基于卷积神经网络的物理信息驱动流场预测及高速度梯度区域误差校正

《Heliyon》：Physics-informed flow field prediction with high-velocity-gradient region error correction using convolutional neural networks

　　

摘要与亮点

• 利用修正后的速度向量和局部雷诺数对流场进行重新预测。• 从局部雷诺数分布的角度分析预测误差。• 施加相关性修正以降低CNN模型的初始预测误差。• 在不同流动条件下的数据集上验证了泛化能力。

摘要

人工智能技术已广泛应用于流场重构，与传统的数值模拟相比，显著降低了计算成本。然而，AI模型中的预测误差不可避免，对这些误差进行系统性分析和修正的研究仍显不足。特别是，在边界层和剪切层等小尺度、高速率梯度区域，预测误差相对较高。本研究提出了一种将物理信息融入神经网络以降低预测误差的方法，从而引导模型关注小尺度流动特征。具体而言，采用了一种新的数据预处理方法来向量化速度场数据，包括速度大小和方向特征。卷积神经网络模型建立了几何表征特征与速度向量场之间的映射关系。此外，利用局部雷诺数分布分析速度预测误差，为高误差区域提供了物理见解。根据该分析，基于相关性修正对初始预测的速度向量进行修正，然后利用带有注意力模块的神经网络，基于修正后的速度向量和局部雷诺数特征对流场进行重新预测。在绕流障碍物和翼型数据集上进行了相同的测试，预测误差显著降低，表明所提方法具有改进的预测能力。

图示摘要

1 引言

量化地球物理、生物学和工程系统中的流动动力学通常依赖于对流场的全面了解，这仍然是实验流体力学和计算流体力学的核心关注点[]。现有的实验技术可以提供有关流动结构的宝贵见解，但通常受限于测量分辨率和域大小，在血管血流等复杂内部结构中具有极大的挑战性[]。因此，在实验约束下准确表征和分析真实流场仍是实验流体力学中的一个重大挑战。从计算流体力学的角度来看，流场是通过求解控制偏微分方程获得的。虽然可以通过直接数值模拟或求解近似控制方程获得精确解，但高保真模拟需要巨大的计算成本，给现有计算资源带来沉重负担[，]。

随着AI技术的出现，计算成本的显著降低和预测精度的提高展示了数据驱动技术在处理高保真模拟数据方面的潜力[，]。随着大量模拟数据的积累，AI技术已成功应用于翼型分析[]、风力涡轮机优化[]和室内通风管理[，]等领域。这些方法从大量数据集中提取有价值的信息，并提供了近似复杂非线性函数的强大能力[]。因此，数据驱动技术越来越多地被用于估计隐藏流动变量和重构流场。Fukami等人[]提出了CNN和混合降采样跳跃连接/多尺度(DSC/MS)模型，以极高的精度从极其粗糙的流场图像重构高分辨率湍流。Huang等人[]讨论了一种结合CNN和长短期记忆(LSTM)网络的混合深度学习模型的开发，用于根据历史2-D投影在线原位预测3-D火焰演化。该方法利用体积层析成像生成综合数据集，与传统数值模拟相比显著提高了预测速度和精度。Raissi等人[]引入了物理信息神经网络(PINNs)来求解非线性偏微分方程，能够推断压力和粘度等隐藏量。结果表明，PINNs即使在存在稀疏或有噪声数据的情况下，也能高精度地重构流场并识别隐藏的物理参数。尽管这些研究达到了一定的预测精度，但对模型预测误差的系统性分析仍然有限，尽管这些误差在训练和推理过程中是不可避免的。特别是，CNN在边界层和剪切层等小尺度、高速率梯度区域的预测误差相对较高，因为这些区域占据流场的比例小于重复出现的大尺度速度信息。因此，有必要实施预测误差修正策略以提高流场重构的准确性。

在流体力学领域，有几项研究利用AI技术来修正流场或其相关流动变量的误差。Liu等人[]基于多元线性回归、径向基函数神经网络和Elman神经网络提出了三种数值风速预测的修正方法。这些误差主要源于数值天气预报的粗糙空间分辨率。这些修正方法提高了风力发电预测的精度。Hanna等人[]提出了一种基于机器学习的代理模型，用于预测粗网格计算流体力学模拟中的局部误差并修正流动变量。对于溢流坝中的高速度充气流动，传统的两相模型(流体体积法、混合模型和欧拉模型)缺乏现实物理描述，导致流场速度和空气浓度模拟存在差异。为解决此问题，Li等人[]提出了一种误差修正的群体平衡模型，将机器学习算法——支持向量机和装袋集成方法——整合到传统的群体平衡模型中，以修正流场速度和空气浓度的数值误差。通常，这些研究中的误差源于粗网格或控制方程缺乏物理现实机制。通过利用神经网络从数据中学习，这些方法旨在预测或减轻数值模拟结果中的误差。尽管这些方法具有令人满意的预测能力，但对神经网络本身固有的预测误差以及如何进一步降低它们的研究仍然有限。特别是，这些模型通常关注重复信息而忽视了小尺度但关键的特征。

