2b2?b2d2+α20dbd2?d2bd+α22bdb2?b2db+α24bd2b2?b2d2b
h=β1b+β3bd+db+β6db2?b2d+β9bd2+d2b+β12d2b2?b2d2+β19db2d2?d2b2d

组成系数αi和βi是d和b不变量的多项式：trd, trd2, trd3, trb2, trdb2, trd2b2, trbdb2d2，系数仅依赖于ρ和θ。

之前组成项中d和b的最大度数取为N和P，则集体度数为N+P。

(a) 零阶理论：
如果N+P=0，则除了α1外的所有组成系数都等于零。那么方程现在简化为：
t=α1I
h=0

其中α1不依赖于d和b，它是ρ和θ的函数。这些方程描述的材料就是所谓的理想（非热传导和非粘性）流体。

(b) 一阶理论：
在这种情况下（Max N+P=1），组成方程变为：
t=α1I+α3d
h=β1b

其中组成系数α1、α3和β1是trd的标量多项式，是ρ和θ的函数。在这个近似阶中，我们得到：
α1=α1000+α1010trd
α3=α3010
β1=β1001

其中系数αisrt和βisrt是ρ和θ的函数。

可以观察到，组成关系在变形率张量（d）和热双梯度向量（b）之间是解耦的，从零阶和一阶理论来看，因此这两个理论都不能真正描述介质的粘性特性和热特性之间的相互作用。因此，必须考虑能显示这种相互作用的高阶理论。

(c) 二阶热粘性流体理论：
在这种情况下（Max N+P=2），'t'和'h'的基本表达式简化如下：
t=α1I+α3d+α5d2+α6b2+α8db?bd
h=β1b+β3bd+db

其中变形率dij=ui,j+uj,i/2和热双矢量梯度bij=∈ijkθk。

具有组成常数αi和βi的二阶流体的特定项如下：
α1=α1000+α1010trd+α1020trd2+α1002trb2
α3=α3010+α3020trd
α5=α5020
α6=α6002
α8=α8011
β1=β1001+β1011trd
β3=β1011

本研究探索了PINNs在研究嵌入多孔板中、具有吸气和吹气作用的拉伸平行平板间热粘性流的创新和非凡应用。这种本研究在以前的文献研究中尚未发现。两个表面之间热粘性流体的非牛顿特性所引发的基本困难构成了相当大的问题，这些通过预期的PINN框架得到了准确的关注。尽管许多作品探索了使用不同技术对热粘性流进行建模的研究，但到目前为止，文献中尚未使用PINN配合不同材料输入预测速度和温度流场。此外，进行了统计分析以验证解的精度。这项研究通过分配第一个包容性、数据驱动的行动来满足PINN程序改进之外的实质性差距，从而为发展流场中耦合传输奇异性的准确建模奠定了新的目标。

**问题建模**
假设流体速度为[uy, v0, 0]，温度为θ(y)，描述两个平板间的稳定运动，如图1所示。

展示流动的可转换方程为：

沿X方向：
ρv0?u/?y = ??p/?x + μ?2u/?y2 ? α6?θ/?x?2θ/?y2 ? μk?u + ρFx

沿Y方向：
0 = μc?/?y(?u/?y2) + ρFy

沿Z方向：
0 = α8?/?y(?θ/?y?u/?y) + ρFz

能量方程为：
ρcu?θ/?x + v0?θ/?y = μ?u/?y2 ? α6?θ/?x?u/?y?θ/?y + k?2θ/?y2 + β3?θ/?x?2u/?y2 ? μk?u2 + ργ

假设边界条件为：u=0, θ=θ0 at y=0 和 u=u0, θ=θ1 at y=

**方法**
最近引入的PINNs提供了一个创新的计算框架，将物理控制方程纳入学习过程中，创建了一种更有效、更准确地模拟复杂耦合热流现象的方法。该方法特别适用于传统计算流体力学技术可能因复杂几何形状、边界数据不足或计算成本过高而遇到困难的场景。

步骤1：识别物理

**计算结果与讨论**
对速度UY和温度TY的数值计算，得到方程(6)、(7)配合边界条件(8)、(9)的解，并在图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11、图12、图13、图14、图15中进行了展示和视觉呈现。

本研究采用物理信息神经网络（PINN）方法并结合ADAM优化算法进行检验。通过对温度和速度场结果的分析，考察了该问题的物理意义。结论：本文针对热粘性流体问题，采用了一种新颖且具有创新性的方法——PINN进行研究，并将结果与有限差分法（FDM）进行了比较。本文的数学贡献在于建立和分析了耦合热粘性流动与传热模型，展示了控制参数如何对温度和速度场产生物理影响。计算方面的贡献在于创建了一个PINN框架，用于求解所得到的耦合问题。作者贡献声明：N. Pothanna：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，指导，形式分析，概念构思。P. Rajshekar：方法论，调查研究。K. Sai Pranitha：软件，方法论。C. Thirmal：资源提供。M. Anil Kumar：可视化，验证。资金资助：不适用。利益冲突声明：作者声明，他们不存在可能影响本文所报告工作的已知的竞争性经济利益或个人关系。N. Pothanna | P. Rajshekar | K. Sai Pranitha | C. Thirmal | M. Anil Kumar