用于跨尺度材料本构建模的人工智能

《Progress in Materials Science》：Artificial intelligence for constitutive modelling of materials across scales

　　

## 摘要

固体材料本构模型涉及运动学描述、基本守恒原理的确保，以及将运动学项与所关注的力学参数联系起来的本构定律。跨越巨大时空尺度的级联事件，叠加高温、高压、高速或高变形速率等多种极端条件，以及多场耦合，使现有本构定律的有效性受到质疑。借助日益丰富的数据和人工智能（AI）的进步，本文系统性地考察了人工智能本构建模（AICON）在离散系统、连续介质材料、尺度跨越和复杂材料系统中的进展。我们预期，在不久的将来，目前彼此孤立的AICON模型将很快被整合到计算机辅助工程（CAE）系统中，在广度和深度上均具备前所未有的高效率、高保真度、强泛化能力，且在完全成熟后易于使用。通过突出近期的方法学进展，我们指出了AICON必须应对的主要挑战，并概述了未来有前景的发展方向以及在实现CAE范式转变中至关重要的共享协议。

## 引言

纵观历史，数据在科学活动和发现中的使用与科学本身一样古老。一个令所有力学工作者引以为傲的伟大范例是开普勒行星运动三大定律的建立——这是基于其导师第谷·布拉赫精心收集的数据所做出的精妙发现。这无疑是牛顿提出行星（特别是月球）在引力作用下保持圆形轨道这一概念的基石——这种引力与两物体中心之间距离的平方成反比。

聚焦于固体力学，日常生活中关于伸长量与施加力（载荷）之间存在线性关系的经验智慧，早在东汉时期（127–200 CE）就被郑玄记载，其中以弓的拉伸（见Fig. 1.1a）作为典型例子。然而，真正提出一系列实验步骤并以书面数学形式表述这一关系的是罗伯特·胡克，如图1.1b所示。这本质上是最广泛使用的本构定律。后来，克里斯蒂安·惠更斯指出，这种线性关系仅在小变形范围内成立：对于中等和较大变形，偏离线性响应的方式是材料特有的——这是对线性区域之外本构定律的进一步理解。

事实上，发展本构定律中蕴含着一种古老的智慧：其科学概念可能晦涩，但具有实用的鲁棒性。根据《三国志》记载，曹冲（196–208 CE）是一位神童，他运用了浮力原理，提出了将大象放在船上并标记水面的方法（见Fig. 1.1c）。在将大象替换为其他物体（例如石头），直到船下沉到相同的水面标记为止，我们就可以通过将所有石头的重量相加来确定大象的重量。在"大象的重量 = 排开石头的重量"这个等式背后，这种等价性体现了一种典型的本构定律：水面标记与所加载物体的重量相结合，模拟了日常使用称重设备的精确机制。

胡克定律的故事反映了本构建模的重要性，它在广泛的工程科学领域起着关键作用。许多研究者一直探索或正在追求的一种常见做法是，建立刺激与由此产生的响应之间的关系——不仅是因果关系，还以定量的方式，通过将纯科学学科（如物理、数学、化学或生物学）和工程学科（计算机、电气、机械、材料、医学等）结合起来实现。通过将基础知识与工程方法相结合，我们将科学发现转化为新技术，赋予自己应对严峻挑战的能力，并推动全球社会的福祉。这正是机械工程师真正擅长的领域——将物理定律表述为数学弱形式，以便我们高精度地解决工程问题。

固体力学是一个致力于通过加强对数学、科学、统计和工程原理的理解与综合应用，来创建和优化与结构相关的解决方案的学科分支。该领域的研究者始终密切关注采用各种新型科学和工程工具来开发本构模型。我们既拥有数学工具，也具备工程经验，来关联事物之间的因果关系（作用与运动、力与平衡）。特别是，由于结构设计严重依赖于先进计算，本构建模的准确性和效率因此对高精度设计至关重要。韦斯皮尼亚尼有一句精辟的论述："物理学家在数学严谨性、计算方法和直觉之间取得了一种特殊的平衡。我们是近似艺术的大师。"[2] 这句话清楚地反映了本构建模的精髓：我们只是在各种条件下对固体的真实行为进行近似。正是在这些场景中，人工智能（AI）可能会赋予我们在科学数据分析能力上的一次重大飞跃，帮助我们以更少的消耗找到更好的本构关系。

