一种基于高斯混合的 p-box 传播方法，用于界定响应统计量和失效概率

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：A Gaussian mixture-based p-box propagation method for bounding response statistics and failure probability

　　

概率箱变量在不确定性传播和可靠性分析中带来了巨大挑战，因为它们仅通过累积分布函数的上下界来规定，这导致了无穷多个可接受的概率分布，使得响应矩和失效概率边界的评估变得困难。为了解决这一问题，本文提出了一种基于高斯混合的概率箱传播方法，用于在概率箱不确定性下估计感兴趣量的上下界。具体而言，可接受输入分布使用高斯混合表示进行近似，相关参数通过针对目标感兴趣量的优化过程来确定。所提出的方法不仅给出了目标响应统计量和失效概率的边界，还给出了与这些边界相关联的优化输入累积分布函数。文中给出了若干数值算例以评估所提出的方法，展示了其在概率箱不确定性下估计各种响应统计量边界的能力，范围从原始矩到标准化的更高阶统计量，以及失效概率。

引言

在可靠性工程中，输入变量的概率信息往往不同程度地不完整。材料性能、外部载荷、几何尺寸、制造误差和退化参数等随机量通常使用有限的实验数据、异质信息源或在不同工况下收集到的观测数据进行表征。概率分布中的不确定性会进一步传播到系统响应和可靠性指标上，从而影响与运营相关的决策，这在结构可靠性分析、竞争性失效过程和维护计划中广泛存在。概率箱模型通过累积分布函数的上下界或分布参数的区间来表征这种不完整的概率信息，从而为与可用信息一致的一组概率分布提供了灵活表示。概率箱传播需要考虑一族可接受的概率分布，并确定目标响应量在该分布集上的范围，这导致了一个比常规概率分析更为复杂的uncertainty propagation和可靠性分析问题。传播的不确定性信息也为后续的可靠性基于设计优化提供了重要的概率依据。

根据可接受概率分布的表示方式，概率箱通常分为参数化和非参数化两种形式，后者也称为自由分布型概率箱。参数化概率箱规定了概率分布族，并通过均值、标准差或其他分布参数的区间来表征认知不确定性。相应的可接受概率模型因此可以通过有限数量的不确定参数来描述。针对这类问题，已开发了一系列传播和可靠性分析方法。Liu等人开发了一种用于参数化概率箱的高效不确定性传播方法。Wei等人提出了非侵入式不精确随机模拟方法，利用有限的随机模拟建立概率响应与不确定分布参数之间的关系，从而实现了不同参数组合之间随机信息的复用。Song等人进一步将线采样与该方法结合，以提高稀有事件可靠性问题的计算效率。Faes等人引入了一种基于算子范数的理论优雅的公式化方法，提供了一种高效传播混合偶然性和认知不确定性并评估其不精确概率的手段。基于多项式混沌展开和多层元模型的非侵入方法进一步扩展了参数化概率箱分析的计算能力。不精确参数的有限维表示也被整合到复杂系统可靠性问题中，包括涉及依赖组件和不精确规定参数的多状态系统可靠性分析。总体而言，针对参数化概率箱，已经建立了一套相对系统的建模、传播和可靠性分析工具集。

自由概率箱涉及的范围更广的可接受分布空间。概率分布族未指定，而上下累积分布函数共同定义了概率分布的可行域。任何满足累积分布函数基本特性和规定累积分布函数界限的分布都可能构成一个可接受候选分布。对于给定的响应统计量或失效概率，自由概率箱传播可以解释为在该可接受分布集中搜索产生目标量极值的一个概率分布。每个候选解对应一个完整的输入累积分布函数，不同的候选累积分布函数通过响应函数传播后会产生不同的概率响应特性。由于可接受累积分布函数集本质上是无穷维的，其数值表示和搜索策略直接决定了自由概率箱传播的计算公式化。因此，现有研究开发了各种基于区间传播、随机集表示、代理模型、累积分布函数离散化和统计矩的方法。