为克服上述问题，本研究提出了一种物理信息引导的修正与重新预测框架，以系统性地分析和降低流场重构中CNN的预测误差，特别是在小尺度、高速率梯度区域。代表性先前研究与本研究之间的比较总结于表1中。与主要关注直接流场重构或数值模拟误差修正的先前研究相比，本研究的创新之处在于明确分析和修正基于CNN的流场重构中固有的预测误差。首先，速度场使用3通道向量化形式表示，包括速度大小、cos θ和sin θ，这避免了直接角度预测引起的不连续性问题，并提高了速度向量重构的一致性。其次，引入局部雷诺数作为物理指标，用于识别初始CNN模型倾向于产生较大速度大小预测误差的小尺度高速率梯度区域。第三，开发了一种逐步修正和重新预测框架，其中相关性修正改善了预测速度向量的局部方向性和空间一致性，而局部雷诺数引导的注意力模型增强了小尺度高梯度区域的速度大小预测。定量来看，与初始CNN模型相比，所提方法将三个输出通道的MSE分别降低了43.87%、39.62%和34.70%。还在绕流障碍物和翼型数据集上进行了相同测试，以评估所提方法对不同流场数据集的潜在适用性。

表1 代表性先前研究与本研究在预测误差分析和修正策略方面的比较

研究 | 主要目的 | 预测误差分析 | 修正策略和重点
---|---|---|---
Fukami等人[] | 湍流的高分辨率重构 | 非主要关注点 | 基于CNN模型直接重构；显式误差修正有限
Huang等人[] | 从2-D投影历史预测3-D火焰演化 | 未明确分析 | 基于CNN-LSTM预测；显式误差修正有限
Raissi等人[] | 物理信息学习求解PDE并推断隐藏变量 | 非主要关注点 | 物理信息神经网络；误差修正隐含考虑
Hanna等人[] | 粗网格CFD模拟的局部误差预测 | 分析数值模拟误差，而非CNN预测误差 | 基于机器学习的粗网格CFD误差预测；部分考虑高梯度区域
本研究 | 基于CNN的流场重构，含高梯度区域误差修正 | 利用局部雷诺数分布明确分析CNN预测误差 | 相关性修正与局部雷诺数引导的重新预测；明确针对小尺度高梯度区域

2 方法

在本研究中，通过OpenFOAM-11进行的模拟获得私有流场数据，并采用了一种新的数据预处理方法，特别是在向量化流场数据方面。图1(a)和(b)分别展示了数据准备和基于CNN的流场重构的流程图。具体而言，根据指定的流体域和边界条件进行数值模拟以获得速度场数据。随后，基于流体域和边界条件生成几何表征，作为CNN模型的输入。详细的边界条件见第2.1节。速度场数据被向量化为速度大小(R)和方向角(θ)，θ进一步转换为其余弦(cos θ)和正弦(sin θ)分量。因此，CNN模型的输出由3通道配置组成。数据集被随机打乱并分为三部分：训练数据(60%)、验证数据(20%)和测试数据(20%)。训练CNN模型建立几何表征与速度向量场之间的映射关系。当相关指数φ大于阈值φ0时，CNN模型的初始预测速度向量场会被修正，然后基于修正后的速度向量和局部雷诺数特征对流场进行重新预测。具体阈值见第2.3.2节。

图1 所提框架的流程图，包括(a)数据准备和(b)基于卷积神经网络(CNN)模型的流场重构，含初始预测、相关性修正和重新预测过程。

2.1 CNN建模的数据准备

通过各种进出口配置获得的流场数据通过数值模拟得到。计算域定义为长宽各0.1 m的区域，如图S1所示。进出口中心沿y轴从0.006到0.094 m，每个的特征长度为0.012 m。边界条件如下：入口速度固定为0.3 m/s，出口压力设为0 Pa，壁面处理为无滑移边界。本研究选择空气作为流体，密度为1.204 kg/m3，运动粘度为1.516 × 10?? m2/s。对于CFD模型，使用流体动力学的控制方程，包括不可压缩流体的连续方程和动量守恒方程[]，如补充材料所示。网格无关性测试和数值模拟的基准验证见图S2，其中所选网格数量显示出收敛的出口速度，且盖子驱动空腔速度剖面与基准参考吻合良好。

