一种求解具有卡普托-哈达玛德导数的分数阶卡瓦拉达问题淬灭解的移动网格有限元方法

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：A moving mesh finite element method for the quenching solution of a fractional Kawarada problem with Caputo-Hadamard derivative

　　

摘要
在本文中，我们提出了一种针对带有时间 Caputo-Hadamard 导数的分数阶 Kawarada 问题有限时间熄灭解的全离散数值格式，其中有限时间熄灭解表明其解的导数在有限时间内可以爆炸，尽管其解在同一有限时间内不会爆炸。空间离散基于移动网格有限元方法以适应解的局部变化，而时间方向则采用 L2-1σ 公式对 Caputo-Hadamard 导数进行近似。然后，我们分析了该格式的稳定性与误差估计。数值实验用于验证该格式的有效性和收敛阶，并进一步探讨域长 L 对熄灭现象的影响。结果表明，所提格式能有效捕捉熄灭现象，该现象发生在 L 超过临界值时。

引言
众所周知，有限时间爆炸和熄灭是非线性演化方程中的两种特殊现象。与有限时间爆炸解不同，有限时间熄灭解意味着解本身在有限时间内始终有界，但其时间导数随着时间 t 趋近于有限值而趋向于无穷大。熄灭现象最典型的例子是以下整数阶 Kawarada 问题 [1]，
???ut(x,t)=uxx(x,t)+11?u(x,t),t>0,x∈(0,L),u(x,0)=0,x∈(0,L),u(0,t)=u(L,t)=0,t>0,
其中 L 是正常数。如果存在 T < ∞ 使得 lim_{t→T,t L* 时，解 u 在 x = L/2 处于有限时间内趋向于 1。事实上，这个 L* 并不完全准确，许多后续研究进一步探讨了熄灭临界值的估计 [2], [3], [4]。
分数阶偏微分方程在捕捉系统的记忆效应、遗传特性和非局部动力学方面具有明显优势，因此越来越受到关注。另一方面，非线性分数阶演化也可能出现熄灭现象，例如 [5], [6], [7], [8], [9]。据我们所知，这方面的大多数研究都基于常用的 Caputo 分数阶导数。然而，存在一些其他分数阶导数定义 [10], [11], [12]，例如 Riemann-Liouville 分数阶导数、Hadamard 和 Caputo-Hadamard 分数阶导数等。其中，我们特别关注 Caputo-Hadamard 分数阶导数。与 Caputo 导数相比，Caputo-Hadamard 导数更适合超慢过程，因为其对数核产生的奇异性弱得多，且记忆效应衰减更慢。这使得它在表征岩浆岩中的超慢蠕变和其他超慢过程中特别有效。[13], [14], [15]。
目前，只有少数论文使用 Caputo-Hadamard 分数阶导数研究熄灭现象，例如 Cao 和 Li [16], [17] 在理论和数值方面都进行了研究。在本文中，我们将讨论带有时间 Caputo-Hadamard 导数的分数阶 Kawarada 问题。
移动网格有限元方法 [18], [19] 可以通过监测函数利用等分布原则动态适应解的网格节点分布。它们可以应用于熄灭问题 [20], [21]。然而，似乎尚未有关于使用该方法研究分数阶 Kawarada 问题的报道。在本文中，我们将使用移动网格有限元方法探索以下带有时间 Caputo-Hadamard 导数的分数阶 Kawarada 问题的熄灭现象，
???CH_D_{α,a,t} u(x,t)=?^2u(x,t)/?x^2 + 1/(1?u(x,t)),t>a>0,x∈I,u(x,a)=ua(x),x∈I,u(0,t)=u(L,t)=0,t>a,
其中 I=(0,L), α ∈ (0, 1), ua(x) 是初始值函数且 L 是给定的正常数。此外，Caputo-Hadamard 分数阶导数的定义是
定义 1.1 令 0 < α < 1 且 v ∈ AC[a, b] 表示由区间 [a, b] 上所有绝对连续函数组成的空间。则 Caputo-Hadamard 分数阶导数定义为
CH_D_{α,a,t} v(t)=1/Γ(1?α) ∫_a^t (log(t/s))^{-α} δv(s) ds/s, 0< />< />其中 δv(s)=s d/ds v(s)。
为了方便后续表达，记 f(u)=1/(1?u)。显然，熄灭前 f(u) 满足局部 lipschitz 条件。
本文组织如下。在第 2 节中，应用移动网格有限元方法推导带有 caputo-hadamard 导数的时间分数阶 kawarada 问题的数值格式。在第 3 节中，我们简要分析数值格式的稳定性及误差估计。在第 4 节中，将推导出的格式应用于问题，给出数值算例以验证理论结果并研究熄灭现象。第 5 节得出主要结论。

