基于物理的流场变量重构方法，用于重叠网格方法中的解转移

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：Physics-based reconstruction of flow variables for solution transfer in overset methods

　　

•开发了一种物理一致性网格重叠插值方法。•通过求解格子玻尔兹曼方程的局部解，在重叠网格和背景网格之间重建守恒变量。•与传统方法相比，所提出的LBSRM方法在精度和解的平滑度方面表现更优。

引言

涉及复杂几何结构和运动边界的流动广泛存在于各类工程应用中，包括航空航天、海洋和生物医学工程，并经常出现在流体-结构相互作用（FSI）问题中[1,2]。准确预测此类流动对于工程设计和安全评估具有重要意义。针对这类运动边界流动问题，已开发出多种数值方法，包括浸入边界法（IBM）[3,4]、滑移网格方法[5]和网格变形（或重新划分网格）技术[6]。每种方法都有其自身局限性：IBM在精确解析近体流动场方面仍面临挑战；滑移网格技术通常仅适用于特定类型的运动；网格变形方法在考虑较大相对运动时往往遇到严重的网格畸变并降低计算效率。

与此同时，网格重叠方法（又称Chimera网格、重叠网格或嵌套网格方法）[7,8]已成为处理涉及复杂几何结构和运动边界非定常流动的有力工具[9,10]。该方法将计算域划分为多个子域，每个子域根据局部几何或流动特征采用高质量网格进行离散化。这些子域可以部分重叠，控制方程在每个子域内独立求解。网格间通信通过重叠区域的插值实现。

网格重叠方法有两个关键步骤。第一步是网格组装过程，包括确定重叠边界附近的插值区域，并建立不同子域中网格单元之间的插值关系。典型的网格组装方法包括孔洞图法[11]和隐式开孔技术[12]。本文作者还提出了一种反向重叠组装技术（ROAT），已展现出良好的效率和鲁棒性[13]。第二步是插值过程，根据建立的关系在不同子域之间插值求解量。该插值步骤的精度和物理保真度对于确保最终重叠解的一致性至关重要[14]。

在数学上，插值步骤可以视为散乱数据集的插值。传统策略通常采用基于几何位置和数值的平滑函数近似，如反距离加权（IDW）插值、最小二乘（LSQ）插值和平坦插值。这些方法因其计算效率和高易实现性而具有吸引力。然而，在实际应用中可能存在一些缺陷。例如，Chandar[14]报告称，在双相流仿真中使用反距离加权插值会导致气液界面处逐渐质量流失。当涉及相对网格运动时，这一问题尤为突出，如Lemaire等人[15]所示。研究人员已尝试改进传统插值方法的精度和守恒特性。V?lkner等人[16]用三阶多项式插值替代传统线性插值，并引入通量加权贡献机制以改善全局质量守恒。Lee等人[17]采用加权最小二乘方式的高阶多项式重建以提高插值精度。Quon和Chandar[18,19]提出了基于径向基函数（RBF）的插值方法，降低了对网格分辨率的依赖并改善了重叠边界处的解连续性。尽管有这些进展，大多数现有方法本质上仍是不考虑底层物理约束的平滑数学近似。因此，累积插值误差仍可能降低解的质量，特别是在非定常流动或重叠界面附近具有陡峭梯度的区域。