2.2 数据预处理

2.2.1 私有数据集预处理

数据预处理涉及将原始数据转换为适合直接集成到CNN模型中的格式。对于私有数据集，该过程始于基于计算域和边界条件构建几何表征矩阵。几何参数包括原始坐标位置(0, 0)、对角坐标位置(0.1, 0.1)、进口中心坐标(0, Y_inlet)、出口中心坐标(0.1, Y_outlet)，如图S1所示。为了构建几何表征矩阵，相应的参数方程由公式(1)–(3)表示：

F? = f(x_D, y_D), (1)

F? = f(x_I, y_I, l_I), (2)

F? = f(x_O, y_O, l_O), (3)

其中x_D和y_D表示x和y方向上的对角位置，定义了计算域的外轮廓；原始坐标位置不一定包含在F?中。此外，x_I、y_I和l_I分别表示进口中心在x和y方向的位置以及进口长度，而F?的值被赋为进口速度。类似地，x_O、y_O和l_O分别表示出口中心在x和y方向的位置以及出口长度，而F?的值被赋为出口压力。

2.2.2 公开数据集与预处理

对于绕流障碍物数据集[]，共包含981个案例。不同障碍物几何形状的边界条件保持一致，包括恒定进口速度、零梯度出口速度和顶部/底部壁面及障碍物表面的无滑移边界条件。为与原文保持一致，数据集被划分为训练数据(70%)和测试数据(30%)。

初始预测阶段的模型输入包括几何形状的3通道有符号距离函数（SDF）以及边界条件设置，而模型输出则包含3通道的流场数据，即U、V和P。对于翼型数据集[]，自由流马赫数为0.1，雷诺数为9 × 10?。湍流封闭采用Spalart–Allmaras单方程湍流模型，层流-湍流转捩效应采用Medida–Baeder双方程转捩模型进行处理。选取攻角为4°的算例，共计8996个算例。数据集随机打乱后分为训练数据（60%）、验证数据（20%）和测试数据（20%）。模型输出同样包含3通道的流场数据（U、V、P）。由于数据集未直接提供几何表示，几何表示由翼型表面坐标构建，翼型表面及其内部赋值为1，其余区域赋值为0。关于这两个参考数据集的更多信息将在后续章节中讨论。

2.3 神经网络架构

2.3.1 整体网络结构

CNN通过其滤波算子，擅长从大量数据中提取特征，已被应用于图像分割、识别以及高维流体数据处理等任务[,,]。如图2所示，所提出的神经网络框架包含三个顺序阶段：初始流场预测[图2(a)]、相关性校正[图2(b)]以及基于注意力的重新预测[图2(c)]。融合注意力模块的详细U-Net架构如图2(d)所示。在初始预测阶段，基于U-Net的CNN模型学习从几何表示$\tilde{q}_1$到初始预测速度矢量场$\tilde{q}_2$的非线性映射，可表示为$\tilde{q}_2 = F_{CNN}(\tilde{q}_1)$。在第二阶段，使用局部相关性校正算子$c(\cdot)$对初始预测的速度矢量误差进行校正，得到校正后的速度矢量场$\tilde{q}_3$。具体而言，在7×7的搜索窗口内，通过计算中心位置与周围48个值之间的均方误差来计算相关性指数$\varphi$。如果$\varphi$大于阈值$\varphi_0$，则用周围48个值的局部中位数替换初始预测的速度大小和方向。由于各输出通道的数据分布不同，校正过程对三个通道分别执行。在第三阶段，从初始预测流场计算局部雷诺数特征$\tilde{q}_4$，以识别小尺度高速度梯度区域。然后将校正后的速度矢量场和局部雷诺数特征作为输入送入带有注意力模块的另一个CNN模型，得到最终的重新预测流场$\tilde{q}_5 = F_{CNN-AM}(\tilde{q}_3 + \tilde{q}_4)$。这种三阶段方法明确了初始预测、局部误差校正、物理特征提取和基于注意力的流场重新预测之间的关系。

图2 所提出的神经网络框架的架构。该框架包含三个步骤：(a) 初始流场预测，(b) 相关性校正，(c) 流场重新预测。(d) 融合U-Net和注意力模块的网络结构。

详细求解过程总结如下：

1. 在不同进出口配置下生成CFD数据集。
2. 构建几何表示矩阵。
3. 将速度场转换为向量化的3通道数据，包括速度大小R、cos θ和sin θ。
4. 训练初始U-Net模型，学习从几何表示矩阵到向量化速度场的映射。
5. 从初始预测流场计算预测误差和局部雷诺数分布，以识别高速度梯度区域。
6. 在7×7局部搜索窗口内执行相关性校正。
7. 将校正后的速度矢量场和局部雷诺数图作为第二个带有注意力模块的CNN模型的输入，进行流场重新预测。
8. 使用MSE、CORR、PSNR和SSIM评估重新预测的流场。