章节片段
数值格式
设 tq 表示熄灭时间，并设 t < tq。为了在熄灭前构造数值格式，我们均匀划分时间区间 [a, t]，令 tn = a + nτ, n=0,1,?,n ∈ z+, τ=(t?a)/n。定义 σ=(1?α)/2 且 tn+σ = tn + στ。记 un=u(x,tn) 和 un+σ=u(x,tn+σ)。
在时间方向上，我们在 tn+σ = tn + στ (1 ≤ n ≤ n?1) 处使用 [22] 中建立的以下 l2-1σ 公式对 caputo-hadamard 分数阶导数进行离散，
ch_d_{α,a,t} u(x,t)|_{t=tn+σ} ≈ 1/γ(2?α) σ_{j=1}^{n+1} c(α,σ)_{j,n} (uj?uj?1) := ch_d?_{α,a,t} un+σ,
带有

数值分析
在进行理论分析之前，我们首先给出以下引理。
引理 3.1 对于序列 {vj}_{n=1}^{n+1} 和足够小的 τ，以下不等式成立
(ch_d?_{α,a,t} vn+σ, σvn+1 + (1?σ)vn) ≥ 1/(2γ(2?α)) σ_{j=1}^{n+1} c(α,σ)_{j,n} (||vj||^2 ? ||vj?1||^2),
此外，
(ch_d?_{α,a,t} vn+σ, σvn+1 + (1?σ)vn) ≥ 1/(2γ(2?α)) (c(α,σ)_{n+1,n}||vn+1||^2 ? c(α,σ)_{1,n}||v0||^2),
其中 ||vj|| = (vj, vj)^{1/2}。
证明 证明类似于 [23], [24] 中的证明。
接下来，我们分析全离散格式 (2.15) 和 (2.16) 的稳定性。
定理 3.1 假设 unh 是全

应用
在本节中，建立的格式应用于两个问题。给出数值算例以验证所提数值方法的正确性和有效性，并进一步探测分数阶 kawarada 问题的熄灭时间。
首先，我们向问题 (1.2) 添加一个源项，并计算相应数值解的误差和收敛阶。
问题 4.1 我们研究以下初始 - 边界值问题
???ch_d_{α,a,t} u ? ?^2u/?x^2 = 1/(1?u) + g(x,t), (x,t)∈(0,1)×(1,2], u(x,a)=0, x∈(0

结论
在本文中，我们讨论了带有时间 caputo-hadamard 导数的分数阶 kawarada 问题。空间离散通过移动网格有限元方法完成，而时间离散基于 l2-1σ 公式，从而得到方程的全离散格式。我们给出了相应的稳定性分析和误差估计。进行数值实验以验证所提格式的正确性和有效性，并进一步探测

credit 作者贡献声明
enyu fan: 写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。
changpin li: 写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，监督，软件，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的经济利益冲突或个人关系可能会影响本文报告的工作。
enyu fan|changpin li 其中 δv(s)=s d ds v(s)。 为了方便后续表达，记 f(u)=1/(1?u)。显然，熄灭前 f(u) 满足局部 lipschitz 条件。 本文组织如下。在第 2 节中，应用移动网格有限元方法推导带有 caputo-hadamard 导数的时间分数阶 kawarada 问题的数值格式。在第 3 节中，我们简要分析数值格式的稳定性及误差估计。在第 4 节中，将推导出的格式应用于问题，给出数值算例以验证理论结果并研究熄灭现象。第 5 节得出主要结论。 章节片段 数值格式 设 tq 表示熄灭时间，并设 t < tq。为了在熄灭前构造数值格式，我们均匀划分时间区间 [a, t]，令 tn=a + nτ, n=0,1,?,N ∈ z+, τ=(T?a)/N。定义 σ=(1?α)/2 且 tn+σ=tn + στ。记 un=u(x,tn) 和 un+σ=u(x,tn+σ)。 在时间方向上，我们在 tn+σ=tn + στ (1 ≤ n ≤ n?1) 处使用 [22] 中建立的以下 l2-1σ 公式对 caputo-hadamard 分数阶导数进行离散， ch_d_{α,a,t} u(x,t)|_{t=tn+σ} ≈ 1 γ(2?α) σ_{j=1}^{n+1} c(α,σ)_{j,n} (uj?uj?1) :=CH_D?_{α,a,t} un+σ, 带有 数值分析 在进行理论分析之前，我们首先给出以下引理。 引理 3.1 对于序列 {vj}_{n=1}^{n+1} 和足够小的 τ，以下不等式成立 (ch_d?_{α,a,t} vn+σ, σvn+1 + (1?σ)vn) ≥ 1 (2γ(2?α)) σ_{j=1}^{n+1} c(α,σ)_{j,n} (||vj||^2 ? ||vj?1||^2), 此外， (ch_d?_{α,a,t} vn+σ, σvn+1 + (1?σ)vn) ≥ 1 (2γ(2?α)) (c(α,σ)_{n+1,n}||vn+1||^2 ? c(α,σ)_{1,n}||v0||^2), 其中 ||vj||=(vj, vj)^{1 2}。 证明 证明类似于 [23], [24] 中的证明。 接下来，我们分析全离散格式 (2.15) 和 (2.16) 的稳定性。 定理 3.1 假设 unh 是全 应用 在本节中，建立的格式应用于两个问题。给出数值算例以验证所提数值方法的正确性和有效性，并进一步探测分数阶 kawarada 问题的熄灭时间。 首先，我们向问题 (1.2) 添加一个源项，并计算相应数值解的误差和收敛阶。 问题 4.1 我们研究以下初始 - 边界值问题 ???ch_d_{α,a,t} u ? ?^2u ?x^2=1/(1?u) + g(x,t), (x,t)∈(0,1)×(1,2], u(x,a)=0, x∈(0 结论 在本文中，我们讨论了带有时间 caputo-hadamard 导数的分数阶 kawarada 问题。空间离散通过移动网格有限元方法完成，而时间离散基于 l2-1σ 公式，从而得到方程的全离散格式。我们给出了相应的稳定性分析和误差估计。进行数值实验以验证所提格式的正确性和有效性，并进一步探测 credit 作者贡献声明 enyu fan: 写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。 changpin li: 写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，监督，软件，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。 利益冲突声明 作者声明他们没有已知的经济利益冲突或个人关系可能会影响本文报告的工作。 enyu fan|changpin>其中 δv(s)=s d/ds v(s)。
为了方便后续表达，记 f(u)=1/(1?u)。显然，熄灭前 f(u) 满足局部 lipschitz 条件。
本文组织如下。在第 2 节中，应用移动网格有限元方法推导带有 caputo-hadamard 导数的时间分数阶 kawarada 问题的数值格式。在第 3 节中，我们简要分析数值格式的稳定性及误差估计。在第 4 节中，将推导出的格式应用于问题，给出数值算例以验证理论结果并研究熄灭现象。第 5 节得出主要结论。