固体材料本构模型涉及运动学描述、将运动学项与所关注的力学参数联系起来的本构定律，以及基本守恒原理的确保。

**(1)** 本构模型的运动学涉及在不同构型（例如，施加载荷后物体的变形状态、物体初始状态的参考构型）下位移场的各种导数，以及各种空间和时间导数。作为前提，我们确定应变的形式，使其将与感兴趣的应力形成热力学一致的工作共轭对，同时保持坐标旋转和变换的客观性。

**(2)** 本构定律表征了材料和结构特性在外部作用下的本质差异，并将物理量与环境或刺激相关因素联系起来。上述胡克定律、理想气体定律、电路中的电流和电压关系、牛顿定律（描述两个物体之间的万有引力，即引力常数、它们的质量和它们距离的平方的倒数之积）等等，都是广泛使用的常见本构定律。跨越巨大时空尺度的级联事件，叠加多种边界条件，使固体的本构行为的物理描述变得复杂。更具挑战性的是，在极端条件（如高温、高压、高速或高变形速率）以及多场耦合（涉及两个或多个交织在一起的场，如机械、化学、生物、电学本质等）下的激励应用，使现有本构定律的有效性受到质疑。正如诺贝尔奖得主尤金·维格纳所指出的："……自然定律都是条件性陈述，它们仅与我们对世界认知的一小部分相关。"[3] 在本构建模的发展中，无论是自上而下的方案，还是在传统条件性陈述可能被打破的极端条件下，都存在巨大的空间，并且这两种场景的实验数据都很稀缺。

**(3)** 基本守恒原理应予以确保，通常涉及线性动量平衡、可变形固体中的平衡以及热力学定律。通常，热平衡、能量守恒和自然热力学过程中的非负熵增被置于首要位置。

本构建模的一种常规方法是物理定律与参数拟合相结合。通常，它始于对固体可用应力-应变曲线及其变形机制的考察，既包含经验理解，也包含具体的物理原理。基于这些信息，可以开发出嵌入物理定律的本构定律。随后，通过与精心设计的基准问题进行比较来评估其有效性，以筛选出预测能力（即在涵盖一系列维度及其关注范围内的能力），例如对应变率、温度、静水压力、电场或磁场、相关物质浓度的依赖性等。这些基准测试对于旨在实现高维相关性的模型至关重要，在这些模型中，材料在宽尺度范围内或跨尺度的相互作用仍然难以解析。一种常见做法是采用丰富的内变量来捕捉这些难以理解的机制。这启发了机器学习的应用，这是一种解决那些过于模糊和复杂而无法用逐步公式描述的问题的新范式。

我们目前见证的人工智能的显著进步已经彻底改变了科学计算的面貌。这一进步主要由两个关键推动因素驱动：海量数据集的可用性和计算资源的指数级增长。AlphaGo、AlphaFold、盘古和ChatGPT系列等里程碑式成就展示了人工智能系统在发现潜在规则、推断模式和在极其复杂的环境中做出决策的非凡能力。这些里程碑同时也是材料科学和固体力学中日趋复杂的系统研究的隐喻。

广义地说，人工智能在以下几类典型问题上展现出独特优势：

**(1)** 有限数量的规则与大量组合（例如，国际象棋、交通、逻辑）或构型（例如，蛋白质折叠、深势）。组合爆炸正是人工智能擅长的这一问题类型。

**(2)** 不断变化的环境，等待智能体做出决策（例如，按需自动驾驶、遏制大流行病的蔓延）。需要智能体在有限时间内处理大量信息并做出决策的动态环境，如自动驾驶系统。目前，人类在从任意角度和随机方式识别物体方面仍然远优于人工智能智能体。

**(3)** 海量数据、图片和视频，需要提取特征并根据需求模拟响应（例如，语音识别、ChatGPT、Siri）。人工智能在发现引导复杂过程或支配不同外部表现模式的东西方面往往非常强大。

**(4)** 部分建立的物理原理、经验趋势或结构规律性可作为先验知识的問題。地震、极端天气、野火等罕见但灾难性的事件可能属于此类。

在科学计算领域，人工智能不仅提供了更快的计算，还为编码和发现知识提供了一种根本性的新范式。传统的数值方法——如有限元法或有限差分法——根据明确制定的控制方程求解适定问题。相比之下，基于人工智能的框架尝试直接从数据中学习映射或算子，当底层定律过于复杂、非线性或无法用解析方式表达时，绕过显式表述。

