一种用于集成电路热分析的高效多尺度数值建模方法

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：An efficient multiscale numerical modelling method for thermal analysis of integrated circuits

　　

• •
  提出了一种多重RVE宏观等效建模方法，用于具有空间变化材料分布的集成电路（IC）结构的有限元热分析。
• •
  该方法通过逐层精细化的结构化网格程序，为粗略的矩形元素分配局部各向异性的等效热导率。
• •
  对于所研究的IC结构，该方法在预测宏观温度分布方面，比传统的有限元方法（FEM）具有更低的峰值温度误差和更短的运行时间。

引言

随着集成电路（IC）制造技术进入纳米尺度领域，单个芯片上集成的晶体管数量大幅增加，从而导致芯片设计中的功率密度更高，热管理挑战更加严峻[1]。过高的芯片温度可能会引起诸如电迁移、芯片翘曲、断裂和分层等可靠性问题，从而降低IC的性能和耐用性[2]。采用了多种结构和材料级别的冷却策略来缓解这些热问题，包括外部散热器[3]、[4]、[5]、三维（3D）IC中的硅通孔（TSVs）[6]、[7]、[8]以及嵌入式微通道[9]、[11]。然而，这些冷却策略的设计和优化仍需要高效且精确的热分析方法，以在设计阶段评估异构IC结构的宏观温度分布。因此，热分析是确保IC可靠运行的不可或缺的工具[12]，目前使用了包括分析方法、数值模拟、基于机器学习的方法以及实验测量在内的多种方法进行IC热分析。

分析方法用于估算IC结构的有效热阻和有效热导率。针对3D IC，建立了一个准一维的热阻网络模型来描述从顶部到底部的垂直热传递[13]。另一个网络模型结合了铜填充层、SiO₂绝缘层以及周围的材料（如Si和FR-4），以分析TSVs中的横向和垂直热传递[14]。此外，还提出了一种基于从全芯片尺度模型中提取的简化子结构的热阻模型[15]。该模型考虑了微凸点、TSVs、硅基板、重分布层（RDLs）和介电层，能够捕捉垂直和横向的热流，并能够计算填充层、RDLs和后端工艺线（BEOL）层的等效热导率。尽管分析方法对于 TSVs阵列或组件均匀排列的芯片等规则结构非常有效[16]，但当应用于结构复杂且内部组件分布不规则的IC时却面临相当大的挑战，如图1所示。

实验方法提供了直接的热测量数据，对IC热分析具有重要意义。Choobineh等人[17]提出了一种实验-数值方法，通过加热一个芯片并测量相邻芯片的瞬态温度响应，并将其与有限元（FE）模拟结果进行匹配，来确定二维IC堆栈中的芯片间热阻。Wakil等人[18]使用经过实验验证的全局/局部FE模型研究了快速局部热瞬变下TSVs的热机械响应，其中使用了瞬态热测量、翘曲测量、平面内变形测量和微拉曼光谱进行模型验证。Aldaghi等人[19]通过实验评估了电子芯片组的主动/被动冷却策略，并将测量得到的温度数据与深度学习模型相结合，以预测不同工作条件下的印刷电路板（PCB）温度。尽管实验研究提供了宝贵的物理洞察，但它们通常受特定测试结构、测量可行性和实验成本的限制，难以快速获得复杂且空间非均匀IC布局的三维温度场。

最近的基于机器学习的方法，如DeepOHeat和DeepOHeat-v1，通过学习从偏微分方程相关设计配置到温度场的映射来加速3D-IC的热模拟和优化，尽管其性能取决于训练配置、网络架构和可靠性评估[20]、[21]。Hajikhodaverdian等人[22]将机器学习与紧凑的热模型相结合，加速了2D和3D IC的稳态热模拟，与传统的基于机器学习的热模型相比，所需训练数据更少，且预测速度更快。然而，这些基于学习的方法通常需要足够的训练样本或物理信息丰富的训练，当目标IC布局、材料分布、边界条件或热源配置与训练域偏离时，其预测准确性和可靠性可能会降低。