章节片段
数值格式
设 tq 表示熄灭时间，并设 t < tq。为了在熄灭前构造数值格式，我们均匀划分时间区间 [a, t]，令 tn = a + nτ, n=0,1,?,n ∈ z+, τ=(t?a)/n。定义 σ=(1?α)/2 且 tn+σ = tn + στ。记 un=u(x,tn) 和 un+σ=u(x,tn+σ)。
在时间方向上，我们在 tn+σ = tn + στ (1 ≤ n ≤ n?1) 处使用 [22] 中建立的以下 l2-1σ 公式对 caputo-hadamard 分数阶导数进行离散，
ch_d_{α,a,t} u(x,t)|_{t=tn+σ} ≈ 1/γ(2?α) σ_{j=1}^{n+1} c(α,σ)_{j,n} (uj?uj?1) := ch_d?_{α,a,t} un+σ,
带有

数值分析
在进行理论分析之前，我们首先给出以下引理。
引理 3.1 对于序列 {vj}_{n=1}^{n+1} 和足够小的 τ，以下不等式成立
(ch_d?_{α,a,t} vn+σ, σvn+1 + (1?σ)vn) ≥ 1/(2γ(2?α)) σ_{j=1}^{n+1} c(α,σ)_{j,n} (||vj||^2 ? ||vj?1||^2),
此外，
(ch_d?_{α,a,t} vn+σ, σvn+1 + (1?σ)vn) ≥ 1/(2γ(2?α)) (c(α,σ)_{n+1,n}||vn+1||^2 ? c(α,σ)_{1,n}||v0||^2),
其中 ||vj|| = (vj, vj)^{1/2}。
证明 证明类似于 [23], [24] 中的证明。
接下来，我们分析全离散格式 (2.15) 和 (2.16) 的稳定性。
定理 3.1 假设 unh 是全

应用
在本节中，建立的格式应用于两个问题。给出数值算例以验证所提数值方法的正确性和有效性，并进一步探测分数阶 kawarada 问题的熄灭时间。
首先，我们向问题 (1.2) 添加一个源项，并计算相应数值解的误差和收敛阶。
问题 4.1 我们研究以下初始 - 边界值问题
???ch_d_{α,a,t} u ? ?^2u/?x^2 = 1/(1?u) + g(x,t), (x,t)∈(0,1)×(1,2], u(x,a)=0, x∈(0

结论
在本文中，我们讨论了带有时间 caputo-hadamard 导数的分数阶 kawarada 问题。空间离散通过移动网格有限元方法完成，而时间离散基于 l2-1σ 公式，从而得到方程的全离散格式。我们给出了相应的稳定性分析和误差估计。进行数值实验以验证所提格式的正确性和有效性，并进一步探测

credit 作者贡献声明
enyu fan: 写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。
changpin li: 写作 - 审阅与编辑，写作 - 原稿，可视化，验证，监督，软件，方法论，调查，资金获取，形式分析，数据管理，概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的经济利益冲突或个人关系可能会影响本文报告的工作。
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