《Developmental Science》：The Evolution of Finger Counting Strategies in Addition: A Three-Year Longitudinal Study in Young Children
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本研究首次采用纵向设计描述了儿童基于手指的加法策略发展轨迹，研究对象包括207名首次测试时年龄为4岁半的儿童。研究人员对儿童进行每半年一次的个别观察，持续三年。儿童通常遵循的发展轨迹与文献中理论描述的、支持手指策略逐步内化并最终实现解题过程完全心智化的路径一致
本研究首次采用纵向设计描述了儿童基于手指的加法策略发展轨迹，研究对象包括207名首次测试时年龄为4岁半的儿童。研究人员对儿童进行每半年一次的个别观察，持续三年。儿童通常遵循的发展轨迹与文献中理论描述的、支持手指策略逐步内化并最终实现解题过程完全心智化的路径一致。更具体地说，儿童从一种将加数的每个操作数分别用每只手的手指表示的建模策略（modeling strategy），进展到一种具体顺数策略（concrete counting-on strategy），在该策略中两个操作数仍被表征，但通过一个单一的连续过程进行枚举，最终发展到顺数策略（counting-on strategy），即只将一个操作数记在心中，而另一个操作数用手指跟踪。具体顺数策略在建模策略和顺数策略之间的频繁使用，支持了Baroody提出的观点，即该策略充当了从具体数字表征向更抽象数字表征过渡的桥梁。然而，具体顺数策略与较差的加法表现相关，这表明它对应一个重构阶段，在此阶段儿童获得了关于数字的新见解，但缺乏充分利用这些见解的认知资源。总体而言，本研究首次详细描述了手指策略向加法解题过程内化方向演进的历程。
一、研究背景与研究问题
儿童经常使用手指来解决加法问题。尽管多项研究表明，使用手指解决加法的幼儿比不使用的同龄人表现更好，但幼儿园和小学教师仍常将手指计数与数学困难联系在一起。这种负面看法可能源于观察到7-8岁时不使用手指计数的儿童表现优于使用手指的同龄人。然而，近期证据表明，这个年龄段高效的非手指使用者实际上是已经内化了策略的前手指使用者，这支持了早期手指策略有助于发展高效心智策略的观点。
Baroody（1987）提出了一个理论框架，假设从初始的具体策略（手指直接代表数量）到更抽象的策略（手指用于追踪加法过程）之间存在发展连续性。具体来说，最早阶段儿童依赖建模策略（modeling strategy），即两个操作数都在手指上表征，总和通过数所有举起的手指获得。随后，儿童可能采用更抽象的连续计数过程，即在一个不间断的序列中对两个操作数进行枚举，这被称为修正的全数策略（modified counting-all strategy）。最后，儿童转向顺数策略（counting-on strategy），不再需要表征两个操作数，而是直接从其中一个开始计数。
尽管这一从具体到抽象策略的渐进转变已被理论化，但缺乏大规模实证证据。现有研究仅在少量样本中观察过儿童的手指策略，且从未进行过纵向考察。此外，问题特征如何影响儿童手指策略的使用也鲜有研究。本研究旨在填补这些空白，通过纵向观察4岁半至7岁半儿童解决简单加法时的策略，重点关注手指策略的出现顺序及其向心智化的发展过程。
二、研究方法
本研究采用纵向设计，在瑞士沃州三座城市招募了207名儿童（初始有效样本），首次测试时平均年龄4岁7个月，之后每半年测试一次，共7次测试点直至儿童平均年龄7岁7个月。加法任务包含两套难度递增的题目：第一套（set 1）包含10道两个操作数均在1-5范围内的加法题，便于实施建模策略；第二套（set 2）包含8道第一个操作数为1-5、第二个操作数为6-9的加法题，使建模策略难以应用。儿童需在第一套中至少正确解答8道题才能进入第二套。儿童的行为通过录像记录，并使用BORIS软件编码策略类型，分为建模策略、具体顺数策略、顺数策略和心智策略。统计分析采用卡方检验和混合效应二项式模型。