早期针对自由概率箱的研究主要采用直接传播和随机集方法来处理可接受分布集。区间蒙特卡罗方法将规定概率水平对应的输入分位数表示为区间，计算每个区间输入的最小和最大模型响应，随后利用大量区间响应构建输出概率边界。该过程直接传播了概率箱的上下累积分布函数，并为自由概率箱不确定性提供了一种一般性处理方法。随机集方法利用概率箱与随机集之间的关系，通过使用带相关概率质量的区间焦点元素来表示不完整的概率信息，并传播每个焦点元素的响应范围，以获得事件概率或可靠性度量的边界。Alvarez等人将随机集理论与子集模拟结合，用于估计稀有事件问题的可靠性边界。这些方法保留了自由概率箱的原始分布包络结构，但需要对大量区间或焦点元素进行响应评估和内部优化。对于计算昂贵的黑箱模型，Sadeghi等人进一步采用了区间预测模型构建响应包络，并结合采样和重加权策略估计可靠性边界。

代理模型的发展进一步提高了自由概率箱传播对计算昂贵工程模型的适用性。Sch?bi和Sudret分别采用稀疏多项式混沌展开和多层元模型进行概率箱传播和可靠性分析，从而将大量概率传播和内部优化转移到廉价的代理模型上。Zhang等人将克里金法、主动学习和区间蒙特卡罗结合，利用概率箱传播过程中获得的信息自适应地丰富训练集，以减少对原始模型的评估次数。Hu等人构建了用于自由概率箱不确定性下结构可靠性分析的双循环深度学习模型，使用不同的模型分别近似响应函数和外部分析所需的辅助响应，随后通过蒙特卡罗模拟估计失效概率边界。也开发了可靠性分析方法，通过专门的嵌套优化和降维程序直接估计自由概率箱不确定性下的失效概率边界。最近，自由概率箱分析已扩展至非线性动力系统和随机过程传播。这些研究主要解决了与模型传播和可靠性估计相关的计算负担，使自由概率箱方法能够处理日益复杂的数值模型。

另一条研究路线直接处理自由概率箱内可接受概率分布的数值表示。累积分布函数或分位数函数的离散化使用有限数量的节点来表示一个完整的概率分布，并将函数空间中的搜索转化为有限维优化问题。Li等人提出了一种累积分布函数离散化方法，对自由概率箱的可接受分布空间进行离散化，并计算响应累积分布函数和前四个原始矩的边界。该公式为在自由概率箱中搜索候选分布提供了直接的数值实现。Zhao等人开发了一种区间矩方法，通过数值积分和区间分析评估响应矩边界，随后重构响应累积分布函数。Xie等人将降维积分与最大熵估计相结合，从有限数量的矩量构造响应概率分布，从而提高了自由概率箱不确定性下响应分布估计的效率。现有的自由概率箱方法因此从直接的区间和随机集传播演变为代理辅助分析、累积分布函数离散化和基于矩的分布重构。

现有自由概率箱方法主要关注响应累积分布函数、失效概率和若干原始矩。原则上，在概率箱不确定性下确定任何响应统计量的边界都可以表述为一个分布级优化问题，即在所有可接受输入概率分布上优化目标统计量。然而，为了提高计算效率，大多数现有方法并不直接求解这一一般优化问题，而是利用目标响应量的特定结构将其转化为数学上等价的或近似的公式。例如，原始矩的边界可以通过利用其积分结构并结合数值积分或区间运算来高效评估。这些转化对于专门推导出的响应量非常有效，但其适用性本质上取决于目标统计量的数学结构，这使得它们难以直接推广到更复杂的统计量。特别是，标准差、偏度和峰度涉及多个统计量的非线性组合，这些量必须在同一可接受概率分布下一致评估。对于偏度和峰度，均值、标准差和高阶中心矩之间的耦合进一步阻止了通过简单组合分别评估的矩边界来获得其边界。早期对区间统计的研究也表明，由独立受限的组成量构造的标准化统计量通常会导致保守的区间。