对于固体力学和材料科学等学科而言，这种范式转变尤其具有变革性。本构建模长期面临两个内在挑战（见Fig. 1.2和Fig. 1.3）：(1) 对多尺度物理机制的理解不完整，以及 (2) 实验数据稀缺或异质性，特别是在极端或耦合加载条件下。

如图1.3所示，本构行为和失效源于跨尺度缺陷的相互作用、它们激活的基础物理机制以及描述它们的经典模型之间的博弈，最终决定了宏观性能和服务性能。人工智能能够从有限数据中提取结构并近似高度非线性、高维关系的能力，为发现潜在的本构关系、推断缺失参数和跨尺度整合知识提供了一条有希望的路径。

超越简单的模式识别，现代人工智能方法——特别是物理信息神经网络（PINNs）和算子学习框架——架起了数值求解器与科学发现之间的桥梁。这些模型可以将守恒定律、热力学约束和对称性要求纳入其架构或损失函数中，从而在保持数据适应性的同时促进物理一致性。这些发展使得人工智能不仅能够加速模拟，还能识别控制方程、量化不确定性并探索此前未经检验的材料行为区域。

本质上，科学计算中的人工智能标志着从计算驱动发现向数据增强推理的转变。对于本构建模而言，这一演进重塑了传统工作流程：研究人员不再需要手动构建本构形式和校准参数，而是可以训练同时从数据和物理中学习的模型，朝着自主模型生成、自校正预测框架和最终知识驱动模拟生态系统的方向发展。这些通用的人工智能能力推动了物理与数据在本构建模中的整合，自然地引向了下面所描述的人工智能本构建模范式。

石头和木头本身不会为我们带来一座城堡。

为了充分发挥人工智能的潜力，我们提出通过协调本构建模中人工智能（AICON）的进展，将其构建为一个科学框架：在AICON中，人工智能被用于表征、识别或发现本构关系，这些本构关系将材料状态和加载历史与力学上（或与其他场相关联的特征）相关的响应和状态演化连接起来。AICON模型可通过四个紧密相关的属性来表征。首先，所学习的组件必须执行一个可识别的本构任务，而不仅仅是预测整体结构响应或对材料数据进行分类。其次，其输入、输出和状态变量应具有清晰的物理含义，或明确与材料状态表征相关联。第三，模型应纳入或系统性地对照运动学、客观性、材料对称性、热力学、稳定性和数值适定性等相关要求进行评估。第四，其性能不仅应通过插值精度来评估，还应通过其跨越边界进行泛化的能力来评估，包括加载路径、材料状态、空间和时间尺度以及环境条件，同时保持足够的鲁棒性和效率以用于计算力学。这一定义使AICON在建模结构和扩展能力上区别于力学和材料科学中的一般机器学习应用。AICON的需求源于传统本构建模的三大相互关联的局限性。

第一个局限性是表征复杂性。材料响应往往源于跨多个空间和时间尺度的相互作用机制，包括缺陷运动、相变、微观结构重排、扩散、损伤和多物理场耦合。为这种行为规定一个紧凑的解析形式和一组完整的内部变量通常是困难的，尤其是当相关机制仅被部分理解时。人工智能提供了灵活的函数表征和状态学习能力，可以补充、扩展或有助于发现传统本构结构。

第二个局限性涉及数据的可获得性和特性。实验测量往往稀疏、嘈杂、间接且局限于有限的加载路径范围，而高保真仿真可能提供更丰富的信息，但继承了底层物理模型的假设和误差。因此，本构数据集不仅在规模上有限，而且在来源、分辨率和可靠性方面也是异质的。在这种情况下，不受约束的数据拟合可能不足以解决问题。力学原理作为物理上合理的归纳偏置，可以缩小可接受的假设空间，提高数据效率，并有助于协调实验、仿真和多个尺度获得的信息。