三、研究结果
3.1 儿童层面的策略使用
手指使用者与非手指使用者在技能水平1和2中的分布：在T1至T5（儿童6岁半前），技能水平2儿童的比例在使用手指的儿童中显著高于不使用手指的儿童。到了T6和T7（7岁及7岁半），几乎所有儿童都达到了技能水平2，手指使用与否不再造成显著差异。
使用不同手指策略的儿童人数：建模策略在T5之前一直是使用人数最多的策略。顺数策略最初使用人数很少，但在T7成为主导策略。具体顺数策略的使用人数相对稳定但始终低于建模策略。
儿童首次和最后一次使用手指时的策略组合：在首次使用手指时，43.7%的儿童仅使用建模策略，14.1%仅使用具体顺数策略，19.0%同时使用两者，仅4.9%只使用顺数策略。以具体顺数策略开始的儿童使用手指的平均时长最长（4.6次会话），而以顺数策略开始的儿童最短（2.1次会话）。在心算内化前，28名儿童使用建模策略，14名使用具体顺数策略，31名使用顺数策略。
发展路径分析：在142名使用手指的儿童中，57人（40%）在发展中使用了全部三种策略，其中40人的发展轨迹显示具体顺数策略出现在建模策略之后或与之同时，并在顺数策略之前或与之同时出现。54人（38%）使用了两种策略，其中45人的顺序符合逐步内化假设。31人（22%）仅使用了一种策略。
3.2 手指使用者策略使用频率
整体策略使用：心智策略总体上使用最多，其次是建模策略，再次是具体顺数策略，最后是顺数策略。随时间推移，建模策略和具体顺数策略的使用频率下降，而顺数策略和心智策略的使用频率上升。
按技能水平和题目组别的策略使用：对于第一套题目，具体顺数策略在技能水平1儿童中使用更多，心智策略在技能水平2儿童中使用更多。对于技能水平2儿童，心智策略在第一套题中使用更多，而具体顺数策略、顺数策略和建模策略在第二套题中使用更多。顺数策略的增加仅出现在第二套题中。
3.3 策略使用与正确率的关系
具体顺数策略的正确率显著低于其他所有策略。所有策略的正确率随时间提高，但心智策略的正确率增长最快，从最初低于所有手指策略到最终达到最高水平。对于第一套题，顺数策略的正确率随时间无显著变化；对于第二套题，所有策略的正确率均随时间显著提高。
四、讨论与结论
研究结果表明，建模策略是最早且最常用的手指策略，在6岁半前占据主导地位。有趣的是，高算术技能水平的年幼儿童更多地使用建模策略，甚至在第二套题中也尝试使用，但这并未带来良好表现。直到7岁左右，儿童才开始转向更抽象的顺数策略。顺数策略的使用随时间增加，在7岁半时成为手指策略的主导，并且总是与良好的表现相关联，是内化前的主要策略。
关于具体顺数策略的过渡作用，研究发现其确实频繁出现在建模策略和顺数策略之间，且在大多数情况下出现在建模策略之后、顺数策略之前。然而，该策略与较差的表现相关，这可能是因为它在工作记忆上施加了更大负荷——儿童需要同时进行心理表征和口头计数。研究人员认为，具体顺数策略反映了儿童新的概念理解（即不需要系统性地重新建模数量），但由于认知资源限制而表现不佳。
值得注意的是，并非所有儿童都遵循这一典型发展路径。约26名使用至少两种策略的儿童未按预期顺序发展，31名儿童仅使用单一策略就实现了内化。这证实了儿童发展不能简化为单一的统一路径，且认知发展并不总遵循单调递进。
研究人员得出结论，本研究首次提供了手指策略向加法解题过程内化发展的详细描述，确认了建模策略→具体顺数策略→顺数策略这一优先发展顺序。然而，因果关系的确定仍需干预研究的验证。未来研究还需考察教学指导的影响，以及在更广泛社会经济背景下的适用性。
