面向矩阵演化方程的显式矩阵指数时间差分（METD）方法及其在刚性系统中的应用

《Journal of Computational Physics》：Exponential time differencing for matrix-valued dynamical systems

　　

摘要

矩阵演化方程出现在许多应用中，例如优化和随机控制、机器学习或数据同化中的动态 Lyapunov/Sylvester 系统或 Riccati 方程。在许多此类问题中，主导稳定性限制是由刚性线性项强加的，这使得标准显式积分器不切实际。已知指数时间差分（ETD）可以通过精确处理线性项来产生高度稳定的数值格式。特别是对于刚性问题，ETD 方法是首选方法。我们通过推导显式矩阵-ETD（METD）格式，将 ETD 扩展到形式为 $\dot{Q}=LQ+QR+N(Q,t)$ 的矩阵值演化方程。当 L 和 R 交换时，我们构造了一个显式的 p 阶 METDp 族，并在标准假设下证明了 p 阶全局收敛性；对于非交换情况，我们开发了一种基于 Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）的扩展。这使得我们能够产生高效且稳定的积分格式。我们在刚性偏微分方程衍生问题和大规模矩阵动力学上展示了效率和适用性，包括 Allen-Cahn 系统、湍流射流波动统计以及连续图神经网络。我们进一步表明，在大规模高秩刚性系统中，该格式比竞争性格式更准确、更稳定且更高效。

Nayef Shkeir|Tobias Grafke