基于平面张拉整体模型的刚性与非刚性折纸折叠模拟机械方法

《Mechanism and Machine Theory》：A mechanical method for folding simulation of rigid and non-rigid origami based on planar tensegrity models

　　

•平面张力整体单元为多边形纸面板提供面外刚度。•无需添加额外几何约束即可消除虚假机构。•位移控制框架可捕捉非线性折叠行为。•旋转控制的形态寻找方法能够实现折叠过程中的引导路径分叉。•基于节点的模型保持低自由度，实现高效仿真。

引言
折纸是一种传统工艺，通过折叠纸张来构建三维结构，而不进行裁剪或粘合。进入21世纪初以来，随着计算机的演进和技术的发展，折纸成为工程领域的重要研究课题。折纸能够通过展开和折叠实现连续的形状变换，使其可以以尽可能小的体积进行存储和运输。这促成了其在可部署临时避难所[1]和卫星太阳能电池板[2]中的应用，以及各种创新的展开机构和机器人系统[3]、[4]。某些折纸结构呈现出独特的力学特性，例如负泊松比和多稳态[5]，使其能够应用于可调谐超材料[6]、[7]以及自展开智能结构[8]。

随着折纸设计和应用的发展，许多折叠仿真方法被开发出来。这些方法基本上可分为基于运动学和基于力学两大类。基于运动学的方法，如球面三角学[9]、回路闭合条件[10]以及等效空间连杆建模[11]、[12]，通过运动学分析追踪刚体折叠运动。这些方法中的模型通常将纸张模拟为刚性和零厚度的面板，并将折痕的旋转角作为设计变量，例如Wu等人[13]和Evans等人[14]的研究。基于运动学的方法及相关模型能够捕捉刚体折叠运动；然而，它们无法预测弹性变形（如面板弯曲/拉伸）以及载荷-位移响应或稳定性。

基于力学的方法可以模拟厚面板和非刚性折纸，这一主题对于增强物理折叠机构的结构性能和承载功能化已获得显著关注[15]、[16]。例如，采用各种柔性模型的有限元分析[17]、[18]、[19]可以捕捉面板和折痕更复杂的变形，例如局部屈曲和应力集中，但涉及耗时的仿真过程。为了在保留最小必要弹性变形的同时降低计算成本，许多降阶模型被提出。最具代表性的是杆-铰链模型[20]、[21]、[22]：杆单元用于表示纸张的拉伸和剪切；铰链用于模拟折痕的折叠刚度和纸面板的弯曲刚度。该模型在提供折纸结构刚度和变形特性真实表征的同时，保持了简单性和高效性。基于该模型，Liu等人[21]提出了一种用于非刚性折纸结构非线性仿真的结构工程方法。基于力学的方法还能够通过表示纸面板为刚体元素（如刚性杆[23]和刚性框架[24]）来模拟刚性折纸。通过分析结构的相容性矩阵，这些方法可以通过刚性假设推导出无穷小机构，然后利用数值积分追踪刚体折叠运动。Zheng等人[25]提出了一种基于有限粒子方法的数值框架，用于分析厚面板折纸结构的动态折叠过程。他们的方法考虑了结构变形与运动学行为之间的耦合。关于仿真方法和模型的全面综述，请参见Zhu等人[26]的研究。

为了高效实现折纸折叠仿真，销接框架，或更具体地说，基于杆件的结构，是最有效且广泛使用的模型之一，例如[23]、[27]、[28]。基于杆件模型的一个关键特征是，代表折纸顶点的节点位置是唯一几何变量。这使得相容性方程的推导和位移边界条件的引入变得简单直接；然而，这使得折痕旋转角的定义和控制变得复杂。基于杆件结构的一个问题是，代表平面的平面杆单元缺乏面外刚度，这导致具有超过三条边的多边形面板出现不稳定性和冗余（无穷小）机构。例如，在建模四边形面板时，杆模型“N4B5”和“N4B6”分别表现出围绕对角线成员的有限机构以及围绕两条对角线的无穷小机构，如图1(a和b)所示。这种局限性对于任何平面杆模型都是不可避免的，因为面内杆元素只能提供面内刚度或约束。对于该问题，需要特殊处理。Schenk等人[20]将四边形面板三角化为两个三角形，并在它们之间放置旋转弹簧以提供弯曲刚度。相容性矩阵通过添加角度约束进行扩展，从而在其零空间中消除面外机构。Zhang等人[23]在四边形平面外补充了一个虚拟点，以创建金字塔状的空间杆模型。Hayakawa等人[29]基于二阶无穷小机构的存在条件排除了面外机构。Hayakawa等人[30]提出了一种面板-点模型，其中面板的顶点坐标受共面性条件约束。这些方法引入了铰链元素、额外的空间自由度或几何约束，或者需要复杂的机构分析，从而增加了模型复杂度。

