基于神经需求势的可积弹性

《Expert Systems with Applications》：Integrable Elasticity via Neural Demand Potentials

　　

我们提出了可积上下文相关需求网络（ICDN），一种面向多产品零售需求的"需求优先"神经网络模型。ICDN将日志需求学习为关于日志价格的平滑、上下文条件化函数，从而可以从学习到的需求曲面上精确推导出弹性系数。在三个零售数据集上，该模型在样本外预测方面取得了与现有方法相当的性能，同时产生了分析上可处理且经济上合理的自身价格和交叉价格响应。

**引言**

定价决策的一个核心输入是一个简单但困难的问题：当价格变化时，需求如何响应？在实践中，这个问题通过弹性系数来回答——需求对价格变化的局部对数敏感度（Asano, 2012）——这是情景模拟、收入优化和促销规划的天然基础工具。然而，大规模学习稳定且可复现的弹性系数仍然具有挑战性。零售需求在门店和产品间存在异质性，随时间非平稳，并受到促销和商品组合效应的影响。同时，库存单位（SKU）的价格往往相互关联并受业务规则约束，这使得灵活模型虽然容易拟合需求，却容易产生不稳定或不合理的经济弹性系数。

从数学角度看，弹性系数是需求映射的导数（Anthony & Biggs, 2024）。因此，估计需求曲面上的微小不规则性可能会被放大为弹性系数的剧烈波动。在多产品环境下，这一挑战更为显著，因为弹性矩阵耦合了所有SKU——实际上至少是最相关的竞争产品。此外，交叉价格效应尤其难以从观测价格变异中识别，因为它们通常比自身价格响应弱，并且被相关的定价和促销活动所模糊。

在应用研究中，弹性系数通常从估计的需求模型中计算得出，范围从简单的对数-对数OLS基准（Baddeley & Barrowclough, 2009）到现代深度学习预测器（Acu?a-Agost, Thomas, & Lhéritier, 2021）。从这个角度来看，寻求单一结构化需求模型是自然的，该模型是可微且分析上可处理的，从而弹性系数可以作为同一底层曲面的精确导数获得（Banks, Blundell, & Lewbel, 1997; Berry, Levinsohn, & Pakes, 1995）。

现有的多产品弹性估计方法在可解释性、灵活性、导数一致性和可扩展性之间面临持续的权衡。经典对数-对数需求模型提供直接可解释的弹性系数，但通常强加恒定或高度受限的价格响应。通用机器学习需求预测器可以捕获非线性和上下文依赖模式，但通常不被设计为产生透明且分析上可处理的弹性系数。这些局限性，加上交叉价格效应的弱识别和潜在产品交互作用的快速增长，促使我们提出一种结构化需求优先框架，该框架结合非线性上下文灵活性与一致、可处理且正则化的价格响应。

为了弥补这些不足，我们引入了可积上下文相关需求网络（ICDN），这是一种结构化神经需求模型，将日志需求表示为日志价格和上下文协变量的平滑函数，从而使自身价格和交叉价格弹性作为同一底层曲面的精确导数产生。

这种需求优先的构造并非ICDN独有：任何足够平滑的日志需求模型在弹性定义为其Jacobian时会诱导一个可积的弹性场。ICDN的贡献在于以针对高维零售定价的形式实现这一原则，结合显式价格基、解析样条导数、经济正则化和稀疏有向交叉价格交互。

在结构上，ICDN将价格效应分解为可解释的线性成分和灵活的基于样条的非线性精化。自身价格响应由局部线性对数-对数项β_ii(x)u_i加上非线性样条成分w_ii(x)^T B_i(u_i)表示。有向交叉价格响应通过线性成分β_ij(x)u_j、非线性单变量精化w_ij(x)^T B_j(u_j)以及捕捉产品i和j之间非线性相对价格定位效应的样条-样条交互B_i(u_i)^T U^(ij)(x) B_j(u_j)建模。