在数值方法中，有限元（FE）分析因能够在规定的材料属性和边界条件下提供详细的温度分布而广泛用于复杂的IC布局。然而，IC组件的多尺度特性通常使得构建和求解详细的FE模型变得资源密集且耗时[15]。由于本研究旨在通过宏观等效模型提高FE热分析的效率，因此FE模型被用作评估所提出方法准确性和效率的主要基准。

为了提高基于FE的IC结构热分析的效率，对于规则或周期性分布的微结构，通常使用等效材料参数。Hoe等人[23]将具有周期性分布TSVs和均匀填充材料的TSV中介层均匀化为一个等效的均匀层，然后使用FE分析研究TSV几何形状对等效热参数的影响。Chien等人[24]构建了一个包含单个TSV的代表性体积元素（RVE），包括铜柱、SiO₂绝缘层和硅基板，并通过经验公式获得x、y和z方向的有效热导率。Xiao等人[25]为3D堆叠IC提出了一种二维各向异性有效热导率模型，基于代表性等效描述评估了TSV结构和SiO₂层的热影响。Nie等人[12]分析了TSVs和凸点的有效热导率，并将该等效描述扩展到TSVs和凸点阵列，然后使用FE模型进行验证。Cheng等人[26]对具有均匀排列TSVs的3D IC进行了热机械耦合分析，使用从包含TSVs的RVEs中提取的等效参数构建了全局等效模型，并为子建模提供了边界条件。这些基于单个RVE或周期性单元格的等效方法通过省略TSVs中的铜柱和绝缘层等小尺度特征，显著降低了计算成本[12]、[24]、[25]。然而，当实际的IC基板、中介层或重分布层包含空间非均匀的铜走线、介电填充物、通孔和焊点时，这些方法的适用性可能会受到限制。

为了解决这些局限性，本研究提出了一种多重RVE宏观等效建模方法，该方法通过逐层精细化的结构化网格程序，在提高IC结构稳态FE热分析效率的同时保留了局部材料统计信息。与适用于周期性或几乎均匀结构的单一RVE方法相比，多重RVE方法通过为不同的矩形元素分配局部等效热属性，更好地保留了非周期性IC布局中的空间变化材料分布。本文的其余部分组织如下：第2节描述了控制方程和提出的建模程序；第3节展示了数值示例并进行了与详细FE模型的比较；第4节讨论了关键建模参数的影响；第5节总结了主要结论。

部分摘要

热分析方法

由于IC结构的多尺度特性，当直接对几何形状进行网格划分进行FE热分析时，通常需要大量的元素。本节首先介绍了热传导问题的FE公式，然后描述了有效热导率模型，最后介绍了提出的多重RVE宏观等效建模程序。本文中的所有数值示例均为稳态情况。

提出方法的验证和适用性

为了检验提出方法的准确性和适用性，首先介绍了一个基于已发表文献中报道的代表性IC热模型的验证案例。随后选择了另外两种IC结构：一种是具有均匀分布TSVs的周期性对称3D IC结构，另一种是非周期性对称的基板结构，具有不规则的铜走线和空间变化的材料分布。前者代表了传统单一RVE的规则布局

参数研究

对于提出的多重RVE模型，宏观元素的数量决定了局部均匀化的空间分辨率。粗略的宏观网格产生的局部RVE较少，计算效率较高，但可能会平均化局部材料变化；精细的宏观网格生成更多的局部RVE，能更好地捕捉等效热属性的空间变化，但计算时间会增加。因此，元素数量的研究将探讨

结论

提出了一种用于IC结构稳态热分析的多重RVE宏观等效建模方法。通过为局部粗略元素分配方向依赖的等效热导率，该方法在保持空间变化材料信息的同时降低了最终FE分析的计算成本。主要结论如下：

(1) 所提出的方法在周期性对称和非周期性结构中的最大温度误差分别为0.28%和0.17%

CRediT作者贡献声明

张晓杰：撰写——原始草案、研究、正式分析、数据整理。孙庆涛：撰写——审阅与编辑、监督、资源协调、方法论、资金申请。刘庆华：监督、资源协调、方法论。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的会影响本文工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作得到了科技创新永江2035项目（Grant 2024Z140）的支持。

张晓杰|孙庆涛|刘庆华