采用分步框架将局部不一致性校正与物理引导的重新预测分离开来。虽然端到端模型可以直接学习输入几何与最终流场之间的映射，但校正过程隐含在网络参数中，可解释性较差。相比之下，相关性校正通过减少局部不连续或孤立的预测，显式地提高了初始预测速度矢量的局部方向和空间一致性。后续的重新预测模型以校正后的速度矢量和局部雷诺数特征作为输入，进一步增强了高速度梯度小尺度区域的速度大小预测。局部雷诺数有助于识别具有强局部能量变化和剪切效应的区域，而注意力模块引导网络关注这些物理重要区域。因此，相关性校正和基于局部雷诺数引导的重新预测是互补的：前者主要改善预测矢量场的方向和空间一致性，后者主要增强小尺度高梯度区域的速度大小预测。

关于U-Net架构，编码器将数据维度从高到低降低，解码器执行相反的操作。跳跃连接允许数据从下采样路径的层传递到上采样路径，使CNN能够在不同尺度间共享特征，更好地捕获细节信息。用于CNN模型训练的其他超参数列于表S1。在第1步中，配置将几何表示作为输入层的单通道纳入。相比之下，输出层由3个通道组成，代表速度矢量的幅度分量(r)、余弦分量(cos θ)和正弦分量(sin θ)。在第3步中，输入层由4个通道组成，包括校正后的速度矢量和局部雷诺数特征。局部雷诺数特征由初始预测结果推导得出。

由于每个输出通道表达的特征不同，需要自定义训练损失函数。该损失函数是对传统均方误差损失的修改形式，其中为各个输出通道分配不同的权重，以提高整体预测性能。训练损失函数可写为公式(4)。

$$L = \sum_{i=1}^{3} \frac{(x_i - y_i)^2}{w_i \cdot 3}, \quad (4)$$

其中，L表示每个训练周期的总损失，x和y分别表示模拟值和CNN预测值，w表示分配给每个通道的权重，输出通道数为三。

2.3.2 相关性校正

对于第2步中的相关性校正过程，相关性指数和对应的校正分别定义于公式(5)和(6)。

$$\varphi = \frac{\sum_{i=1}^{48}(V_m - V_i)^2}{48}, \quad (5)$$

$$\text{if } \varphi > \varphi_0, \quad V_m = \text{median}(V_i), \quad (6)$$

其中$V_m$表示7×7矩阵中中心位置的数值，$V_i$表示围绕中心位置的48个值。中位数表示当相关性指数$\varphi$大于阈值$\varphi_0$时的$V_i$值的中位数。根据通道数据分布，阈值$\varphi_0$设置为：幅度(r)通道为1.6 × 10??，余弦(cos θ)通道为1.59 × 10?2，正弦(sin θ)通道为7.1 × 10?3。

需要注意的是，阈值$\varphi_0$是根据经验确定的，且依赖于数据集。在本研究中，$\varphi_0$基于训练数据中相关性指数的统计分布选择，并在测试阶段保持不变。引入$\varphi_0$的目的是识别初始预测速度场中局部不一致的预测。对于具有不同流动状态、空间分辨率或数据分布的数据集，可能需要重新评估阈值。在未来工作中，将考虑自适应阈值策略以提高相关性校正过程的泛化能力。

2.3.3 注意力模块

由于边界层或剪切层等区域的高速度梯度，相比于大量重复的流速信息，这些具有小空间尺度和高数值梯度的区域在模型结果中往往表现出更大的预测误差。在下文中，发现初始流场预测误差与局部雷诺数的分布相关。应用一系列注意力机制选择性地关注重要区域并抑制背景噪声数据，从而提高信息处理的效率和准确性。因此，在重新预测阶段，采用注意力模块来生成输入数据的通道注意力和空间注意力图[,]。输入通道包含校正后的速度矢量和局部雷诺数特征。注意力模块与U-Net网络集成，以提高高局部雷诺数区域的流场重建精度。注意力模块放置在U-Net中的卷积层之后，以实现更好的预测性能。

对于给定的输入特征$F \in \mathbb{R}^{C \times H \times W}$，注意力模块依次推断一维通道注意力图$M_c \in \mathbb{R}^{C \times 1 \times 1}$和二维空间注意力图$M_s \in \mathbb{R}^{1 \times H \times W}$，如图S3所示。整个过程定义于公式(7)。

$$F' = M_c(F) \otimes F, \quad (7)$$

$$F'' = M_s(F') \otimes F'$$

通道注意力模块提取信息丰富的通道特征并增强特征表示能力。通过利用通道间关系获得通道注意力图。首先通过最大池化和平均池化操作提取输入特征的空间信息。然后将结果输入两个共享的卷积层以生成通道注意力图$M_c \in \mathbb{R}^{C \times 1 \times 1}$。特征通过逐元素求和合并，随后经过Sigmoid激活函数。通道注意力模块定义于公式(8)。

$$M_c(F) = \sigma(Conv(\text{MaxPool}(F)) + Conv(\text{AvgPool}(F))), \quad (8)$$