附着在这些价格响应结构上的系数并非全局固定：它们随观测到的零售上下文变化。一个共享编码器将每个SKU关联的上下文信息映射为产品特定的潜在表示h_i。自身价格参数从h_i导出，而交叉价格参数从有序对(h_i, h_j)构建并由选定的产品对上的注意力权重调节。这种有序对构造不强加对称性：E_ij和E_ji独立学习，允许产品间的方向性替代或互补模式。由于样条基允许闭式导数，产生的弹性保持分析可计算而无需密集Jacobian或Hessian评估。表1总结了识别的研究缺口与ICDN相应组件之间的关系，并阐明了这些组件如何在框架内协同运作。

在我们的主要实证应用中，我们在Dominick's Finer Foods啤酒类别扫描器数据上评估ICDN，这是一个涵盖门店特定销售、价格和促销活动的每周零售扫描面板（Kilts Center for Marketing, 2018; Kilts Center for Marketing, 1989–1994）。为了使需求响应在不同产品间可比较，我们将数量表示为销售升数，价格表示为每升价格，并在对数-对数坐标下工作。在此环境中，自身价格弹性预期主要为负，这一模式对该类产品标准，并在我们的清洗后的Dominick's样本中得到确认（Toro-González, McCluskey, & Mittelhammer, 2014）。我们还在Walmart M5和Dunnhumby上进行匹配评估协议以评估稳健性，以及一个更大的Dominick产品面板。

由于实证应用使用观测扫描数据，以下报告的弹性不应被解释为价格干预的完全识别因果效应。它们是拟合需求曲面的局部、上下文条件化导数，在当前定价机制下评估。因此，我们的实证分析聚焦于预测泛化、导数一致性和弹性稳定性，而非因果识别。关于定价的因果方法，参见例如Simchi-Levi & Wang (2023)和Schultz et al. (2024)。

训练平衡预测准确性与经济规律性。我们使用稳健目标拟合日志需求以减少对异常值和非同方差噪声的敏感性，同时正则化学习需求曲面的几何以避免隐含弹性中的人为振荡。此外，我们对正自身价格弹性施加软惩罚，反映此应用中向下倾斜需求的主导实证模式，同时允许数据充分支持时的局部偏离。交叉价格响应也通过软弹性带惩罚正则化，除非需求拟合项支持，否则阻止异常大的交叉产品效应。由于这些建模选择可能影响结果弹性分布，我们还检验实证发现对替代经济约束和正则化设置的稳健性。

我们的贡献是：
- 我们明确了需求优先弹性估计诱导的逐行可积性和路径独立性：日志需求表示为公共平滑曲面，自身价格和交叉价格弹性作为该曲面的导数获得。
- 我们提出ICDN，一种结构化神经需求模型，旨在使此需求优先原则在高维零售环境中实用化。ICDN将价格响应分解为线性自身价格效应、有向交叉价格交互和基于样条的非线性精化，允许灵活但分析可处理的需求曲面。
- 我们利用产品特定样条基的解析导数计算自身价格和交叉价格弹性，而不依赖于密集通用Jacobian或Hessian评估。这使得导数计算透明且可扩展到多产品面板。
- 我们引入SKU特定上下文条件化与稀疏注意力调节有向交互。每个产品通过共享上下文编码器编码，而交叉价格效应从有序产品对构建，产生异质性和方向性交叉价格响应。
- 我们针对正则化和未正则化对数-对数基准及特征匹配需求优先MLP在三个零售数据集上评估ICDN：Dominick、Walmart M5和Dunnhumby。
- 我们进行组件消融、经济约束敏感性、定向架构替代和计算可扩展性分析以表征ICDN主要设计选择的实证角色和权衡。

