反应-扩散水平集：一种基于B样条的方法来构造三周期极小曲面

《Advances in Engineering Software》：Reaction–diffusion level set: A B?spline route to triply periodic minimal surfaces

　　本文介绍了一种新的计算框架，该框架结合了反应-扩散动力学和B样条水平集方法，在体积分数和对称性约束下发现新的三周期性极小曲面（TPMS）。

• 新目标函数：我们定义 [H(κ)]2 作为目标函数，其中 H 是阶跃函数，κ 是平均曲率。
• 高效的框架：反应-扩散B样条水平集方法结合对称性投影算子可以减少自由度。同时，用于体积约束的二分法在1-2次迭代内即可收敛，且不会产生振荡漂移。
• 基准测试性能：该框架能够以2003的分辨率重建Schwarz原始曲面，面积误差约为10^-6，在约20小时内完成（比类似方法快30%），并自主发现了三种之前未报告的TPMS配置。
• 弹性特性与影响：数值均质化表明这些新几何形状涵盖了立方各向异性的全部范围，确立了该框架作为可制造壳状结构发现工具的地位。

### 引言
三周期性极小曲面（TPMS）是一种独特的结构，其特点是每一点的平均曲率为零，并且在三个独立方向上具有平移对称性。这种几何配置形成了局部最小化面积的结构，将空间划分为两个连续且相互渗透的通道[1,2]。这种几何特性非常适合需要高效流体传输、高表面积与体积比以及稳健机械响应的应用[3,4]。当放宽零平均曲率条件时，可以获得恒定平均曲率（CMC）曲面，这允许在保持晶体对称性和连通性的同时调整孔隙率和通道大小[5]。

TPMS的几何适应性促进了基于经典曲面（如Schwarz原始曲面、Diamond和Gyroid[6],[7],[8],[9]）的壳状结构的发展。这些光滑连续的表面避免了传统基于桁架的格子常见的节点相关几何不连续性，并且可以通过调整表面类型、相对密度、壳层厚度、单元格大小和材料空间分布来定制其机械响应。因此，TPMS结构已被用于轻量化承重部件、机械超材料、能量吸收结构[11,12]。功能分级TPMS（FG-TPMS）结构通过引入空间变化的材料或几何参数进一步扩展了这种设计灵活性。最近的研究探讨了FG-TPMS梁的振动、屈曲和弯曲行为，包括基础效应、高阶剪切变形和尺寸依赖性响应[13],[14],[15]。

在几何演化过程中满足这些要求在计算上具有挑战性，因为必须同时强制执行体积分数、周期性和晶体对称性。水平集方法是拓扑优化中最广泛使用的方法之一，为解决这一挑战提供了强大的变分框架[16],[17],[18],[19],[20]。通过将寻找极小曲面的问题框架化为一个受约束的优化问题，它们可以导航复杂的设计空间并发现新的几何形式，并且在这一框架内特别有效，因为它们的隐式表示自然适应了拓扑变化并清晰定义了结构边界[21],[22],[23]。此外，传统的水平集方法面临一些众所周知的挑战，包括需要周期性重新初始化、可能模糊界面的数值扩散，以及限制高效更新方案时间步长的Courant-Friedrichs-Lewy条件[24],[25],[26]。

最近的进展旨在通过促进与几何建模的更深层次整合来克服这些限制。等几何分析通过使用基于样条的基函数（如B样条和NURBS[27],[28],[29]）提供了一个有前景的框架。这些函数固有的高阶连续性对于准确表示光滑几何形状和求解高阶偏微分方程特别有益。对于水平集曲面演化，B样条还提供了解析可微的几何形状、准确的曲率评估、通过紧支撑基函数实现局部控制，以及便于强制执行周期性的张量积表示。这种整合反过来又促进了等几何方法在拓扑优化中的发展[30,31]。关于B样条和NURBS的基础知识的全面概述，我们建议参考现有文献[32,33]。

最近的TPMS生成方法包括分析或半分析参数化，特别是从截断傅里叶级数获得的周期性节点曲面[34,35]。除了这些预定义的表示方法外，数值方法还包括使用Surface Evolver进行基于网格的能量最小化[36]、用于周期性表面积最小化的变分水平集公式[37]，以及用于生成极小或恒定平均曲率表面的相场方法[38]。相关发展还包括用于几何演化的体积保持参数化有限元方法[38]、基于Allen-Cahn的面积最小化[39]，以及用于曲率流的保持结构的数值方法[40]。最近的理论研究还检验了体积保持平均曲率流的适定性和收敛性[41,42]。这些发展，加上对三周期性极小曲面的经典研究[43]，为受限TPMS演化提供了理论基础。

更广泛地说，拓扑优化已经经历了广泛的发展，包括基于水平集的公式[44,45]。水平集方法提供了光滑的隐式边界，并自然适应几何和拓扑变化[46]。然而，传统实现可能需要重复重新初始化和小时间步长，这增加了大规模三维问题的计算成本[47,48]。等几何拓扑优化提供了一种具有高阶几何连续性的替代表示[49]。基于B样条的细胞水平集方法为周期性细胞结构提供了紧凑的隐式表示[50]，而更高阶的反应-扩散公式进一步改进了曲率依赖性演化的处理[51]。反应-扩散B样条水平集框架也已应用于结构拓扑优化[52]。最近的研究将平滑的等几何、T样条和基于粒子的表示扩展到了空气动力学壳结构、带有弯曲加强剂的TPMS单元格、柔性机制和多片层细胞结构[53],[54],[55],[56]。然而，这些方法通常优化预定的结构布局。它们在同时满足体积、周期性和晶体对称性约束的情况下自由生成TPMS几何形状的整合仍然不够充分。