其中$\sigma$表示Sigmoid激活函数，$Conv$表示共享的两个卷积层。

空间注意力模块捕获特征图中每个空间位置的重要性，补充通道注意力。通过利用输入特征的空间关系生成空间注意力图。为计算空间注意力图，首先沿通道轴应用最大池化和平均池化。所得的多通道特征通过卷积层处理以生成二维空间注意力图。空间注意力模块定义于公式(9)。

$$M_s(F') = \sigma(f_{7 \times 7}(\text{MaxPool}(F'); \text{AvgPool}(F'))), \quad (9)$$

其中$f_{7 \times 7}$表示滤波尺寸为7×7的单个卷积层。

3 结果与讨论

3.1 模型训练与预测分析

私有数据集包含2025个具有不同进出口配置的算例。本研究基于训练集和验证集评估CNN模型的损失曲线。初始CNN模型的损失曲线在训练集和验证集之间表现出变化，如图3(a)所示。模型在前50个周期内迅速收敛，展现出良好的收敛性能，并在随后150个周期内保持稳定。对于图3(b)所示的带有注意力模块的CNN模型，收敛同样迅速，因此无需进行额外的延长训练。在GPU训练时间方面，初始CNN模型需要10.57分钟，而第二个CNN模型需要2.61分钟。模型在NVIDIA RTX 3060 GPU上训练，显存为12 GB。尽管训练额外的模型导致整体训练时间延长，但流场重建性能得到了提升，这一点将在后续章节中讨论。

图3 用于(a)初始流场预测和(b)流场重新预测的两个独立CNN模型的均方误差(MSE)训练历史。

CNN模型的计算效率经评估并与标准数值模拟进行了比较，如图表2所示。用于数值模拟和CNN推理的CPU为Intel Core i7-12700处理器，具有12核心，基础频率为2.1 GHz。模拟在CPU上执行，计算每个算例的平均运行时间。对于CNN模型，采用两种操作模式，分别利用CPU和GPU。在批大小为64的情况下，统计计算每个算例的平均运行时间和加速比。结果表明，当两者均在CPU上运行时，CNN模型比数值模拟实现了约三个数量级的加速。此外，GPU加速带来了更大的提升，实现了近四个数量级的加速。

| 批大小 | 数值模拟(CPU, s) | 加速比 |
|--------|------------------|--------|
| 1 | 104.55 | - |

| 批大小 | CNN模型(CPU, s) | 加速比 |
|--------|-----------------|--------|
| 64 | 7.5 × 10?2 | 1.394 × 103 |

| 批大小 | CNN模型(GPU, s) | 加速比 |
|--------|-----------------|--------|
| 64 | 1.6 × 10?3 | 6.53 × 10? |

表2 数值模拟与CNN模型之间的平均计算时间。

3.2 矢量通道配置比较

速度矢量最初使用两个参数表示：矢量大小(R)和角度(θ)。在代码中，矢量角度(θ)的范围限制在-180°到180°之间。另一种表示速度矢量的方法是将矢量角度(θ)转换为cos θ和sin θ分量。

图4展示了利用这两种方法进行速度矢量预测的结果以及仿真结果。对于2通道矢量配置，在接近?180°和180°附近出现了明显的矢量方向预测误差。从物理角度来看，接近这两个点的值代表几乎相同的矢量方向。然而，CNN模型将这些角度（θ）视为离散值，这在本质上是不同的。因此，CNN模型在该区域的预测面临巨大挑战，部分破坏了矢量方向的连续性。为解决这一问题，将角度θ转换为cos θ和sin θ，能有效缓解矢量方向的预测误差，显著降低虚假矢量出现的概率。采用3通道配置重建的流场与真实流场的关联性更强。这种改进的原因在于，cos θ和sin θ通道的离散值在所述区域内呈现平滑过渡。同时，在该范围内上下数值极限同时出现（这会导致预测不稳定）的情况也被避免了。

图4 使用2通道和3通道配置的CNN模型重建速度矢量，并与相应仿真结果进行对比。等值线下方的数值表示预测与仿真速度场之间的相关系数。

使用均方误差（MSE）、皮尔逊相关系数（CORR）、峰值信噪比（PSNR）和结构相似性指数（SSIM）等参数评估模型的预测性能。预测性能参数的定义见公式10–14。

MSE = (1/n) ∑(x? - y?)2, (10)