与ICDN最密切相关的文献可以组织为五个互补流派：传统需求模型、机器学习和深度学习需求预测、上下文相关需求建模、从灵活模型估计弹性，以及基于可积性的需求方法。我们分别回顾这些流派以澄清ICDN的定位和方法论缺口。

**传统需求模型**

经典结构需求系统指定需求方程组并从估计的需求表示中恢复弹性系数。在这一传统中，Deaton & Muellbauer (1980)的几乎理想需求系统（AIDS）将商品间的预算份额建模为价格和实际总支出的函数。它提供消费者需求的灵活一阶近似，以及在可以施加和检验标准需求限制——包括加总性、齐次性和Slutsky对称性——的理论框架。AIDS作为比早期系统如Rotterdam模型（Theil, 1992）和translog规格（Christensen, Jorgenson, & Lau, 1975）更可处理的替代方案引入。QUAIDS等二次扩展通过允许支出份额对对数支出为二次同时保留效用一致结构来进一步增加灵活性以分析价格响应和福利效应（Banks et al., 1997）。

并行地，差异化产品文献，以Berry et al. (1995)为代表，发展寡头市场的需求和供给结构模型，其中替代模式源于消费者对产品属性的异质偏好。在这些模型中，弹性系数不作为独立参数估计，而是从估计的消费者需求系统中恢复。ICDN共享此需求中心视角，尽管不强加与经典结构需求系统相关的加总性、齐次性、Slutsky对称性或效用最大化限制。

相关的应用传统使用对数-对数需求规格估计价格响应。这些模型在定价和零售分析中广泛使用，因为它们在计算上廉价且直接可解释：产品自身日志价格上的系数代表其自身价格弹性，而其他产品日志价格上的系数代表交叉价格弹性。其主要限制在于它们强加全局恒定或高度受限的价格响应，因此难以表示多产品零售环境中的非线性、异质和状态依赖替代模式（Baddeley & Barrowclough, 2009）。

**机器学习和深度学习需求预测**

近年来，需求估计和预测越来越多地采用为高维环境设计的机器学习方法。这些方法可以容纳非线性、复杂交互、大量产品描述符和丰富时间协变量而无需完全指定的参数需求系统。例如，Bajari, Nekipelov, Ryan, & Yang (2015)讨论了使用现代机器学习方法进行灵活需求估计。在零售应用中，Antipov & Pokryshevskaya (2020)考虑了近500个预测器并表明梯度提升机优于随机森林和弹性网替代方案，而Shapley值分解提供可解释的特征归因。类似地，Ferreira, Lee, & Simchi-Levi (2016)将机器学习需求预测与零售价格优化结合。

神经预测模型通过汇集相关时间序列的信息并纳入静态和时间变化协变量扩展此预测视角。代表性例子包括循环概率预测架构DeepAR（Salinas, Flunkert, Gasthaus, & Januschowski, 2020）和基于注意力的时间融合变换器（Lim, Arik, Loeff, & Pfister, 2021）。然而，其主要目标是准确的需求预测。即使价格作为输入包含，架构通常不设计为显式价格导数、经济正则化或分析分解为自身和交叉价格效应。

ICDN通过其使用共享神经表示和高维上下文信息与此文献相关，但保持显式的需求作为价格函数表示，其系数由神经网络生成。因此弹性是拟合需求曲面的内在导数而非事后特征归因。

**上下文相关需求建模**

互补文献允许回归效应随观测特征或市场状态变化。变系数模型通过将预测器的效应泛化为随一个或多个调节变量变化的函数来推广固定系数回归（Fan, Yao, & Cai, 2003; Hastie & Tibshirani, 1993）。在需求应用中，相关形式的异质性通过产品特定偏好、市场级变异以及产品属性和上下文协变量间的灵活交互作用产生（Bajari et al., 2015; Berry et al., 1995）。

ICDN属于这一传统，但上下文不仅作为需求水平的额外预测器进入。相反，产品、门店、时间、促销和竞争信息被编码为SKU特定潜在表示，这些表示生成附着于显式价格响应项的系数。因此，完整的价格需求曲面，包括其自身和交叉价格导数，可以跨产品和观测市场状态变化。