总之，现有的发现TPMS表面的方法存在一个根本限制：要么它们通过低维参数描述限制了设计空间，要么在几何演化过程中承受了较大的计算和约束处理负担[57],[58],[59]。最近的基于拓扑枚举的方法表明，通过探索缩减域内的边界连通性可以生成大量的新型TPMS，这表明设计空间比之前假设的要丰富得多。然而，这些方法主要是拓扑驱动的，并不一定产生能量上有意义的或稳定的配置。这些限制突显了需要一个更高效、更集成的TPMS发现框架。本文通过结合样条规则化的隐式几何表示和基于反应-扩散的正则化，同时直接在三维周期性网格上强制执行对称性和体积约束，填补了这一空白。这种整合允许表面作为受限能量景观中的吸引子出现，这在TPMS文献中仍然是一个很大程度上未开发的方向[17,37]。

在这项工作中，我们开发了一个用于TPMS生成和探索的反应-扩散B样条水平集（RDBLS）[52]框架。主要贡献包括：(1) 结合了用于面积和曲率目标的周期性B样条水平集公式与反应-扩散演化；(2) 用于在演化过程中强制执行体积分数和晶体对称性的基于二分法的策略和对称性投影方案；(3) 通过经典TPMS重构和与Newton方法、GCMMA以及现有的变分水平集方法的比较进行数值验证；(4) 证明了该框架在不需要指定机械目标的情况下生成几何和机械上独特的TPMS候选者的能力。

选择Newton方法和全局收敛的移动渐近线方法（GCMMA）[60,61]是因为它们代表了两种互补且广泛使用的受限优化求解范式，即快速的局部二阶收敛性和稳健的一阶约束处理，这为比较提供了有用的基准。在比较Newton方法和GCMMA的收敛历史时，所提出的方法表现出“平滑-重新配置-平滑”的两阶段模式，开始时有一个短暂的过渡阶段，然后进入持久的平台期。这种行为允许探索超出与传统TPMS种子相关的传统盆地，从而发现了包括Neovius和I-WP类似结构在内的新型低面积形态，这些结构超出了传统的节点表面参数化范围。我们的结果表明，RDBLS框架在数值稳定性、计算效率和形态丰富性之间取得了有效的平衡。具体来说，该方法在保持精确体积控制的同时，允许使用超过传统CFL限制的稳定时间步长。通过集成高阶B样条几何表示、可扩展的时间积分和自动体积强制执行，RDBLS方法便于进行严格的性能基准测试和开放式的机械定制壳状结构的探索。总体而言，RDBLS框架提供了一个健壮的、考虑约束的、探索性的极小表面发现工具，有效补充了现有的基于PDE和优化的求解器，在先进TPMS基超材料的计算设计中发挥了作用。

手稿的组织结构如下：第2节详细介绍了RDBLS方法的理论基础。第3节描述了数值实现和优化程序。第4节提出了基准研究和新TPMS形态的发现。最后，第5节提供了结论性评论。

### 问题陈述
水平集方法通过标量水平集函数?(x, t)隐式表示一个结构。如图1所示，计算域Ω根据?的符号被划分为两个子域Ω?和Ω?，结构边界Γ被确定为零水平集[62]：
{
?1 ≤ ?(x,t) < 0, ?x ∈ Ω?
?(x,t) = 0, ?x ∈ Γ
0 < ?(x,t) ≤ 1, ?x ∈ Ω?
}
其中?(x,t)是空间坐标x和伪时间t的平滑函数，用于参数化演化。?(x,t) > 0的点属于Ω?。

### 数值实现
RDBLS方法沿着负形状梯度更新水平集场?，同时引入扩散项以实现数值正则化。用虚构的时间t，演化由方程(18)中的反应-扩散方程控制。根据参考文献[68]，正则化的阶跃函数定义为：
H(?) = 1/2(1 + 2πtan^(-1(?ε)))
其中ε控制正则化界面的宽度。相应的正则化狄拉克δ函数为：
δ(?) = H'(?) = επ(ε^2 + ?^2)

### 基准测试和新TPMS形态
本节评估了所提出的RDBLS框架与现有方法的表现，并展示了其生成基准和新的TPMS配置的能力。第4.1节将RDBLS与Jung的变分水平集方法间接比较，并直接与Newton和GCMMA求解器在简单种子（立方体和圆形通道）的规范变换以及基于PNS的初始化上进行比较，强调了收敛行为、体积控制和起始敏感性的差异。

### 结论
本文开发了一个RDBLS框架，用于在规定的体积分数和晶体对称性约束下生成和探索三周期性曲面。结合了周期性张量积B样条水平集表示、基于面积和曲率的形状梯度、反应-扩散正则化、基于二分法的约束强制执行和晶体对称性投影。这种公式使得表面演化过程平滑且对称一致，无需额外开销。

### 资金支持
本项目得到了澳大利亚研究委员会（Australian Research Council）的资助，项目编号为DP200102190。

### 伦理批准/同意
不适用。

### 作者贡献声明
Sihan Ruan：撰写——原始草稿、软件、调查、形式分析。
Xuerui Wang：调查。
Shiwei Zhou：撰写——审阅与编辑、监督、方法论、资金获取。