有限应变热弹性的三维连续体点云方法

《Advances in Engineering Software》：Three-Dimensional Continuum Point Cloud Method for Finite-Strain Thermoelasticity

　　

•连续点云法（CPCM）被建立用于三维几何非线性热弹力学问题。
•通过客观性、各向同性和热力学第二定律来施加热超弹性本构关系。
•耦合非线性偏微分方程直接通过该方法进行线性化和离散化。
•通过敏感性研究进行的验证，温度场误差低于1.0%。

**引言**

在大应变条件下的有限变形热力学是许多工程应用的核心。在这些设置中，热-机械耦合、几何非线性和材料非线性主导着响应，往往产生陡峭的温度梯度、局部变形和显著的应力集中。因此，可靠的模拟需要一致的公式和鲁棒的数值算法，以处理高度非线性的耦合场方程[[1], [2], [3], [4]]。

传统的基于网格的方法，如有限元法，仍然是非线性热力学的传统方法[[5], [6], [7]]。然而，它们在处理涉及严重畸变、几何演化或需要反复重新划分网格和投射历史变量的问题时可能面临实际限制。无网格方法被开发出来以克服这些困难，它们依赖点集而不是单元连接性，从而改善了大变形、断裂和复杂几何演化的灵活性[[8], [9], [10], [11], [12]]。对无网格方法的广泛综述和发展既突出了其优势和历史挑战（如边界附近的精度、稳定化和计算成本），也记录了过去几十年取得的显著进步[[13], [14], [15]]。

在无网格方法中，强形式配置法因其直接在计算点上离散化控制偏微分方程（PDEs），避免了在单元上进行数值积分，并减少了多物理耦合的实现复杂度，因而具有吸引力[16,17]。然而，其性能 critically 依赖于数值微分算子的精度和稳定性、邻近点选择以及边界处理，特别是在三维问题和几何及邻域拓扑可能演化 的大变形情况下[[18], [19], [20]]。

基于微分算子的公式也被扩展到了非局部热传递问题。Kim等人[42]使用近场动力学微分算子来表示完整和部分不连续介质中的热传导，包括断裂键处的热接触效应。这种非局部构造非常适合裂纹和材料界面的分析。在这方面，本文的CPCM公式针对的是一个互补设置，即在连续三维介质中对耦合有限应变热弹性进行局部的、强形式的离散化，其中多项式函数再现控制了微分算子的精度。

本工作聚焦于连续点云法（CPCM），即一种强形式的、基于点的无网格配置框架，旨在通过对局部点邻域进行多项式回归来近似空间微分算子[[21], [22], [23], [24]]。近期发展已经证明了CPCM在三维中建模非线性矢量场和验证大变形公式的能力[25,26]，支持了它作为有限变形连续介质力学基础的适用性。在这些进展的推动下，本工作将CPCM扩展到三维几何非线性热弹力学，目标是同时求解热传递和大应变力学的耦合热-机械边界值问题。

与传统的有限元公式相比，CPCM不需要单元连接性也不需要域积分，因为强形式的控制方程直接在计算点上施加。这一特征对于大变形问题具有吸引力，因为网格畸变和场变量的反复传递可能会使分析复杂化。与其他无网格配置方法相比，CPCM使用的局部多项式构造保证了多项式函数场的再现性质达到与合适支撑尺寸相对应的一致性阶数，以及力矩矩阵的条件数。在本文的全Lagrange热-机械公式中，微分算子在参考构型中构建，并使用变形梯度映射到当前构型。因此，热子系统所需的空间梯度和拉普拉斯算子从之前计算的运动学量评估，而无需重新划分网格或在每个交错阶段重构参考算子。本工作的具体贡献是在三维CPCM框架中利用这些性质来处理有限应变热弹力学，并评估其精度、收敛行为以及对点云分布和导数近似中使用参数的敏感性。

耦合热弹性分析的一个关键要求是热力学可接受的本构框架。从Helmholtz自由能（或等价热力学势）推导的热超弹性公式为获得应力量和熵/热量关系提供了一条系统性的途径，同时强制施加客观性和Clausius-Duhem不等式。这类公式在有限应变热力学中被广泛使用，并为Newton型求解器中的 一致线性化提供了自然基础[1,2,[27], [28], [29], [30]]。在此基础上，耦合非线性场方程以一致的方式线性化，并使用Newton-Raphson策略增量求解[31]。

为确保新的多物理实现的可信度，必须执行代码验证，即不同于物理验证的代码验证。制造解法（MMS）是一种成熟的验证技术，它规定了解析制造解，反算强迫或源项，然后量化数值实现的离散误差和收敛行为[[32], [33], [34]]。在本工作中，CPCM使用MMS对热传递进行了验证，包括对离散化均匀性/密度、邻域大小和多项式基阶数的敏感性研究，随后在耦合热-机械示例中进行了评估。本工作中的数值研究主要用于实现的验证和解决方案。制造解和解析应力关系量化了实现误差，而立方体、受限圆柱、缩进和半球问题展示了该方法在复杂三维载荷和边界条件下的表现。针对测量热-机械响应的验证以及与实际几何的公认参考解的对比仍是未来的工作，用于预测性工程。

本文其余部分组织如下。第2节介绍导数近似和控制热弹性方程。第3节描述线性化、离散化和求解程序。第4节展示固定域的制造解评估和耦合热弹性示例。第5节总结了发现和不足。

**离散微分算子**

本节解释了三维体的离散微分算子的推导。一个域Ω及其边界?Ω通过放置在空间位置的N个点进行离散化，??∈??。一组微分算子Φ被构建来近似场值u及其导数u,x。它在包含一组非零点（称为邻点）的紧支撑???内构建，支撑半径???定义了局部中心?处的???的大小。

**控制方程的线性化**

方程(45)?的线性化通过对未知位移场δu施加方向导数实现，如下所示：

????(?????)=????((?????)???+???(?????))

这种增量形式可参见[26]。δF和δS分别代表变形梯度和PK2应力的线性化版本。δF表示为：

?????=????(?????)，δ????????=?δ?????/?????

其中δF作为增量右拉格朗日量δC的组成部分：

?????=(?????(?????)+???(?????)??)，δ????????=(?????/???????δ?????/?????+?????/???????δ?????/?????)

δS由此推导得出。

**数值实现及其验证**

第3节中介绍的CPCM的验证从对非线性标量场问题应用MMS开始[[32], [33], [34]] [25]。随后的评估考虑St. Venant-Kirchoff模型中的几何非线性，最后使用可压缩Neo-Hookean材料模型评估材料非线性和几何非线性。目标是研究方法的精度及其对相关于研究和实际应用的三维模型的可靠性。

**结论**

本文的主要目的是将连续点云法（CPCM）的应用扩展到三维几何非线性热弹性问题。本结果提供了固定域热传导问题的数值验证，并展示了该公式在耦合三维热弹性示例中的应用。与独立获得的耦合参考解的进一步验证以及针对测量热-机械响应的验证。

**作者贡献声明**

Peter M. Schaefferkoetter：撰写初稿、可视化、验证、软件、方法论、调查、形式分析。Yichen Dong：撰写-审稿与编辑、数据整理。Young-Cheol Yoon：撰写-审稿与编辑、方法论、概念化。Jeong-Hoon Song：撰写-审稿与编辑、撰写初稿、监督、资源、项目管理、方法论、概念化。

Peter M. Schaefferkoetter | Yichen Dong | Young-Cheol Yoon | Jeong-Hoon Song