**从灵活需求模型估计弹性**

灵活学习方法可用于弹性估计通过两种概念上不同的策略。第一种方法直接估计与弹性相关的量。例如，Greenstein-Messica & Rokach (2020)结合机器学习和优化推断没有充分信息弹性历史的产品价格响应。

尽管上述方法可能产生有用的局部价格反应估计，但独立参数化的弹性不一定对应于单一连贯多产品需求面的导数。第二种策略是需求优先的：先估计一个可微的需求或选择模型，然后通过对其预测结果求导来获得价格弹性。Acu?a-Agost等人（2021）采用这种方法，通过自动微分从基于深度学习的选择模型中恢复价格弹性。这与ICDN的需求优先观点一致：弹性是从可微的预测器中导出的，而非独立估计的。两者的区别在于拟合结构和导数计算：在通用神经需求模型中，价格效应可能分散在许多隐藏的非线性变换中，因此恢复大型弹性矩阵或高阶导数量可能需要重复的通用雅可比或海森矩阵运算。ICDN则将上下文表示与显式的基于样条的价格分支分离开来，这使得每个价格分量的贡献清晰可见，并为自身价格弹性、交叉价格弹性以及正则化期间使用的曲率量提供了闭式表达式。

可积性与需求优先方法。关于需求可积性的经典文献研究了一组需求函数在何种条件下可以被有理化为效用最大化的结果。在适当的正则性条件下，可理性的马歇尔需求满足包括瓦尔拉斯定律、零次齐次性、以及斯勒茨基替代矩阵的对称性和负半定性等限制条件（Hurwicz & Uzawa (1971)）。互补的非参数显示偏好结果通过GARP等条件刻画了有限需求观测的可理性（Varian (1982)）。这些概念施加了比本文考虑的逐行相干性更严格的经济结构：ICDN不要求效用可理性、跨方程斯勒茨基对称性或其他可积消费者需求系统的限制条件。

我们所使用的可积性是指弹性矩阵的每一行与单一对应的对数需求分量之间的兼容性。当弹性被定义为足够光滑的对数需求函数的导数时，相关的弹性一形式是恰当形式，相应的价格反应是路径无关的。这一需求优先性质并非ICDN独有：任何其弹性通过对预测结果求导获得的足够光滑的需求模型都共享这一性质。因此，ICDN的贡献不在于这一一般性数学结果，而在于其在结构化多产品架构中的实现，包括上下文相关的系数、显式的非线性价格基、稀疏有向交互、解析导数和面向导数的正则化。

关于啤酒需求的实证证据。我们的实证应用也与快速消费品和啤酒需求价格弹性的文献相关。在总体层面，证据通常表明啤酒需求是负向且缺乏弹性的。Nelson（2014）对来自114项主要研究的191个啤酒价格弹性估计进行了元分析，在考虑异质性、依赖性和出版偏差后，报告了约-0.20的平均弹性。类似地，Clements, Mariano, Verikios, & Wong（2022）报告了相关研究中的均值的均值为-0.47，中位数的均值为-0.37。

估计的弹性还强烈依赖于产品聚合水平。使用UPC扫描信息，Ruhm等人（2012）获得了约-0.3的相对较低的啤酒品类弹性，尽管UPC观测值被聚合为品类级价格。相比之下，Srivastava, McLaren, Wohlgenant, & Zhao（2015）对12种细分的酒精饮料类型估计了AIDS模型，获得了显著更大的自身价格弹性，啤酒类型的估计值大约在-1.0到-5.4之间。