CORR = ∑(x? - x?)(y? - ?) / [√∑(x? - x?)2 · √∑(y? - ?)2], (11)

PSNR = 10 × log??(MAX2? / MSE), (12)

SSIM = [l(x,y)]^α · [c(x,y)]^β · [s(x,y)]^γ, (13)

l(x,y) = (2x?? + C?) / (x?2 + ?2 + C?),

c(x,y) = (2σxσy + C?) / (σ2x + σ2y + C?),

s(x,y) = (σxy + C?) / (σxσy + C?), (14)

其中，x?和?分别表示仿真值和CNN模型预测值的样本均值，MAX?表示图像中的最大像素值。在SSIM公式中，l(x, y)表示颜色亮度对比度，c(x, y)表示颜色对比度，s(x, y)表示图像中的结构差异。具体而言，σx和σy对应样本标准差，σxy表示协方差。此外，α、β、γ是用于调整l(x, y)、c(x, y)和s(x, y)各项相对重要性的参数，C?、C?和C?表示常数。

利用这些参数对2通道和3通道配置进行对比性能分析的结果如表3所示。为确保MSE的一致性比较，首先将2通道配置中的角度θ转换为cos θ和sin θ，然后使用与3通道配置相同的表示方式评估MSE。结果表明，3通道配置在重建流场方面具有更高的精度。模型的MSE显著低于使用2通道配置所得到的结果。通过分析CORR、PSNR和SSIM的值，CNN模型重建的流场与真实流场之间的差异更小，线性相关性更强。3通道矢量配置提高了整体预测性能，并有效减少了较大的预测误差。

2通道 3通道
MSE 0.024 0.0016
CORR 0.9811 0.9899
PSNR 26.3465 29.2437
SSIM 0.9349 0.9506

表3 CNN模型对2通道和3通道速度矢量的预测性能。

3.3 速度预测误差分析

本研究通过计算局部雷诺数来深入分析CNN模型产生的预测误差。模型的速度等值线预测误差结果和局部雷诺数（K）分布如图5所示。从误差等值线来看，最显著的预测误差通常与较大的速度梯度相关。基于这一现象，分析了与速度梯度相关的局部雷诺数。这里，局部雷诺数根据能量梯度理论定义，为横截方向能量梯度与流线方向粘性能量损失的比值。局部雷诺数的定义见公式15和16。

K = (?E/?n) / (?E/?s) = [ρ(V × ? × V)? + (μ?2V)?] / (μ?2V)? = [-ρ·wz·sinφ - ρ·u·wz·cosφ + μ(?2v/?x2 + ?2v/?y2)·cosφ - μ(?2u/?x2 + ?2u/?y2)·sinφ] / [μ(?2v/?x2 + ?2v/?y2)·sinφ + μ(?2u/?x2 + ?2u/?y2)·cosφ], (15)

wz = ? × V = ?v/?x - ?u/?y, (16)

其中K表示一个无量纲参数，即局部雷诺数。E表示总能量，表达式为E = p + 1/2ρ(u2 + v2)，其中n表示垂直于流向的方向，s表示流向，V表示速度矢量，φ表示流线切线与x方向之间的夹角。

图5 不同进出口配置下速度预测误差等值线和局部雷诺数（K）等值线的分布。

对应域上的偏导数使用固定卷积滤波器计算。对于对应域上的内部节点，一阶导数通过4阶中心差分近似计算：

?u/?x ≈ [-u(x+2δx,y) + 8u(x+δx,y) - 8u(x-δx,y) + u(x-2δx,y)] / (12δx) + O((δx)?), (17)

?u/?y ≈ [-u(x,y+2δy) + 8u(x,y+δy) - 8u(x,y-δy) + u(x,y-2δy)] / (12δy) + O((δy)?), (18)

对于边界附近和边界上的节点，采用单边差分（即迎风格式/顺风格式）。例如，下边界和左边界上的三阶单边有限差分表示为：

?u/?x ≈ [-11u(x,y) + 18u(x+δx,y) - 9u(x+2δx,y) + 2u(x+3δx,y)] / (6δx) + O((δx)3), (19)

?u/?y ≈ [-11u(x,y) + 18u(x,y+δy) - 9u(x,y+2δy) + 2u(x,y+3δy)] / (6δy) + O((δy)3), (20)

结果表明，较大的速度幅值预测误差通常与较高的局部雷诺数相关。因此，局部雷诺数的分布为分析速度等值线预测误差提供了一个新的视角。

为了进一步量化局部雷诺数与速度幅值预测误差之间的关系，在不同局部雷诺数范围内评估了初始CNN模型的MSE，如表4所示。结果表明，预测误差随局部雷诺数的增加而增大。这一趋势表明，局部雷诺数较高的区域对于初始CNN模型来说更难准确预测。此外，随着局部雷诺数的增加，网格点数量显著减少，这表明高局部雷诺数区域在流场中占据相对较小的空间范围。因此，这些区域对应于具有强局部速度变化的小尺度流动结构，在由大尺度重复流动信息主导的CNN训练过程中更可能被削弱。这些定量结果进一步支持了使用局部雷诺数特征来引导重新预测模型关注小尺度、高误差区域的做法。

