基于贝叶斯物理信息神经网络及不确定性传播的疲劳裂纹扩展寿命概率预测方法

《International Journal of Fatigue》：A probabilistic method for predicting fatigue crack growth life based on Bayesian physics-informed neural networks and uncertainty propagation

　　

• 提出了一种基于物理的BPINN概率框架，用于疲劳裂纹扩展（FCG）寿命的不确定性量化 • 变分推断将材料和载荷的不确定性传递到FCG寿命分布中 • 基于物理的后验推断确保了物理一致的FCG预测 • 在基准数据集和疲劳试验数据集上实现了可靠的预测精度和不确定性区间

引言

疲劳裂纹扩展（FCG）是金属结构在复杂服役条件下导致疲劳失效的关键过程之一[1]、[2]。由于材料非均匀性、载荷波动和测量误差，FCG过程通常表现出显著的随机性[3]。未能考虑这些不确定性可能会损害结构安全裕度评估，导致不必要的维护成本或潜在安全风险。因此，基于早期观测数据准确预测FCG行为和剩余寿命并量化相关不确定性，对于结构损伤容限分析、疲劳可靠性评估和预防性维护决策至关重要。

FCG寿命预测通常基于线弹性断裂力学（LEFM），其中使用Paris律及其扩展来描述疲劳裂纹扩展速率（FCGR）与应力强度因子范围（ΔK）之间的关系[4]、[5]。对于具有标准几何形状的结构，通常可以使用解析表达式计算ΔK。对于复杂几何形状，通常需要有限元分析。在基于Paris律的确定性点估计模型中，材料参数从实验数据中校准并被处理为固定值，以预测单一的FCG轨迹和寿命估计[6]。虽然这类模型提供了具有物理可解释性的预测，但它们并不能直接量化由材料非均匀性、载荷波动和测量误差引起的预测不确定性。为了量化FCG寿命预测中的不确定性，概率断裂力学和结构可靠性分析已被广泛使用[7]、[8]。具体而言，一阶可靠性方法（FORM）通过在设计点处对极限状态函数进行线性化来估计失效概率，而Monte Carlo模拟（MCS）则通过随机采样传播输入不确定性，以获得FCG寿命的概率分布[9]、[10]、[11]。最近，概率推断、贝叶斯更新和动态状态估计等方法被纳入FCG寿命预测中，以提高预测可靠性。Kethamukkala等人[12]提出了一种基于Karhunen–Loève展开的概率分析方法，用于随机压力波动下的氢致FCG。Ball等人[13]开发了一种FCG寿命预测的不确定性量化框架，该框架考虑了残余应力并评估其对预测结果的影响。Cheok等人[14]提出了一种数字孪生方法，将应变响应与贝叶斯推断相结合，利用现场应变数据更新FCG状态并预测剩余寿命。这些研究为FCG不确定性量化和概率剩余寿命预测提供了有效的方法。然而，对于基于预设随机输入的可靠性分析和不确定性传播方法，其计算主要描述输入不确定性向预测结果的传播，并不能通过单个试样的FCG观测数据本身来更新模型参数的概率分布。因此，基于观测驱动、针对特定试样的FCG预测仍然需要相应的概率推断方法[9]、[10]、[11]、[12]、[13]。此外，当概率推断需要重复评估复杂的物理模型时，计算成本可能非常高昂。虽然代理模型可以有效降低这种成本，但其构建通常需要额外的数值样本生成和模型训练[14]。因此，有效整合有限的观测数据、物理模型和概率推断，仍然是观测驱动、针对特定试样FCG预测的关键挑战。

为了将有限的观测数据与物理知识相结合，物理信息神经网络（PINNs）为结构响应预测和损伤退化建模提供了一个有前景的框架[15]、[16]、[17]。PINNs将控制方程、边界条件或经验物理定律纳入神经网络训练，使模型能够在拟合观测数据的同时满足物理约束[18]、[19]、[20]。这些约束减少了对大规模训练数据的依赖，并增强了外推能力。同时，神经网络的非线性逼近能力使PINNs能够表征复杂的结构响应和退化过程。先前的研究表明了PINNs及其扩展方法在疲劳损伤预测方面的潜力。Gao等人[21]结合Basquin方程和Smith-Watson-Topper（SWT）模型，提出了一种多尺度PINN方法，生成高保真参数并引入基于物理的损失函数。其预测性能通过多轴疲劳数据集得到了验证。Liao等人[22]将Paris律纳入神经网络训练，提出了一种用于FCG参数识别和寿命预测的PINN方法，该方法在小样本条件下实现了物理一致的FCG寿命预测。Wang等人[23]将Paris律残差纳入PINN并结合贝叶斯优化，实现了氯化物腐蚀环境下Q690钢的高精度FCGR预测。然而，确定性PINN方法通常仅提供点估计，这限制了其量化预测区间、失效概率和疲劳寿命分布的能力。鉴于FCG过程的固有随机性，这类确定性预测无法充分捕捉由材料变异性与载荷波动引起的不确定性传播，因此无法为疲劳可靠性评估和预测性维护决策提供足够的风险信息。

