一种具有增量更新伽辽金投影的裂纹自适应施瓦茨平滑多重网格方法，用于近场动力学中的隐式准静态裂纹扩展

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A crack-adapted Schwarz smoothing multigrid method with incrementally updated Galerkin projections for implicit quasi-static crack propagation in peridynamics

　　

• 针对裂缝引起的线性方程组序列，开发了一种几何多重网格求解器。
• 一种裂缝自适应的Schwarz光顺器通过局部修正改善了收敛性。
• 通过低秩修正可以低成本地更新粗层Galerkin算子。
• 数值实验表明，该方法迭代稳定，且效率高于基线求解器。

**引言**

科学与工程计算中的许多问题涉及求解长序列的线性方程组 $A^{(k)} u^{(k)} = F^{(k)}$，$k = 0, 1, 2, \ldots$，其中 $k$ 表示序列中线性方程组的索引。此类序列出现在结构再分析[1]、电磁散射[2]和粘性流动[3]中。隐式准静态裂纹扩展是此类序列的另一个典型来源[4]、[5]、[6]。在各种断裂模拟方法中，近场动力学（Peridynamics）因其对断裂问题的独特优势而备受关注。作为一种非局域理论，其公式用积分方程代替偏微分方程，避免了在裂纹尖端计算位移梯度的需求。近场动力学能够自然地捕捉裂纹的萌生和扩展，无需预设裂纹路径[7]、[8]、[9]。

本文采用线性键合近场动力学模型作为隐式准静态断裂分析的典型设置[4]、[5]、[6]、[10]、[11]。在该模型中，材料点之间的相互作用由键表示。当键的拉伸量超过规定的临界值时，该键断裂，其对刚度矩阵的贡献被移除。如果在第 $k$ 和第 $k+1$ 个方程组之间有 $r_k$ 个键断裂，令 $V^{(k)}$ 表示由这些断裂键的刚度贡献因子构成的矩阵。则连续刚度矩阵满足 $A^{(k+1)} = A^{(k)} - V^{(k)} V^{(k)T}$。因此，$V^{(k)} V^{(k)T}$ 表示新断裂键移除的总刚度贡献，其秩至多为 $r_k$。通常，$r_k$ 相对于总键数较小。因此，所得刚度更新构成一个低秩修正。每次键断裂事件都生成一个新的线性方程组，形成一个线性方程组序列。反复求解该序列构成隐式近场动力学模拟的主要计算瓶颈。

现有研究从多个角度解决了这一瓶颈问题。裂纹扩展方案通过产生不同的线性方程组序列来影响计算效率。Ni等人研究了顺序线性分析（SLA）框架和不同的键断裂方案对隐式静态近场动力学中精度和计算成本的影响[10]。Jo和Ha提出了一种双层网格顺序近场动力学分析方法，以降低所需分析的成本[12]。其他方法则侧重于利用矩阵结构和快速傅里叶变换来加速近场动力学模拟[13]、[14]、[15]。降阶模型[11]、[16]、局域到非局域模型耦合[17]、[18]以及并行计算[5]也被用于提高整体模拟效率。然而，这些方法通常不利用跨序列的信息复用来加速求解。

一些研究利用序列中的裂缝引起的低秩变化来降低求解成本。基于Sherman–Morrison–Woodbury（SMW）公式的方法[19]——从上一方程组的逆矩阵出发更新并用于计算下一个解——已被应用于近场动力学裂纹扩展[6]、[20]。这些方法对中小规模问题是有效的。然而，它们本质上仍接近直接求解器，因为依赖于全局逆矩阵。对于大规模裂纹扩展模拟，存储成本和沿长裂纹路径的累积更新成本可能变得不可接受。其他方法利用连续方程组之间解空间或Krylov子空间的关联来加速后续求解，包括Krylov子空间循环使用[21]和预条件子更新方法[22]、[23]。这些方法在近场动力学裂纹扩展模拟中的应用仍然有限。

因此，专为大规模隐式近场动力学裂纹扩展中产生的线性方程组序列设计的高效求解器仍然很大程度上未被探索。标准几何多重网格（MG）对于这类大规模序列问题颇具吸引力，因为它是一种迭代方法，且其层次结构有可能在序列中被复用[24]。随着裂纹的扩展，固定的传输算子生成的粗空间无法适应不断演变的裂缝引起的间断。因此，粗层修正在裂纹附近变得不太有效，这可能导致多重网格收敛性恶化。现有研究已设计专门的传输算子来提高几何多重网格在有裂纹和界面问题中的性能[25]、[26]。其他研究将活动集信息纳入相场断裂求解器的多重网格各层级中[27]。然而，在裂纹扩展过程中，反复调整多重网格层次结构可能会增加实现复杂度和累积设置成本。