局部雷诺数范围 网格点数量 MSE
0 - 100 23140067 1.104 × 10??
100 - 200 17725471 1.77 × 10??
200 - 300 5609161 1.878 × 10??
300 - 400 278933 1.905 × 10??
400 - 500 172304 1.953 × 10??

表4 初始CNN模型在不同局部雷诺数范围内速度幅值预测的均方误差。

3.4 预测误差修正

CNN模型主要学习流场中重复出现的大尺度速度信息。由于高速度梯度区域（如边界层或剪切层）的尺度较小，其预测误差相对较大。因此，为解决该模型的这一固有局限性，本研究提出了一种将物理信息（局部雷诺数）与神经网络注意力模块相结合的流场重新预测方法，旨在降低这些小尺度区域内的预测误差。

3.4.1 私有数据集

通常，速度预测误差等值线出现在具有高速度梯度的区域，这些区域对应于高局部雷诺数。通过对初始速度场预测结果进行修正，然后基于修正后的流场和局部雷诺数，使用带有注意力模块的神经网络进行重新预测，预测误差得到显著降低。如图6所示，重新预测的流场表现出明显改进的预测性能，尤其是在高局部雷诺数区域。图7展示了两种不同进出口配置下沿垂直线x = 0.05和x = 0.07的结果。在所有3个通道（包括速度幅值、cos θ和sin θ）中，重新预测的结果比初始CNN模型更接近真实值。具体而言，在sin θ通道中，初始预测结果与真实值存在显著偏差。表5还评估了两种模型的3通道数据MSE。与初始CNN模型相比，3通道数据的MSE分别降低了43.87%、39.62%和34.7%，表明所提出方法具有改进的预测能力。

图6 CNN模型初始预测与重新预测结果之间的速度预测误差等值线对比，并与相应仿真结果进行比较。

图7 初始CNN模型与重新预测CNN模型的3通道预测结果与相应仿真结果的对比。数值沿不同进出口配置的垂直线提取。

MSE 初始预测 重新预测
通道1 1.5 × 10?? 8.42 × 10??
通道2 1.16 × 10?2 7.005 × 10?3
通道3 9.747 × 10?3 6.364 × 10?3

表5 CNN模型对3通道数据初始预测和重新预测结果的均方误差。

重新预测后的改进可以从局部雷诺数与小尺度高梯度流动结构之间的关系进行物理解释。高局部雷诺数区域通常对应于强局部能量变化、剪切效应和速度幅值的快速变化。这些区域仅占计算域的一小部分，因此在由重复大尺度速度信息主导的CNN训练过程中容易被削弱。通过引入局部雷诺数作为附加物理特征，重新预测模型能够更有效地识别这些高误差区域。同时，注意力模块进一步增强了对小尺度流动结构的网络敏感性。因此，观察到的预测误差降低不仅是数值上的改进，也反映了所提出方法关注边界层和尾流区域等物理重要区域的能力。

3.4.2 障碍物绕流

对于障碍物绕流，进行了与前述相同的测试以验证所提出的方法，如图8所示。该数据集包含不同几何形状障碍物周围的稳态流动。与已发表论文中原始代码获得的速度幅值预测误差相比，所提出的重新预测方法降低了误差。由于噪声数据的影响，在计算局部雷诺数后应用了高斯滤波器。在该数据集中，尾流区域出现了相对较大的预测误差，该区域对应于高局部雷诺数。在此区域中，局部雷诺数分布形成四条明显的线，与高速度梯度区域相吻合。使用连续性方程的残差形式评估测试数据集中不同步骤的性能，如表6所示。连续性残差方程中的偏导数根据公式17–20进行计算。该过程包括三个顺序步骤：CNN模型初始预测的速度场、速度场的关联性修正以及速度场的重新预测。随着步骤的推进，私有数据集和障碍物绕流数据集中的连续性残差逐渐减小，证明了该方法降低预测误差的能力。