贝叶斯推断提供了一种有效的方法，可将PINNs从确定性点估计扩展到概率预测[24]、[25]。具体而言，通过对神经网络权重、物理参数和观测噪声进行概率建模，贝叶斯推断使模型输出能够表示为后验预测分布，而非单一预测值[26]。基于该方法，贝叶斯物理信息神经网络（BPINNs）被开发出来，以将物理约束与后验推断相结合。该方法不仅提供准确的点预测，还提供可靠的不确定性量化[27]。然而，不确定性量化依赖于后验推断，而神经网络模型的精确后验分布通常难以求解。因此，实际实现通常采用计算可行的近似推断方法，如变分推断（VI）、Monte Carlo Dropout（MC-Dropout）和Laplace近似（LA）[28]。在这些方法中，MC-Dropout通过在推断期间应用随机丢弃来近似贝叶斯预测，虽然易于实现，但仅能间接表征后验分布。LA围绕最大后验（MAP）估计构建局部高斯近似，虽然计算效率高，但受限于其固有的局部近似假设。相比之下，VI通过最大化证据下界（ELBO）来使用参数化分布近似后验分布，在计算效率和不确定性表征之间取得了良好的平衡，因此更适合小样本FCG寿命预测中的概率建模[29]、[30]。最近的研究已将BPINNs应用于一系列物理信息概率建模问题中的不确定性量化。Yang等人[31]将贝叶斯神经网络与物理信息约束相结合，提出了一种BPINN框架，用于涉及含噪物理系统的前向和逆问题的不确定性量化。Wang等人[32]开发了一种用于航空金属疲劳寿命预测的BPINN模型，通过将物理约束与基于VI的推断相结合，该模型能够实现疲劳寿命预测和不确定性量化，同时提高预测精度和置信区间的可靠性。这些研究证明了BPINNs在概率预测和不确定性量化方面的有效性。然而，当前的BPINN研究对于基于有限早期观测的个体FCG预测关注相对有限。此类问题不仅需要估计剩余寿命分布，还需要从当前裂纹状态外推未来FCG轨迹，并表征不确定性在裂纹演化过程中的传播及其对剩余寿命的影响。因此，需要适当的网络映射和物理约束来捕捉随机FCG参数、FCGR与FCG寿命预测之间的关系。在有限早期观测条件下，有效整合概率推断与FCG物理约束，同时实现FCG轨迹外推和寿命分布预测，仍然是一个需要进一步研究的问题。

在此背景下，本研究提出了一种基于物理的BPINN概率 prognostic 框架，用于小样本条件下FCG寿命预测和不确定性量化。通过将LEFM理论与数据驱动的随机推断相结合，可以在有限观测数据的实际服役条件下实现FCG路径的外推分析和概率寿命预测。主要贡献总结如下：

（1）提出了一种基于BPINN的物理一致且可解释的概率 prognostic 框架。将Paris律作为物理先验纳入复合损失函数，并采用贝叶斯推断通过后验分布来表征关键随机参数。基于早期FCG观测数据，可以外推未来FCG轨迹，并获得可靠的疲劳寿命概率分布，从而支持结构维护决策和疲劳可靠性评估。

（2）引入了一种基于同方差不确定性推断的自适应损失权重策略。该策略动态平衡不同的损失项，减少了模型训练对手动权重选择的依赖，增强了BPINN多目标优化的收敛稳定性。

（3）使用铝合金MT和CT试样以及Q345qd钢CT试样的FCG数据集验证了该框架。该框架在有限早期观测数据的FCG寿命预测场景中表现出明显优势。此外，其独立于特定材料和几何配置的特性使其成为概率FCG寿命评估的通用方法。

章节摘要

提出的方法框架

本研究提出了一种将LEFM理论与数据驱动概率建模相结合的FCG寿命预测方法，旨在基于早期a-N观测数据实现FCG寿命的概率外推。整体框架如图1所示。后续章节的组织如下：第3节描述所提出的BPINN概率建模方法；第4节呈现系统实验以验证该方法；第5节总结主要结论并提出

方法论

为有效量化FCG寿命预测中的不确定性，本研究提出了一种基于物理的BPINN，将物理一致的约束纳入不确定性量化过程中。网络架构如图2所示。所提出的框架由三个核心模块组成：数据获取、基于VI的BPINN以及带有不确定性量化的FCG预测。以下各节将详细描述每个模块。

实验案例研究

为验证所提出方法的性能优势和泛化能力，本研究使用Virkler等人[42]和Wu等人[43]报道的两个FCG基准数据集进行了评估。此外，还对Q345qd钢CT试样进行了FCG试验，以建立进一步验证的数据集。为最小化结果变异，所有试验均在Windows 10系统上使用Python 3.12进行。硬件配置包括Intel Core i7-13700KF处理器、32 GB

结论

本研究提出了一种基于物理的BPINN概率预测方法，用于量化FCG过程中的不确定性传播。通过将Paris律的底层物理原理与数据驱动的随机推断相结合，所提方法有效地量化了由材料参数变化和载荷波动引起的随机变异性。基于VI，该方法利用早期观测数据外推未来FCG轨迹并提供可靠的

CRediT作者贡献声明

刘晓帆：撰写——原稿、可视化、软件、方法论、调查、资金获取、形式分析、数据整理。陆乃维：撰写——审稿与编辑、验证、监督、资源、项目管理、资金获取、概念化。Michael Brun：撰写——审稿与编辑、监督、方法论。陈文：撰写——审稿与编辑、监督。Francis Praud：撰写——审稿与编辑、监督、方法论。罗元：撰写——审稿与编辑、监督。

利益冲突声明

作者声明没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

致谢

本项目的资助来自中国自然科学基金（项目编号52478128和52408175）以及中国科学院青年科技人才培养计划博士生项目。

刘晓帆|陆乃维|Michael Brun|陈文|Francis Praud|罗元