基于物理原理的B样条流数据重建方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A physics-informed B-spline reconstruction of flow data

　　摘要
连续B样条模型为离散流场快照提供了紧凑且可微分的表示方法，但仅基于数据的拟合方法无法控制与给定控制方程的一致性。我们提出了基于物理信息的B样条重建（PI-BSR）方法，这是一种事后优化固定张量积B样条表示的方法，用于重建完整的流场轨迹。PI-BSR结合了数据保真度和对控制偏微分方程、初始条件、边界条件以及空间子域上积分平衡的软残差处理。通过共享面构造确保了内部通量的代数消减，而精确的稀疏残差-雅可比矩阵转置运算可以在不形成密集雅可比矩阵的情况下提供系数梯度。在一维对流-扩散问题中，与仅基于数据的MFA方法相比，所选强形式模型将中点PDE均方误差（MSE）降低了84.8%，将解析相对L2场误差降低了8.1%。在强形式权重固定的情况下，加入积分平衡项后，进一步将区域q=4平衡MSE降低了28.8%，并将后选整个域的平衡均方根（RMS）降低了15.7%。在受控Burgers测试中，使用预设的非强迫算子重建了强迫观测数据。结果表明，子域平衡的改善较为有限，但这与故意设计的模型不匹配是相符的。在带盖板的腔体模拟中，固定强形式权重后，加入积分平衡项分别将区域q=4的x方向和y方向动量RMS残差降低了72.9%和92.1%，同时速度误差略有增加。总体而言，PI-BSR在保持紧凑且连续可微分表示的基础上，改进了针对特定方程和平衡的诊断能力。

引言
经典的样条理论为紧凑、平滑且局部支撑的表示提供了数学基础。B样条基的递归构造、局部支撑、单位分割属性以及解析微分在文献[1]中得到了阐述。其近似性质和节点控制的平滑性在文献[2]中系统地进行了讨论。NURBS通过有理加权扩展了B样条，保持了局部支撑和可控的连续性，同时能够精确表示重要的CAD几何形状[3]。对于数据近似，惩罚性B样条结合了灵活的样条基和差分惩罚来平滑数据[4]。此外，还开发了用于散点数据重建的正则化B样条和小波构造[5]。快速矩阵生成技术降低了使用张量积样条表面进行最小二乘拟合的成本[6]。

在计算力学中，相同的近似和连续性特性激发了等几何分析（IGA）的发展，其中基于NURBS的空间同时表示了几何形状和解决方案场，并在细化过程中保留了CAD几何形状[7]。h细化等几何空间的近似性、稳定性和误差估计也已得到研究[8]。等几何结构分析还探讨了细化和单元间连续性的影响[9]。作为Galerkin离散化的强形式替代方案，等几何配置在选定点上强制执行控制方程[10]。在弹性动力学和显式动力学中的应用已在文献[11]中报告。与Galerkin公式的计算比较以及向自适应分层NURBS离散化的扩展在文献[12]中提出。在Galerkin超收敛点上的最优阶配置也在文献[13]中得到发展。

本文的目标不同。我们不是像IGA或样条配置那样直接计算PDE解，而是寻求对已生成的离散数据进行事后连续重建，以确保其在下游分析中仍然保持紧凑和可微分。这一目标变得越来越重要，因为非稳态复杂模拟会产生大量快照，这些快照需要反复存储、传输、可视化、微分和积分。

多变量功能逼近（MFA）使用连续的张量积B样条模型表示多变量科学数据，支持任意分辨率的评估和解析微分[14]。自适应正则化控制MFA模型的平滑性并抑制振荡行为[15]。已开发出可扩展的功能逼近体积可视化技术[16]，直接体积渲染则基于连续的MFA表示进行[17]。自适应细化提高了表示效率[18]。并行MFA通过块接口的高阶连续性得到扩展[19]，并通过域分解技术加速[20]。连续MFA场还支持关键点提取[21]和交互式可视化的自适应多分辨率编码[22]。然而，仅基于数据的MFA没有提供控制偏离给定控制算子的机制。这种限制出现在表示阶段：轨迹已经生成，MFA将观测数据编码为连续表示，以便于紧凑存储、可视化、微分、积分和分析。尽管如此，即使与观测数据非常吻合，仍可能表现出明显的PDE、初始条件、边界条件或平衡残差。当下游查询依赖于导数、通量、残差或积分力学时，这些偏差非常重要。这些诊断可以在拟合后进行评估，但在确定样条系数时，仅基于数据的拟合方法无法控制它们。