图8 障碍物绕流数据集中速度预测误差等值线，将初始预测和重新预测结果与仿真结果及局部雷诺数（K）分布进行对比。

残差 连续性 私有数据集 障碍物绕流
初始预测 9.7364 11.0943
关联性修正 8.8754 10.8036
重新预测 7.6347 10.4708

表6 在私有数据集和障碍物绕流过程中不同阶段连续性函数残差值的评估。

3.4.3 翼型

由于前两个数据集为层流，这里引入了一个湍流翼型数据集，以进一步证明所提出方法对不同流动数据集的潜在适用性。如图9所示，对于不同翼型形状，速度场的初始预测误差在翼型表面附近相对较大。CNN模型在准确预测这些小尺度边界层区域时面临挑战，而这些区域的局部雷诺数也相对较高。计算局部雷诺数K后，使用高斯滤波器进行平滑处理。通过基于修正后的流场和局部雷诺数，使用带有注意力模块的模型进行训练，重新预测的流场显示出预测误差的显著降低，特别是在翼型表面附近。

图9 翼型数据集中速度预测误差等值线，将初始预测和重新预测结果与仿真结果及局部雷诺数（K）分布进行对比。

如图10(a–c)所示，沿翼型上下表面计算了压力系数（CP）。可以观察到，初始预测的压力系数具有相对较高的误差。由于流场重新预测基于局部雷诺数，且模型训练更加关注翼型表面附近的流场，因此重新预测的压力系数更接近参考值。这里，模型不直接预测压力系数，而是先预测压力场，然后计算CP。

图10 参考仿真、初始预测和重新预测所得的三种代表性翼型的表面压力系数（CP）分布：(a) 翼型1，(b) 翼型2，(c) 翼型3。

也展示了相应的完整流场等值线图。总体而言，这些发现表明，将物理信息（如局部雷诺数）整合到神经网络架构中，能够有效引导模型注意力集中在小尺度、高速度梯度的流动结构上，例如边界层，从而提高复杂流场重建的鲁棒性和准确性。尽管所提出的方法在三个具有不同流动特征的数据集上表现出持续改进，但仍存在若干局限性。首先，相关性校正中使用的阈值φ?是根据训练数据的统计分布经验确定的，因此依赖于特定数据集。对于流动状态、空间分辨率或数据分布差异较大的数据集，可能需要重新评估该阈值。其次，目前的验证主要基于二维流数据集，包括内部层流、障碍物绕流和机翼周围湍流。因此，所提出框架适用于更复杂的三维、瞬态和多相流动问题的能力尚未得到系统评估。未来的工作将专注于开发自适应阈值策略，并将框架扩展到这些更复杂的流动条件下，以进一步评估其泛化能力。

**4 结论**

本研究提出了一种方法，以减少流场的预测误差，特别是在小尺度、高速度梯度区域，而不需要耗时的模拟计算负担。首先，CNN模型基于几何表示预测速度矢量场。随后，利用相关性校正对初始预测的速度场误差进行修正。然后，基于修正后的速度矢量和局部雷诺数特征，使用带有注意力模块的神经网络对流场进行重新预测，这有效地引导模型注意力集中在小尺度特征上。CNN模型的主要结果如下：

第一，当比较实际值与预测值时，结果显示MSE为0.0016，CORR为0.9899，PSNR为29.2437，SSIM为0.9506。这些模型性能评估指标表明模型预测具有显著的鲁棒性。关于矢量通道配置，观察到使用3通道（R、cos θ和sin θ）相比2通道设置（R、θ）表现出更强的线性相关性和更低的损失。

第二，即使经过广泛训练，CNN模型的预测误差也是不可避免的。识别出局部雷诺数与预测误差之间的相关性，较大的预测误差通常对应于较高的局部雷诺数。基于此分析，所提出的方法减少了重新预测误差，特别是在局部雷诺数较高的区域。

第三，为了验证该方法，对障碍物绕流和机翼数据集进行了相同的测试。对于障碍物绕流，尾流区域的局部雷诺数相对较高，重新预测过程主要关注这些区域。对于湍流机翼数据集，预测误差和局部雷诺数在机翼表面和边界层附近相对较高，使用所提出的方法后这些区域的预测误差有所降低。

总体而言，通过使用带有注意力模块的神经网络将物理信息整合到重新预测过程中，所提出方法的增强预测性能展示了这一策略的应用前景。

**CRediT作者贡献声明**

高轲威：撰写——原稿、验证、方法论、调查研究、形式分析、数据整理。Kang Hyun Wook：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取、概念构思。

**数据可用性声明**

支持本研究所有发现的数据均可在合理要求下从通讯作者处获取。

**资金**

本工作得到了信息与通信技术规划评估院（IITP）人工智能融合创新人力资源开发项目（IITP-RS-2023-00256629）以及韩国政府（MSIT）资助的国家研究基金会（NRF）（IRIS RS-2024-00453103）和（RS-2025-02216260）的资助。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何已知的财务利益或个人关系可能对本论文所述工作产生影响。

**附录A 补充数据（1）**

以下为本文章的补充数据：文档（332.06 KB）多媒体组件1