因此，直接限制此类统计量的一个关键问题是如何以计算上可行的形式表示一个完整的可接受概率分布。累积分布函数或分位数离散化提供了一种数学上通用的方法，其中候选分布由一组节点变量和确保分布有效性的约束来表示。由于每个优化状态对应于一个可接受分布的完整离散化表示，像标准差、偏度和峰度这样的复杂响应统计量原则上可以在同一分布下直接一致地评估。然而，这种通用性以相当大的计算成本为代价。准确的表示可能需要大量的离散化节点，导致高维优化问题，而节点变量必须同时满足随离散化细化而增加的大量单调性约束。这些困难促使开发一种更紧凑的分布级参数化方法，在保留完整分布表示的同时降低所得优化问题的维度和约束复杂性。这样的表示将允许复杂响应统计量被直接一致地优化，同时也能识别出与每个边界相关联的可接受输入分布。

基于这一想法，本文针对自由概率箱开发了一种基于高斯混合的概率箱传播方法。多个高斯核用于表示每个候选输入概率分布，相应的概率密度函数和累积分布函数完全由核参数确定。由此，在可接受累积分布函数集上的原始搜索被近似为在高斯混合候选分布上的有限维搜索。有限数量的高斯核定义了有限维候选分布族，而增加核数量可以增强其表示能力。在这一分布级优化框架内，均值、标准差、偏度、峰度、失效概率和其他标量感兴趣量可以直接作为优化目标处理。一旦确定了目标量的上界或下界，相应的核参数也确定了与所估计边界相关联的优化输入概率密度函数/累积分布函数。此类分布信息可直接用于后续的可靠性评估和设计优化，其中概率信息的表征和更新在工程决策中起着重要作用。所提出的框架因此既提供了目标响应量的数值边界，又提供了相关联的优化输入分布，为自由概率箱下的不确定性传播提供了一种分布级的表征。

本文其余部分组织如下。第2节阐述了自由概率箱不确定性下的不确定性传播和可靠性分析问题。第3节提出了所提出的GMPP方法。第4节提供了数值算例，展示了所提出的GMPP方法在限制不同响应统计量和失效概率边界方面的能力。

第5节总结了全文。

各节摘要

**概率盒表示**

当不确定变量的精确概率分布不可得时，可使用概率盒（p-box）来描述该变量，此时可指定其累积分布函数（CDF）的下界和上界。设X为支撑集为DX?R的不确定输入变量。如图1所示，非参数概率盒由两个有界CDF刻画，分别记为F￣X(x)和FˉX(x) [6]：
F￣X(x) ≤ FX(x) ≤ FˉX(x), ?x∈DX
公式(1)表明，未知的真实CDF FX(x)逐点地被概率盒的下界CDF和上界CDF包络所约束。

**基于高斯混合的概率盒传播方法**

本节介绍了本文提出的GMPP方法。与参考文献方法通过离散化分位数节点来表示允许的输入分布不同，本方法直接在有限维的候选输入分布空间中进行搜索。对于每个p-box变量，候选输入分布在分布层面上通过高斯混合表示进行参数化，从而可解析地获得候选PDF/CDF。这种构造提供了一种

**数值算例**

本节给出了三个数值算例，从不同角度评估所提方法。在所有算例中，第2.3节介绍的基于反CDF的参考方法被用作基准，以评估所提方法在估计响应均值、标准差、偏度、峰度和失效概率界值时的精度。此外，还采用区间矩方法（IMM）[31]来评估前四阶原始矩的界值。

**结论**

本文提出了一种基于高斯混合的概率盒传播（GMPP）方法，用于非参数概率盒不确定性下的不确定性传播与可靠性分析。每个候选输入分布由多个高斯核表示，而其对预定义概率盒约束的一致性通过罚函数进行控制。这提供了一种完整的候选PDF和CDF的紧凑参数化方式，使得响应界值能够直接通过

**CRediT作者贡献声明**

陈伟伟：撰写——初稿、软件、方法论、调查研究、形式化分析、数据整理、概念构思。姚忠良：撰写——审阅与编辑、监督、经费获取、形式化分析、数据整理、概念构思。倪秉宇：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督、数据整理。田万义：撰写——审阅与编辑、软件、经费获取、形式化分析、数据整理。江超：撰写——审阅与编辑。

陈伟伟 | 姚忠良 | 倪秉宇 | 田万义 | 江超