最接近我们实证环境的是Toro-González等人（2014），他们使用Dominick's超市扫描数据估计了差异化啤酒产品需求。尽管底层数据包含UPC级别的信息，他们报告的弹性被聚合为大众生产啤酒、精酿啤酒和进口啤酒类别。他们分别获得了约-0.13、-0.21和-0.22的自身价格弹性，以及啤酒类型之间接近于零的交叉价格效应。这一证据支持了实证先验，即自身价格反应应以负值为主，而交叉价格反应可能更弱、更具异质性且更难可靠估计。ICDN通过将模型隐含的上下文相关的自身价格和交叉价格弹性估计扩展到单个SKU/UPC级别，超越了啤酒类型聚合。

ICDN的定位。经典的结构模型和对数-对数需求模型保持了需求与弹性之间的透明联系，但通常依赖于限制性的价格反应设定或更强的经济假设。机器学习和深度学习模型提供了更大的预测灵活性，并能纳入丰富的零售上下文，但它们通常主要为需求预测而设计，而非用于透明且稳定的弹性恢复。上下文相关和变系数模型允许反应在不同产品和市场状态下变化，基于导数的神经方法从灵活预测器中恢复弹性。然而，这些方法通常不会在单一架构中结合显式价格效应、上下文条件系数、解析价格导数、稀疏有向多产品交互和面向导数的正则化。

ICDN位于这些研究方向的交汇处。其新颖性不在于神经网络、样条基、注意力机制或需求优先可积性本身，而在于将这些已确立的元素整合到一个结构化的多产品需求架构中，其中自身和交叉价格效应保持显式、非线性、上下文相关、方向特定、稀疏评估、解析可微和直接正则化。

弹性场与可积性：在多产品定价中，需求通常被建模为价格和上下文信息的函数，而弹性提供了局部价格反应的紧凑摘要。设 q(p, x) ∈ ??? 为价格 p ∈ ??? 和上下文协变量 x 下的需求向量。点价格弹性矩阵定义为：Eij(p, x) = ?log qi(p, x) / ?log pj，其中 Eij 衡量产品 i 的需求在产品 j 价格发生无穷小乘性扰动时如何变化。

弹性与神经网络：第2节表明，相干的多产品弹性必须与单一的对数需求面相兼容。我们利用这一需求优先原则构建了一个神经模型，学习一个灵活且足够光滑的上下文条件表面，其导数产生稳定且具有经济可解释性的弹性。设 p ∈ ???? 为有效价格向量，x ∈ ?? 为上下文协变量，包括商店和SKU标识、季节性、促销指示器等。

数值实验：我们的主要实证评估使用Dominick's Finer Foods（DFF）扫描数据集的啤酒类别数据，与未正则化和正则化的对数-对数基准以及特征匹配的分层感知机进行预测泛化和弹性稳定性的比较。后续实验考察了组件消融、架构替代方案等。

结论：本文从需求优先的角度解决多产品弹性估计问题：将需求建模为价格和协变量的光滑、上下文相关函数，并通过求导获得弹性。因此，任何足够光滑的需求优先设定都会构建出逐行可积的弹性。我们通过可积上下文相关需求网络（ICDN）来实例化这一原则，该网络结合了上下文等要素。

代码和数据可用性：用于重现预处理、训练和实证分析的代码和处理后的数据公开可用，参见 github.com/carlosherediapimienta/nn-elasticity 和 github.com/carlosherediapimienta/nn-elasticity-additional-work。ICDN还作为独立Python包分发，可通过 pip install icdn 安装。

作者贡献：两位作者对本工作贡献均等。

资金支持：作者声明未获得任何资金资助。

CRediT作者贡献声明：Carlos Heredia：概念化、方法论、软件、验证、形式分析、调查、数据整理、撰写—原稿、撰写—审阅与编辑、可视化。Daniel Roncel：概念化、方法论、软件、验证、形式分析、调查、数据整理、撰写—原稿、撰写—审阅与编辑、可视化。

利益冲突声明：作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本论文所报告的工作。

Carlos Heredia | Daniel Roncel