在功能拟合过程中结合观测数据和微分方程的更广泛思想已经确立。广义平滑技术将微分方程残差纳入基于样条的参数估计中[23]。基于样条的估计已扩展到受PDE控制的模型[24]。使用混合有限元素提出了PDE惩罚的空间回归[25]。差分正则化也应用于空间相关的功能数据[26]。这些研究确立了使用预设微分算子来规范或约束拟合场的一般原则。

基于物理信息的神经表示提供了另一种结合数据和控制方程的方法。基于物理信息的神经网络将PDE残差纳入正向和逆向非线性PDE问题中[27]。增强梯度的PINN还对控制残差的导数进行惩罚[28]。已开发出基于物理信息的扩散模型用于流场重建[29]。相关的可视化应用包括海岸洪水建模[30]、基于物理信息的水力裂缝数据聚类[31]和基于物理信息的计算机视觉工作流程[32]。基于PINN的多场重建也已应用于单色激光诱导荧光测量[33]。这些方法提供了连续的神经场，而本文仍保留了局部支持的样条系数表示和标准MFA实现。

另一项工作专注于正向模拟或替代预测过程中的低保真度和模型形式差异。多保真度神经回归结合了不同保真度级别的模拟来进行参数依赖的输出预测[34]。多保真度DeepONets将跨保真度学习扩展到数据驱动和基于物理信息的算子逼近[35]。在计算流体动力学中，学习到的校正已应用于粗网格模拟[36]，并作为神经常微分方程（Neural-ODE）子网格尺度模型进行构建[37]，直接嵌入到流处理器中[38]。相关发展还包括针对低阶不连续Galerkin模拟的神经常微分方程校正[39]、针对有限元模拟的可微弱形式校正[40]，以及针对粗网格光谱元素模拟的可扩展神经校正[41][42]。这些方法改进了模拟或预测的解。而本文提出的方法是在轨迹生成后进行的，仅修改其连续重建，因此不替代正向求解器或学习正向解算子。

子域平衡惩罚也有相关的先例。S-PINN引入了具有稳定多级损失协优化的守恒子域质量和动量残差[44]。经典有限体积方法通过将散度项转换为控制体积面上的有符号通量来推导局部平衡[45]。受约束的数据驱动变分公式为缺失的物理量和模型形式误差提供了不同的处理方式[46]。

基于这一动机，我们提出了基于物理信息的B样条重建（PI-BSR），这是一种用于紧凑的事后重建瞬态、耦合多场模拟档案的系数空间框架。图1总结了PI-BSR的工作流程，从离散观测和预设模型到系数优化、模型选择以及后选分析。当前的实现基于MFA，优化后的系数仍保持标准MFA表示。强形式分支直接从解析样条场评估PDE、初始条件（IC）和边界条件（BC）残差。共享面子域平衡分支评估子域级的积分平衡残差，这些残差结合了时间累积、净边界通量和在预设的非重叠空间分区上的体积源。一维传输、体积校正的Burgers和不可压缩流情况分别提供了标量、耦合向量和质量-动量特化。相邻子域使用相同的面节点和具有相反外法线的积分权重，因此在声明的积分下内部面贡献可以代数消减。两个分支都向样条系数返回精确的稀疏残差-雅可比矩阵转置运算，而不会形成密集的系数空间雅可比矩阵。最终模型保留了标准MFA系数网格、局部支撑解码器、解析微分和任意坐标分析路径。

因此，PI-BSR是一种事后重建方法，而不是直接基于样条的PDE求解器。IGA通过Galerkin公式计算数值解[7]，而等几何配置通过在选定点上强制执行强形式方程来计算正向解[10]。PI-BSR则重建已经生成的轨迹。该方法论的范围比一般的PDE惩罚样条回归更窄：其贡献是一个保持表示的算子层，结合了强形式预设模型残差、共享面子域平衡算子、代数内部面闭合和精确的稀疏系数空间转置运算。表1总结了这些关系。

