非线性降维的统一理论框架：基于线性平滑器的微分方程刻画与方法比较

《Science China-Information Sciences》：On nonlinear dimensionality reduction, linear smoothing, and boundary conditions

　　

摘要

我们为非线性降维（NLDR）发展了相关理论。尽管文献中已提出大量NLDR方法，但对其工作原理及其相互关系的理解仍然有限。此外，现有理论在新算法的提出方面也几乎没有提供有效的借鉴。我们提供了一种新颖的理论框架，基于与线性平滑器统计理论的联系来分析NLDR。这使我们既能理解现有方法，又能推导新方法。我们利用这一联系证明，现有NLDR方法在给定的边界条件下，渐近地对应于微分方程组解的离散近似。特别地，我们仅用三个极限微分算子和边界条件即可刻画许多现有方法。我们的理论还提供了一种判断某方法优于另一方法的方式；事实上，我们证明，在假设全局坐标图定义了流形等距嵌入的方法类中，局部切空间对齐方法优于其他方法。