一种针对带路径约束的受扰动切换正系统的图论方法

《Nonlinear Analysis: Hybrid Systems》：A graph theory approach to disturbed switched positive systems with path constraints

　　

•提出了一种基于图的策略来处理切换系统中的路径约束。
•该策略允许在周期内独立调整子系统的驻留时间。
•即使所有子系统不稳定且成对不可稳定，它也能确保 L1-增益性能。

引言
切换正系统由一组子系统和一个在它们之间选择的切换信号组成 [1], [2]，同时系统的所有状态和输出变量始终保持非负特性。其应用已发现在经济学、生物学、社会学和通信领域 [3], [4], [5]。稳定性是切换系统正常运行的基本前提 [6], [7]。为解决此问题，开发了各种方法。对于所有子系统稳定的系统，结合平均驻留时间方法构建多个线性协同正 Lyapunov 函数，已在连续时间领域导出了充分的稳定性判据 [7]。在处理由稳定和临界稳定子系统组成的切换正系统时，[8] 提出了对子系统矩阵施加的指数稳定性条件。相反，对于所有子系统均不稳定的挑战性场景，引入了最小驻留时间切换策略以确保稳定性 [9], [10]。

除了内部稳定性外，外部性能分析，特别是受外部干扰影响的切换正系统的 L1-增益问题，仍然是一个突出的研究话题 [11], [12], [13], [14]。与传统 L2-增益不同，L1-增益关注系统响应的总幅度，提供了系统对干扰整体反应更直接的反映。此外，L1-增益对切换系统中的瞬时干扰和动态变化更敏感，使其更适合捕捉干扰的累积效应。因此，与传统 L2-增益相比，L1-增益性能在描述干扰下切换正系统的性能方面更为有效。[15], [16] 报告了关于正系统 L1-增益分析的一系列结果；最近，此类分析与协同正 Lyapunov 函数和各种驻留时间切换策略相结合。结合协同正 Lyapunov–Krasovskii 函数的模式相关驻留时间方法已被用于解决包含部分稳定子系统的系统的异步 L1 控制问题 [17]。基于持续驻留时间切换和协同正型 Lyapunov–Krasovskii 函数，[18] 推导了具有稳定子系统的切换正系统的稳定性和 L1-增益性能分析。这些将协同正 Lyapunov 函数与经典驻留时间切换策略相结合的研究，构成了确保切换正系统稳定性和 L1-增益性能广泛采用且有效的方法论 [19]。然而，现有文献中仍存在一个局限性：上述切换正系统的稳定性和 L1-增益结果依赖于任意切换路径的假设。在实际系统中，切换受到路径约束，这一假设通常失效 [20], [21]。

路径约束是切换系统中的常见现象。示例包括物理或规则限制下的传输（例如交通信号灯的状态转换 [5], [19] 或汽车系统中禁止的直接换挡）以及预设的操作序列（例如网络系统中的通信调度 [22]）。在这些情况下，并非每个子系统都可以从任何其他子系统到达，且允许的切换路径受到约束。为了解决这种受约束的切换，有向图（digraph）提供了一种直观的表示方法，其中节点对应于子系统，边表示允许的转换。这种基于图的框架为在路径约束下研究稳定性和 L1-增益性能提供了结构化基础。在该框架内，现有方法可分为基于图的切换 [23]、基于频率的切换 [24], [25] 和简单环驻留时间切换 [26]。然而，这些研究忽略了外部扰动的影响。在此类干扰下保证稳定性和令人满意的 L1-增益性能面临着相当大的困难，因为它需要协调系统的固有正性、子系统的潜在内部不稳定性以及施加在切换路径上的约束。虽然一些工作已经开始解决干扰效应，例如，[19] 采用驻留时间切换策略来分析多相位交通控制系统的稳定性和 L1-增益性能。然而，它并未考虑实际切换中的路径约束。因此，假设的任意切换路径是不可行的，采用的常规驻留时间策略与现实场景脱节，限制了其实际适用性。因此，产生了一个问题：我们如何在路径约束和干扰下设计一种控制策略，以确保切换正系统的 L1-增益性能？在多相位交通控制系统等应用中，所有子系统可能都是内部不稳定的，这个问题尤为紧迫。这些考虑因素激发了本工作的动机。

为实现上述目标，本文提出了一种新颖的基于环的驻留时间切换策略，用于受外部干扰和路径约束的切换正系统的稳定化和 L1-增益控制。首先，引入切换有向图来建模允许的转换，其中节点表示子系统，边表示允许的切换，从而排除不可行的路径。通过利用有向图中子系统转换的循环特性并构建基于图的时间变 Lyapunov 函数，提出了一种基于环的驻留时间切换方案。然后建立充分条件以确保切换正系统的指数稳定性和 L1-增益性能。所提出的方法提供了优势：它允许所有子系统不稳定，允许任何一对子系统在切换下保持不可稳定，并解决了路径约束和外部干扰下的稳定化和 L1-增益性能问题，从而减少了常规驻留时间切换策略固有的保守性。本文的贡献总结如下：

(1) 在切换正系统的背景下，解决了路径约束问题，即某些子系统之间的转换是被禁止的 [5], [22]。这些约束导致子系统之间存在不可达路径，然而现有研究未能排除这些无效路径 [17], [18], [19]，使其方法不适用。为克服这一挑战，提出了一种切换有向图方法来表征子系统之间允许的转换，从而解决路径约束问题。