本文进行的三项数值研究具有互补的目的。一维对流-扩散问题隔离了数据保真度、控制方程一致性和标量子域平衡之间的权衡，这些都在解析法规下进行。Burgers研究是一个受控的预设模型投影：使用提供的非强迫算子重建强迫观测数据，并在单独的节点测试集和完全非节点坐标上评估强形式和子域平衡效应。带盖板的腔体测试通过速度误差在单独的测试集上测试不可压缩子域平衡公式，并在单独的时间点上评估高阶GL8质量和动量平衡。高分辨率腔体计算仅用于后选数值比较粗略观测数据和选定的重建结果，不用于拟合或模型选择，也不构成正式的网格收敛性研究或精度证明。PINN实验作为上下文诊断保留，不用于建立一般的表示排名。

本文的主要贡献如下：
- 我们提出了PI-BSR，这是一种用于物理感知的后验重建已完成模拟轨迹的系数空间方法。它结合了数据拟合和软PDE、初始条件及边界条件残差，同时保持了固定的张量积B样条空间和标准MFA表示。
- 我们为标量和耦合流方程制定了共享面子域积分平衡算子。共同的面对积分使用相反的外法线，实现了内部通量的代数消减，精确的稀疏系数梯度避免形成密集的雅可比矩阵。对于不可压缩流，我们进一步展示了子域划分如何限制从区域动量平衡中获得的压力信息。
- 我们在固定样条容量的情况下，对对流-扩散、耦合Burgers和带盖板的腔体问题评估了PI-BSR。研究将拟合和权重选择与后选评估分开，通过匹配的腔体比较隔离了积分平衡项的效应，并报告了目标残差减少情况以及相关的数据和场保真度权衡。

本文的其余部分组织如下：
第2节回顾了B样条、标准MFA和相同空间正则化MFA基线。
第3节介绍了强形式和共享面子域平衡公式及其精确的稀疏系数空间运算。
第4节报告了对流-扩散、Burgers和Navier-Stokes问题的研究。
第5节总结了研究结果、局限性及未来方向。

**B样条和MFA**
在本节中，我们回顾了B样条和构成我们基于物理信息扩展基础的标准MFA公式[14]。我们还简要描述了正则化MFA[15]，它作为相同空间的基线。

**基于物理信息的B样条重建**
在本工作中，我们考虑了两种互补的系数空间公式。强形式公式结合了使用解析样条导数评估的PDE、边界条件和初始条件残差。共享面子域平衡公式对积分平衡的残差进行惩罚，结合了每个子域内守恒量的时间累积、通过其边界的净通量以及任何体积源。我们在MFA软件基础设施中实现了这两种公式。

**结果**
我们在三个基准问题上评估了PI-BSR：一维对流-扩散方程、二维耦合Burgers方程以及由不可压缩Navier-Stokes方程控制的二维带盖板的腔体。一维问题定义在时空域(x,t)上，而二维流问题定义在(x,y,t)上。除了原始节点坐标外，我们还在空间上评估了重建的场和物理诊断。

**结论**
我们提出了基于物理信息的B样条重建（PI-BSR），这是一种事后系数空间框架，它通过软残差增强了对给定PDE、初始条件和空间子域上积分平衡的数据拟合。共享面构造使用相邻区域相同的积分数据和相反的外法线，因此当汇总区域平衡时内部通量贡献可以代数消减。精确的稀疏残差-雅可比矩阵转置运算

**作者贡献声明**
Junoh Jung：概念化、数据整理、形式分析、调查、方法论、软件、验证、可视化、原始草案撰写、审阅与编辑。
David Lenz：概念化、方法论、软件、审阅与编辑。
Emil Constantinescu：资金获取、方法论、监督、审阅与编辑。
Tom Peterka：概念化、资金获取、方法论、监督、审阅与编辑。

**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。

**致谢**
本项工作得到了美国政府的支持。美国能源部科学办公室先进科学计算研究（ASCR）应用数学项目，通过“竞争性项目组合计划”提供支持；美国“通过先进计算进行科学发现”（SciDAC）FASTMath研究所；以及美国阿贡国家实验室的“定向研究与发展”（LDRD）项目，合同编号为DE-AC02-06CH11357。JJ还感谢阿贡国家实验室领导层的支持。