用于高阶相场建模的任意阶虚拟单元方法，以研究韧性材料的断裂现象

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Arbitrary-order virtual element methods for high-order phase-field modeling of ductile fracture

　　**摘要**
金属材料的延性断裂涉及大量的塑形变形、剪切局部化、损伤累积以及最终的裂纹扩展——这些现象结合在一起时对计算提出了重大挑战。我们提出了一种任意阶虚拟元素方法（VEM），用于延性断裂的计算，该方法采用四阶相场理论结合了速率依赖的塑性模型。四阶相场正则化能够提供更清晰的裂纹表征和更高的计算精度，但需要??1-连续元素，这增加了数值实现的复杂性。为了解决这一问题，我们对四阶相场方程采用了??2-连续的VEM，而对动量平衡方程采用了??1-连续的VEM。塑性响应采用Bodner–Partom粘塑性本构模型进行建模，该模型将损伤演化与塑形变形联系起来。数值示例展示了该方法模拟复杂延性断裂现象的能力，包括剪切带的形成、从塑性变形区域开始的裂纹 nucleation 以及动态裂纹扩展。结果证明，这种框架是使用多边形元素对延性断裂过程进行建模的强大计算工具。

**引言**
工程材料中的断裂计算建模仍然是固体力学中最具挑战性的问题之一，特别是当材料失效涉及塑性、速率依赖效应以及从稳定裂纹增长到灾难性失效的转变时。经典的断裂力学方法基于Griffith [1]、Irwin [2] 和 Rice [3] 的开创性工作，依赖于对裂纹表面的显式跟踪和不连续条件的强制执行。这些方法在模拟完整材料中的裂纹起始、沿任意路径的扩展、分支以及裂纹合并时面临重大困难。相场方法作为一种替代方案已经出现，其中通过连续的场变量来正则化清晰的裂纹拓扑，从而区分完整材料状态和完全断裂状态。这种扩散界面表示消除了对裂纹表面显式跟踪的需求，并自然地处理了复杂的裂纹模式。该方法最初由Francfort和Marigo [4] 提出，并由Bourdin等人 [5], [6] 进行了正则化，已被广泛用于准静态和动态断裂的建模。Landmark贡献为建立热力学一致的框架以及解决拉伸-压缩不对称性问题 [7], [8], [9] 奠定了基础，进一步的理论发展集中在退化函数 [10]、各向异性模型 [11], [12] 以及耦合的多物理问题 [13], [14] 上。

尽管二级相场断裂模型在许多应用中取得了成功 [15], [16]，但它们产生的裂纹轮廓相对模糊，需要在正则化区域内采用细密的网格分辨率，并且对相场变量的平滑度控制有限。为了解决这些局限性，开发了涉及四阶偏微分方程（PDEs）的高阶相场模型。这些模型在相场方程的精确解方面提供了更高的正则性。在计算设置中，这使得在给定正则化长度下裂纹轮廓更加清晰，随着网格细化收敛速度加快，但需要??1-连续的数值近似 [17]。

四阶相场模型的数值实现由于需要??1-连续近似而面临重大挑战。标准的??0-连续有限元方法不够适用，因此需要使用特殊技术，如基于Hermite基函数的有限元 [18] 或等几何分析 [17], [19]。Svolos等人 [20] 提出了一种连续/不连续的Galerkin（C/DG）方法来满足这些??1连续性要求，并将其性能与混合（双场）公式进行了比较。然而，基于Hermite基函数的有限元方法不易推广到多维问题。等几何分析仅限于特定的元素形状，限制了其通用性。DG方法是一种可行的方法，但由于自由度的大量增加而效率较低。总体而言，这些经典方法在处理一般多边形网格拓扑时缺乏灵活性。