第三个局限性是超出标定域之外的预测可靠性。工程本构模型通常需要在标定数据中不存在的情况下使用，例如不同的加载路径、应变率、温度、时间范围、微观结构或耦合条件。此外，一个在材料点测试中表现良好的模型在递归状态更新过程中仍可能累积误差，在边值问题中失去稳定性，或降低有限元求解器的收敛性。因此，本构智能需要不仅仅是准确的回归：它需要能够表征材料状态、尊重支配性的物理结构、量化预测不确定性，并在嵌入多尺度和结构仿真时保持可靠性。

尽管取得了 rapid 进展，AICON尚未汇聚成一套被广泛接受的建模范式、基准问题、数据集或验证协议。当前的研究采用不同的状态变量、加载方案、物理约束、神经架构和成功衡量标准，使得直接比较困难。在许多研究中，训练分布内的精度仍然是主要指标，而外推能力、热力学一致性、不确定性、求解器稳定性和计算成本则较少被系统地评估。因此，该领域在方法论上仍然是碎片化的，在个别模型类别中取得了显著进展，但尚未有一个被广泛接受的本构学习、验证和发现的框架。在本综述中，我们系统地考察了AICON在不同尺度上的进展，并采用自底向上的方法，从第2节介绍离散系统的进展，第3节连续介质材料，第4节多尺度桥接，以及第5节复杂系统。通过将人工智能驱动的本构建模框架化为一个科学学科而非算法工具箱，我们既突出了方法论的进展也揭示了开放挑战，为智能、物理驱动的本构建模新时代奠定了基础，该建模可以无缝集成到计算机辅助工程（CAE）系统中。

各章节概要

离散结构的人工智能：离散系统的本构定律，从原子到颗粒，归结为基本构建单元之间的相互作用及其集体能量公式。在原子和分子层面，通过经验势函数进行相互作用是科学界的常见做法。从微观到介观尺度的颗粒，在一个广泛的光谱范围内，颗粒材料的微观结构可以通过在适当考虑机械相互作用的情况下以颗粒级精度进行建模。

连续介质材料的人工智能：连续AICON的目标是建立变形、应力、储能、耗散、内部变量和环境场之间具有预测性和计算可用性的关系，同时尊重相关的力学和热力学要求。根据材料行为和建模策略，所学习的组件可以采取直接本构映射、储能或耗散势、内部状态演化定律、数据驱动的形式。

多尺度和时间建模的人工智能：弥合从原子到工程结构的巨大时空差距仍然是材料科学和固体力学中的核心挑战之一。这一挑战不仅是技术性的，而且是根本性的：材料行为源于在空间和时间上跨越十多个数量级的耦合物理过程的相互作用。理解、预测并最终控制这种涌现现象对于揭示材料响应的物理起源并实现至关重要。

复杂材料系统的人工智能：在复杂材料系统层面，局部本构行为仍然是本质性的，但仅凭它已不足以确定系统性能。工程结构的长期可靠性、生物组织的功能演化和能源系统的退化源于材料状态、结构层级、环境条件、加载历史和不断演化的损伤机制之间的相互作用。因此，核心问题转移到……

讨论与展望：人工智能的最新进展已经重塑了追求科学理解的方式，不仅仅是作为计算加速器，而且越来越多地作为发现的合作伙伴。Krenn等人[429]提供的一个图表描述了人工智能可以为科学理解做出贡献的三种可能方式：计算显微镜、灵感来源和理解智能体。如英国皇家学会的书籍[430]中所详述的，"计算显微镜"指的是人工智能在……中的角色

CRediT作者贡献声明

Jici Wen：撰写—初稿、可视化。Yunjiang Wang：撰写—审阅与编辑、撰写—初稿、可视化。Yanlong Zhang：撰写—审阅与编辑、可视化。Yujie Wei：撰写—审阅与编辑、撰写—初稿、可视化、监督、概念化。

未引用参考文献[299]，[300]。

利益冲突声明

作者声明不存在任何已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能影响本文所报告的工作。

致谢

我们感谢国家自然科学基金杰出研究项目"非线性力学中的多尺度问题"（编号：12588201）、国家自然科学基金（项目编号：12472112）以及中国科学院战略先导科技计划（项目编号：XDB0620103和XDB0510301）的支持。

Jici Wen | Yunjiang Wang | Yanlong Zhang | Yujie Wei