此外，局部修正策略在断裂求解器中也得到了探索。例如，为扩展有限元方法裂纹问题提出了一种不完全Schwarz代数多重网格（AMG）预条件子，其中AMG应用于健康子域，裂纹子域则直接求解[28]。这一思想后来通过利用水平集信息更新含裂纹子域被扩展到裂纹扩展[29]。其他方法对裂纹尖端或裂缝引起的子域采用更精确的方法处理，而常规子域则用较低成本的近似求解器处理[30]、[31]、[32]、[33]。因此，当将多重网格应用于裂缝引起的序列时，一个自然的折中方案是固定粗空间，并使用局部修正来补偿降低多重网格收敛性的裂缝引起的局部误差。

基于以上考虑，本文提出了MG-CAS，一种用于求解隐式准静态近场动力学裂纹扩展中产生的线性方程组序列的多重网格求解器。它利用序列中的信息并缓解裂纹演化过程中的多重网格收敛性恶化问题。具体而言，MG-CAS保持传输算子固定，并利用连续刚度矩阵之间的低秩修正关系以极低成本增量更新Galerkin粗层算子，从而降低累积设置成本。为补偿固定粗空间无法很好捕捉的裂缝引起的局部误差，MG-CAS引入了裂缝自适应的Schwarz光顺器。该方法从键集合构建当前键图，然后从损伤节点开始通过图距离搜索生成裂缝自适应的斑块。在这些斑块上进行局部残差修正，而斑块外则保留加权Jacobi光顺。这种局部修正在有限的额外计算成本下改善了多重网格收敛性。此外，还引入了一种热启动策略来加速求解过程[34]。

本文其余部分组织如下。第2节介绍近场动力学中准静态裂纹扩展产生的线性方程组序列。第3节提出MG-CAS方法，包括Galerkin投影的增量更新以及裂缝自适应Schwarz光顺器和热启动。第4节展示数值结果，第5节为全文总结。附录提供了MG-CAS的部分理论解释，并讨论了固定裂纹构型下的双层网格收敛性。

**问题描述**

本节第2.1节介绍近场动力学模型，第2.2节介绍无网格离散化，第2.3节介绍准静态裂纹扩展模拟中产生的线性方程组序列。

**方法**

本节介绍用于求解公式(31)中线性方程组序列的MG-CAS方法。MG-CAS基于标准几何多重网格，但修改了层次结构更新和光顺器以考虑裂纹扩展。标准多重网格的基本组成部分此处不再重复，可参见参考文献[24]。

具体而言，第3.1节利用刚度矩阵的低秩修正增量更新Galerkin投影。引入了裂缝自适应的Schwarz光顺器以进行局部残差

**数值实验**

本节评估所提出的MG-CAS方法。首先，第4.1节考察迭代容差对断裂响应的影响。第4.2节验证MG-CAS的效率。第4.3节考察不同键断裂方案对MG-CAS的影响。第4.4节考察节点细化对MG-CAS性能的影响。第4.5节研究迭代求解器的收敛性和平衡解的唯一性。第4.6节将MG-CAS与

**结论**

本文提出了MG-CAS，一种用于求解近场动力学准静态裂纹扩展中产生的线性方程组序列的几何多重网格方法。该方法保持传输算子固定，增量更新Galerkin粗层算子，并引入裂缝自适应的Schwarz光顺器对裂纹附近的局部误差进行残差修正。

在三种不同几何和裂纹路径的测试中，增量Galerkin投影更新有效地减少了

**作者贡献声明**

谢新宁：原创稿件撰写、可视化、验证、软件、方法论、调查研究、形式化分析、概念构思。

张昊伦：可视化、验证、项目管理、数据整理。

卢佳舒：可视化、验证、软件、数据整理。

聂玉峰：稿件审校与编辑、监督、资源提供、方法论、基金获取、概念构思。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何已知的可能影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

**致谢**

本研究得到国家自然科学基金（编号12571440）和国家自然科学基金（编号12501565）的资助。作者还要感谢匿名审稿人的建设性意见和建议，这些意见大幅提升了本文的科学严谨性、清晰度和表达质量。

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