虚拟元素方法（VEM）[21], [22] 作为模仿有限差分方法的推广 [23], [24] 被引入，它结合了构建任意高阶和/或任意正则性连续近似的能力，以及由一般多边形网格拓扑所提供的灵活性。与传统的有限元方法不同，VEM通过自由度和投影算子隐式地构建局部近似空间，从而实现了任意形状的多边形元素，同时保持最佳收敛性；参见例如参考文献 [25], [26]。线性VEM与交错网格有限体积方法之间的联系在 [27] 中进行了讨论。对于四阶问题，Brezzi和Marini [28] 开发的??1-连续VEM提供了关键的构建模块。最近，Adak等人 [29] 专为四阶相场方程开发了??1-连续的任意阶VEM，严格分析了收敛性能，并在一般多边形网格上证明了最优收敛速率，而Leng等人 [30] 则提出了应用于二级和四阶相场PDEs的VEM设计原则。

动态断裂问题涉及惯性效应和瞬态裂纹扩展，表现出丰富的现象学特性，包括裂纹分支以及裂纹路径对加载速率的依赖性，这一点在经典的Kalthoff–Winkler实验中得到了观察 [31]。这些现象已通过扩展有限元方法（XFEM）[32], [33] 和相场方法 [34], [35] 进行了计算分析。Leng等人 [36] 开发了用于脆性材料动态断裂的高阶相场建模的任意阶VEM，结合了??1-连续的位移VEM和??2-连续（??1-连续）的四阶相场VEM。这项工作实现了能够捕捉快速裂纹扩展、分支和破碎的稳健时间积分方案，适用于多边形网格。

尽管上述工作主要讨论了脆性或准脆性材料中的断裂，但许多工程材料在断裂前表现出显著的非弹性变形。延性断裂涉及大量的塑形变形、空洞的生成和生长以及最终的材料分离，代表了一种更为复杂的失效模式。经典模型包括Gurson–Tvergaard–Needleman（GTN）模型 [37], [38], [39] 和粘结区模型 [40], [41]。最近，通过将相场损伤与塑性模型 [42], [43], [44], [45] 结合，相场方法已被扩展到延性断裂的建模中。速率依赖的塑性（其中材料响应取决于变形速率）在冲击、穿透和高速加载中尤为重要。Bodner–Partom模型 [46], [47] 提供了一个广泛应用于速率敏感材料的统一粘塑性本构框架。Leng等人 [48] 将任意阶VEM扩展到了受Bodner–Partom模型控制的速率依赖塑性问题中，特别关注通常先于延性断裂的剪切局部化现象。这项工作开发了稳健的应力积分算法和VEM框架内的一致切线算子，证明了该方法能够在不依赖于网格的情况下准确捕捉多边形网格上的局部塑性变形带。

在延性断裂的相场模型中，塑形变形与损伤演化之间的耦合引入了重大挑战，尤其是在定义考虑塑性耗散和塑性应变历史的裂纹驱动力以及在损伤作用下一致地降低材料塑性响应方面；参见例如参考文献 [42], [43], [44], [45]。在这里，我们构建了一个统一的计算框架，能够从初始塑形变形到最终材料失效的动态裂纹扩展过程进行建模，利用了为四阶相场方程 [29], [36] 开发的??1-连续任意阶VEM以及为速率依赖塑性 [48] 建立的稳健应力积分算法。该方法继承了VEM的几何灵活性，能够在不依赖于网格的情况下准确求解一般多边形网格上的局部塑形变形和扩散损伤区。

本文的其余部分安排如下。第2节介绍了延性断裂的控制方程，包括平衡律、四阶相场演化方程和基于Bodner–Partom模型的速率依赖塑性本构模型。第3节介绍了数值方法，包括时间离散化方法、虚拟元素空间和交错求解算法。第4节提供了数值示例，展示了该模型模拟复杂延性断裂现象的能力。第5节提供了结论性和未来研究的方向。

**符号说明**
我们首先介绍一些将在本文中使用的符号。设????d,d=2或3，是一个开放的、有界的、连通的域，其边界为??。时间表示为??∈(0,??]，其中??>0是感兴趣的结束时间。设???是??的一个划分，将其划分为不重叠的星形多边形元素E，这些元素的边界为??E，面积为|E|，参见 [49]。???中的元素构成了??的有限覆盖，即 ?????????=∪E∈???E。我们用?E表示多边形元素边界??E的边缘。