除了数学近似外，具有更好守恒特性的插值方法也受到文献中越来越多的关注。从几何守恒角度看，重叠网格单元内插值解的积分应等于背景网格中相应单元解值的面积或体积加权求和。为此，Farrell和Maddison[20]提出了一种基于超网格的策略。该方法涉及将原始网格细分为多个三角形或四面体单元形成超网格，然后计算重叠区域中每对单元之间的相交面积或体积作为插值权重，从而实现网格上积分的守恒插值，但需要流场通量参与仿真。Devlin等人[21]进一步发展了直接通量虚拟面（DFVF）方法，该方法源自有限体积法（FVM）的广义无网格形式。通过在重叠单元之间严格定义的虚拟面上直接计算通量，DFVF避免了网格间插值并强制守恒。Crabill等人[22]引入了人工边界和压力修正机制，通过超网格上的局部投影提出了局部Galerkin投影（LGP）方法，改善了运动和变形条件下的插值精度，但依赖高阶精度来减少守恒误差。这些方法通过不同的耦合策略改善或强制守恒。传统重叠插值通常采用Dirichlet-Dirichlet处理，在重叠网格之间交换解状态。这种处理易于实现，但不显式强制界面通量守恒。Dirichlet-Flux处理则将一侧的指定解状态与另一侧对应的界面通量耦合，从而改善或强制网格间守恒[14,15,21]。基于几何的守恒方法（如超网格和LGP方法）需要对重叠区域进行细分或求交[20,[22], [23], [24]]，而直接通量方法直接构建网格间通量。对于复杂几何或运动重叠网格，这些几何操作或通量耦合处理可能增加计算和实现复杂度[23,24]。此外，几何或代数插值从相邻数据重建解，但不纳入目标单元处控制方程所表示的局部物理输运过程。

本文工作的动机是开发一种高效的插值策略，在离散化精度范围内提供更具物理一致性的插值解重建。在所提出的方法中，重叠单元处的插值通过使用格子玻尔兹曼通量求解器（LBFS）[25,26]计算。LBFS最初是为求解Navier-Stokes方程的有限体积法中的通量评估而开发的，LBFS通过利用格子玻尔兹曼（LB）模型的局部解来构建通量。根据Chapman-Enskog分析[27]，Navier-Stokes方程可通过LB模型恢复。因此，从LBFS获得的局部解本质满足控制方程，可作为插值解连接不同子域网格的解。通过这种方式，流场信息的传递被重新表述为物理一致解的局部重建，而非传统方法中纯粹的几何或数值插值。尽管网格重叠方法和LBFS已各自建立，但本文提出了通过虚拟控制体积将它们新颖地整合用于涉及复杂几何和网格运动的重叠仿真。因此，本文所提出的方法称为格子玻尔兹曼解重建方法（LBSRM）。

本文结构如下：第2节详述所提出的数值方法，重点介绍使用D1Q4 LBFS模型[28]的LBSRM。第3节通过二维和三维基准测试对所提出方法进行评估，包括重复传输精度测试、定量网格收敛和守恒分析，以及定常和非定常流动算例，并尽可能与传统插值方法和守恒重映射方法进行比较。第4节总结结论。

章节摘要

控制方程

本文专注于求解Navier-Stokes方程。流场根据以下方程的公式获得：

其中守恒变量W、对流通量Fnc和粘性通量Fnv分别为：

在此，Ω是控制单元的体积，S是源项。在式(2)中，ρ、ui和p分别代表密度、笛卡尔速度分量和压力；i,j=1

数值算例

本节通过一系列数值基准测试评估所提出LBSRM的性能。部分算例专门设计用于评估插值精度，其中LBSRM重叠网格仿真结果直接与解析解或单网格参考解进行比较。此外，还包含了使用传统数学插值方法（即InvDist、GradInvDist和LSQ）获得的结果以供对比。因为

结论

本研究聚焦于使用重叠网格方法时的解插值。与传统重叠插值方法（通常依赖数学插值方案或复杂的几何切割技术）不同，本文提出了一种基于格子玻尔兹曼通量求解器进行局部解重建的物理插值方法。在该方法中，在边界单元中心引入虚拟界面，并…

CRediT作者贡献声明

Zhiyuan Hu：撰写-初稿、验证、方法论、调查、数据整理、概念化。

Taihang Ma：撰写-初稿、验证、方法论。

Yaguang Liu：撰写-审稿与编辑、监督、形式分析。

Yongjie Shi：撰写-审稿与编辑、监督、软件。

Chang Shu：撰写-审稿与编辑、监督、资源。

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