本研究提出了一种新型张力整体模型，由稳定的平面单元组成，用于模拟由超过三条边的纸面板构建的折纸。平面张力整体单元指的是这样一种预应力销接框架，其组件（节点、受压撑杆、受拉索）由于自平衡而位于同一平面内。具体来说，四边形面板被表示为X形张力整体单元。对于每个单元，沿着对角线有两条相交的受压撑杆，沿着边缘有四条受拉索，如图2(a)所示。该模型与N4B6杆模型（图2(b)）的区别在于元素中是否存在预应力。近年来，张力整体机制的稳定性、动态行为以及机器人应用已被广泛研究[31]、[32]、[33]。X形张力整体是一种所谓的预应力稳定结构，因为它具有适当的预应力分布，达到势能的局部最小值（在保持全等的前提下），详见Connelly等人[34]的研究。该局部最小值对应于移除刚体运动后的正定切线刚度矩阵。因此，刚体折叠模拟器可以通过分析结构的切线刚度矩阵自然排除面外无穷小机构；对于这样的目的，相容性/线性刚度矩阵的分析无法实现。预应力的存在还通过几何刚度贡献了可观且持续的面外刚度，即使处于非平面状态，详见Zhang等人[35]的研究。因此，张力整体模型适用于模拟刚性和非刚性折纸。

本文做出了以下贡献：
•我们提出了平面张力整体单元用于模拟具有超过三条边的多边形纸面板，它们在平面和非平面状态下均呈现面外刚度，并将它们组装为基于节点的折纸模型。该模型保留了折纸的原始节点自由度，并且仅使用轴向成员。
•我们为张力整体模型开发了一种位移控制的非线性分析方法，并再现了折纸的一些典型非线性行为。这验证了所提出的模型与用于经典杆结构的大变形非线性分析方法兼容。
•我们进一步构建了一个旋转控制的刚体折叠模拟器，具有线性预测器和受限形态寻找校正器，能够实现引导路径分叉。

本文其余部分组织如下。第2节介绍平面张力整体公式及其切线刚度分析。第3节详细开发了折叠仿真框架：第3.1节处理位移控制非线性分析——强制位移、基于迭代平衡的路径校正以及面外刚度评估——而第3.2节介绍旋转控制的刚体折叠，包括线性预测器和受限形态寻找校正器。第4节报告了数值实例（Miura-ori、方形扭转、Resch图案），讨论了所提出模型的零刚度模态，第5节得出研究结论。

小节片段
基于预应力的建模
此处，假设折纸面板为凸多边形。三条边的三角形面板被建模为无预应力的杆结构，如图3(a)所示，而凸非三角形面板则被建模为平面张力整体。对于一般的凸非三角形面板，我们通过选择两个相邻边界节点作为中心点，将所有边界边分配为拉索，并将每个剩余的边界节点通过一根对角撑杆连接到一个中心点，来构造Roth多边形张力整体[36]，
折叠仿真方法论
设X ∈ ?^3n 表示张力整体结构的节点坐标。设ΔX为一组任意小的节点位移。总势能的变分关于ΔX展开为Taylor级数为
ΔΠ(X) = ΔX^T ?Π(X)/?X + (1/2)ΔX^T ?2Π(X)/?X2 ΔX + ?
= ΔX^T (D(X)s(X) ? P) + (1/2)ΔX^T K_t(X) ΔX + ?
其中P为外力向量。其一次项给出平衡条件，其中D(X)s(X) ? P = F(X) ∈ ?^3n 表示不平衡力。其二阶项提供了
数值实例
本节给出若干数值实例，以展示所提出公式的适用性和鲁棒性。通过应用所提出的仿真方法，我们展示了三类经典的折纸，以再现刚性和非刚性折叠的行为。在下述实例中，我们假设所有成员的刚度EA = 10?，且特定模型的非三角形面板单元具有相同的预应力水平。对于非刚性折叠，我们根据
结论与未来工作
本研究提出了平面张力整体单元，用于模拟非三角形多边形纸面板，同时保留折纸的原始节点自由度，并且仅使用轴向成员。所提出模型中的预应力贡献了部分几何刚度（或在初始预应力状态下未变形时的完整几何刚度），并在变形运动过程中持续存在。所提出的模型与现有的非线性
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朱立东：写作 – 审阅与编辑，写作 – 初稿撰写，可视化，验证，软件，方法论，资金获取，形式分析，概念构思。张竞尧：写作 – 审阅与编辑，监督，方法论，概念构思。

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作者声明以下财务利益/个人关系，可能被视为潜在的利益冲突：朱立东报告了获得日本科学技术振兴机构提供的资金支持。如果有其他作者，他们声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能被认为会影响本文所报告的工作。
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