(2) 为了解决同时存在外部干扰和路径约束的 L1-增益控制问题，基于切换有向图提出了一种基于环的驻留时间切换策略。所提出的策略为环内的多个子系统设计驻留时间，其中驻留时间可利用同一环中其他子系统的信息进行调整，从而提供适应性和灵活性。相比之下，常规策略如平均驻留时间切换 [27] 和模式相关驻留时间切换 [28], [29] 仅基于子系统自身信息为其设计驻留时间，因此缺乏这种适应性。

(3) 构建了一个基于图的 Lyapunov 函数，其中约束仅施加于子系统之间允许的传输关系上，而不是像现有结果 [17], [18], [19] 那样假设任意切换并对所有可能配对施加约束。因此，约束数量显著减少，导致稳定化和 L1-增益性能的条件更少保守。

符号说明：令 $R^n$ 表示 $n$ 维实向量集，$R^{n \times r}$ 表示 $n \times r$ 实矩阵集。令 $R_+^n$ 表示 $n$ 维非负向量集，$Z^+$ 表示正整数集。记 $\mathbf{1}_n = [1, 1, \dots, 1]^\top \in R^{n \times 1}$（全一向量）。对于相同尺寸的矩阵 $A=[A_{ij}]$ 和 $B=[B_{ij}]$，$A \succeq B$（分别 $A \preceq B$）意味着对于所有 $i, j$，$A_{ij} \geq B_{ij}$（分别 $A_{ij} \leq B_{ij}$）。符号 $\|\cdot\|_1$ 表示 1-范数。

章节片段问题描述与预备知识
在本文中，我们考虑一种连续时间受扰切换正系统，形式为：
$\dot{x}(t) = A_{\sigma(t)}x(t) + B_{\sigma(t)}u(t) + E_{\sigma(t)}\omega(t)$,
$y(t) = C_{\sigma(t)}x(t) + F_{\sigma(t)}\omega(t)$,
其中 $x(t) = (x_1(t), \dots, x_n(t))^\top \in R^n$, $u(t) \in R^r$, $\mathbf{0} \preceq \omega(t) \in R^{n_\omega}$ 和 $y(t) \in R^{n_y}$ 分别为状态、控制输入、干扰输入和输出；函数 $\sigma(t): R^+ \to M = \{1, 2, \dots, m\}$ 是分段常数，作为切换信号，从有限集 $M$ 中确定活动子系统索引；$m \geq 2$ 表示子系统的数量。

具有路径约束的切换系统的 L1-增益控制
在本节中，基于切换控制理论和图论，提出了具有路径约束的系统 (1) 的 L1-增益性能。

定理 1
系统在 $u(t) = K_{\sigma(t)}x(t)$ 作用下，在切换信号 $\sigma(t) \in \mathcal{T}[\delta_1, \delta_2]$ 下实现正性和 L1-增益 $\gamma > 0$，其中 $\delta_2 < -\max_{C_k \in G} \{\frac{\ln \eta_{C_k}}{\alpha_{C_k}}\}$，$\alpha_{C_k} = \sum_{p \in C_k} \alpha_p$ 且 $\eta_{C_k} = \prod_{(p, p') \in C_k} \eta_{(p, p')} < 1$，如果存在标量 $\alpha_p > 0, p \in M$，$\eta_{(p, p')} > 0, (p, p') \in E$，$\mu_p \geq 1$，$\zeta > 0$，向量 $\lambda_l(p) \succ 0, l=1,2$ 和控制增益矩阵 $K_p \in R^{r \times n}$ 使得：
$\Theta_{p,l,q} \preceq \alpha_p \lambda_l(p) - \mu_p C_p^\top \mathbf{1}_n, q=1,2$
$E_p^\top \lambda_l(p) \preceq -F_p^\top \mathbf{1}_n$

示例说明
本节提供了一个交通控制示例和一个对比示例，以证明理论结果的有效性。

例 1
为证明定理 1 的有效性，我们采用了一个十字路口的交通控制模型 [5]。考虑三条主干道（A、B 和 C）汇聚于一个由交通信号灯控制的“三角形交叉口”。设缓冲变量 $x_1, x_2$ 和 $x_3$ 表示每条道路上等待交通信号灯的车辆数量。六个交通信号灯被布置

结论
本文研究了受外部干扰和路径约束的切换正系统的 L1-增益控制问题。通过引入切换有向图来建模允许的切换路径并利用其循环特性，提出了一种新颖的基于环的驻留时间切换策略。结合时间变 Lyapunov 函数，建立了确保指数稳定性和规定 L1-增益性能的充分条件。该方法

CRediT 作者贡献声明
Shuang An：撰写 - 初稿，获取资金。
Xinyuan Tan：撰写 - 初稿。
Ruicheng Ma：撰写 - 审阅与编辑，获取资金。
Jian Li：撰写 - 审阅与编辑。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能影响本文报告的工作。

致谢
本工作得到了国家自然科学基金（62603133, 12271015, 62473183, 62073157）、中国吉林省教育厅科研基金（JJKH20250875KJ）和中国辽宁省教育厅科研基金（JYTMS20230773）的支持。

Shuang An|Xinyuan Tan|Ruicheng Ma|Jian Li